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1590-2011年江苏高考预测卷(数学)[1].


2011 年江苏高考数学预测卷 正题部分
(满分 160 分 时间 120 分钟) 一、填空题(本大题共有 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1.曲线 y ? sin x ? cos x 在点 (

?
2

,1) 处的切线斜率为



.

1 3 2. 已 知 复 数 z ? ? ? i(i 为 虚 单 位 ) , 满 足 az 2 ? bz ? 1 ? 0 (a,b 为 实 数 ), 则 a ? b ? 2 2 ▲ . 3.平面上两定点 A,B 之间距离为 4,动点 P 满足 PA ? PB ? 2 ,则点 P 到 AB 中点的距离的最小 值为 ▲ .

4.已知 sinα cosβ =1,则 cos(α +β )=



. 开始 输入 x Y ①

5. 集合 A ? {x | x ? 3n, n ? N , 0 ? n ? 10} , B ? { y | y ? 5m, m ? N , 0 ? m ? 6} , 则集合 A ? B 的所有元素之和为 ▲ .

6、中山市的士收费办法如下:不超过 2 公里收 7 元(即起步价 7 元) , 超过 2 公里的里程每公里收 2.6 元,另每车次超过 2 公里收燃油附加费 1 元(不考虑其他因素) .相应收费系统的流程图如图所示,则①处应填 ▲ . 7. 甲、乙两个学习小组各有 10 名同学,他们在一次数学测验中成绩 的茎叶图如图所示,则他们在这一次测验中成绩较好的是 ▲ 组。

x ? 2?

N y=7

输出 y 结束

5 3

5 6 47

94 7 45669 866431 8 02 0 9
8.已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ? 1, 其图像关于直线 x ? ▲ .

?
4

对称,

则实数 a 的值为

9. 设 f ( x) ? log5 ( x ? 1) 若 0 ? f ( x) ? 1 是不等式 | x ? 1 |? a 成立的充分不必要条件,则实 数 a 的取值范围是 ▲ .

10.一个质量均匀的正四面体型的骰子,其四个面上分别标有数字 2,3,4,5.若连续投掷三次, 取三次面向下的数字分别作为三角形的边长,则其能构成直角三角形的概率为 ▲ .

1

11.已知关于 x 的方程 x2 ? a x ? a2 ? 9 ? 0 只有一个实数解,则实数 a 的值为



.

12. 在 △ABC 中 , ?A ? 45? , AD ? BC 于 D , CD ? 2, BD ? 3 , 则 △ABC 的 面 积 为 ▲ .

13..在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,准线为 l , A, B 是该抛物线上 两动点, ?AFB ? 120? ,M 是 AB 中点,点 M / 是点 M 在 l 上的射影. 则
MM / 的最大值为 AB

▲ . 14.已知 ? ? l ? ? 是大小为 45? 的二面角,C 为二面角内一定点,且到平面 ? 和 ? 的距离分别 为 2 和 6,A,B 分别是半平面 ? , ? 内的动点,则 ?ABC 周长的最小值为 ▲ .

二、解答题(本大题共有 6 小题,共计 90 分)解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 14 分) ? ABC 的外接圆的直径为 1,三个内角 A、B、C 的对边为

?? ? ? a、b、c , n ? ? cos A, ?b ? , a ? b ,已知 m ? n .
(1)求 sin A ? sin B 的取值范围; (2)若 abx ? a ? b ,试确定实数 x 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分)如图,已知等腰梯形 ABCQ, AB ? CQ, CQ ? 2 AB ? 2BC ? 4 ,D 是 CQ 的中点,?BCQ ? 60? ,将 ?QDA 沿 AD 折起, Q 变为点 P, 点 使平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求证:BC∥平面 PAD; (2)求证:△PBC 是直角三角形; (3)求三棱锥 P-BCD 的体积。

2

P

Q

D C D

C

A

B A B

17. (本小题满分 15 分)某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后, 发 现 一 天 中 环 境 综 合 污 染 指 数 f ? x ? 与 时 间 x( 小 时 ) 的 关 系 为

f ? x? ?

x 1 ? 3? ? ? a ? 2a , ? ? 0 ,? ,其中 a 与气象有关的参数,且 a ? ?0, ? ,若 x 2 4 x ?1 3 ? 4?
2

用每天 f ? x ? 的最大值为当天的综合污染指数,并记作 M ? a ? . (1)令 t ?

x , x ? ? 0, 24? ,求 t 的取值范围; x ?1
2

(2)求函数 M ? a ? ; (3)市政府规定,每天的综合污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合污染指数是 多少?是否超标?

18. (本小题满分 15 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 左右两焦点为 F1 , F2 ,P 是椭圆 a 2 b2
3

上一点,且在 x 轴上方, PF2 ? F F2 , OH ? PF 于 H, OH ? ?OF1 , ? ? ? , ? . 1 1 3 2 (1)求椭圆的离心率 e 的取值范围; (2)当 e 取最大值时,过 F1 , F2 , P 的圆 Q 的截 y 轴的线段长为 6,求圆 Q 的方程; (3)在(2)的条件下,过椭圆右准线 L 上任一点 A 引圆 Q 的两条切线,切点分别为 M,N, 试探究直线 MN 是否过定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由。

?1 1 ? ? ?

y M

L

P H A

F1

O N

F2

x

19. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 ( x ? 0) 。 (1)求函数 f ( x ) 的单调区间与最值; (2)若方程 2 x ln x ? mx ? x ? 0 在区间 ? , e ? 内有两个不相等的实根,求实数 m 的取 e
3

?1 ? ? ?

值范围; (其中 e 为自然对数的底数) ( 3 ) 如 果 函 数 g ( x) ? f ( x) ? ax 的 图 像 与 x 轴 交 于 两 点 A( x1 ,0), B( x2 ,0) , 且

0 ? x1 ? x2 ,求证: g?( px1 ? qx2 ) ? 0 (其中, g ?( x) 是 g ( x) 的导函数,正常数 p,q 满
足 p ? q ? 1, q ? p )

4

20. ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 定 义 数 列

?an ?

: a1 ? 1 , 当 n ? 2

时 ,

?an ?1 ? r n? 2 k ? ? N , , k , ? an ? ? ? ,? ?2an ?1 , n? 2k? 1 k N . ?
其中, r ? 0 常数。 (1) 当 r ? 0 时, Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 。 ①求: Sn ; ②求证:数列 ?S2n ? 中任意三项均不能够成等差数列。
? (2) 求证:对一切 n ? N 及 r ? 0 ,不等式

2k ? a a ? 4 恒成立。 k ?1 2 k ?1 2 k
n

附加题部分(满分:40 分 时间:30 分钟) 一、选做题:本大题共 4 小题,请从 A、B、C、D 这 4 题中选做 2 小题,如果多做,则按所 做的前两题记分.每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. (本小题满分 10 分) (几何证明选讲)

?ABC 中, AB ? AC , AD 、 AE 分别是 BC 边上的高和中线,且 ?BAD ? ?EAC .
证明 ?BAC 是直角.

5

B. (矩阵与变换) (本小题满分10分) 设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换. 求逆 矩阵 M
?1

以及椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程. 4 9

C. (坐标系与参数方程) (本小题满分10分) 已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.

?
6



D. (本小题满分10分) (不等式证明选讲) 设 f (x)= x2-x+l,实数 a 满足|x-a|<l,求证:| f (x)-f (a)|<2(| a|+1).

二、必做题 本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 1. (本小题满分 10 分) 甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对 方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为

2 ,乙在每局中获胜的概率为 3

1 ,且各局胜负相互独立,求比赛停止时已打局数 ? 的期望 E? 。 3

6

2. (本小题满分 10 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9 ( n ? N ) (1)求 a1 , a2 , a3 , a4 的值; (2)由(1)猜想 {an } 的通项公式,并给出证明.
?

2011 年江苏高考数学预测卷参考答案
正题部分 1.-1 ; 2.2; 3. 1 ; 4. 0 ; 5.225; 6. y ? 8 ? 2.6 ? x ? 2? ;7. 甲 ;

7

8.

1 ; 9. (3, ??) ;

10.

3 ;11. 32

3

; 12. 15

;13.

3 3

;14. 10 2

15.解: (1)∵ m ? n ,∴ m? ? 0 ,∴ a cos A ? b cos B ? 0 . n 由正弦定理知,

??

?

?? ?

a b ? ? 2 R ? 1 ,∴ a ? sin A, b ? sin B . sin A sin B

∴ sin A cos A ? sin B cos B, ∴ sin 2 A ? sin 2 B . ∵ A, B ? ? 0, ? ? ,∴ 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? . ∴ A ? B , A? B ?

?
2



?? ? sin A ? sin B ? sin A ? cos A ? 2 sin ? A ? ? , 4? ?
?
4 ? A?

?
4

?

3? 2 ?? ? ,∴ ? sin ? A ? ? ? 1 . 4 2 4? ?

∴ sin A ? sin B 的取值范围为 1, 2 ? .

?

?

sin (2)∵ abx ? a ? b ,∴ sin A? B?x ? sin A ? sin B
∴x?

sin A ? cos A . sin A cos A

令 sin A ? cos A ? t ? 1, 2 ? ,sin A cos A ?

?

?

t 2 ?1 , 2

∴x?

2t 2 . ? t ?1 t ? 1 t
2

∵ t ? 在 1, 2 ? 单调递增,∴ 0 ? t ? ?

1 t

?

?

1 t

2?

1 2 , ? 2 2

∴ x ? 2 2 ,故 x 的取值范围为 ? 2 2, ?? .

?

?

16.(1)证明:∵ AB ? CQ, D 是 CQ 的中点,∴ AB ? CD, AB ? CD ,∴ ABCD 是平行 四边形,∴ BC ? AD .又∵ BC ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD ,∴BC∥平面 PAD.

8

P

D E A

C

B

(2) ?BCQ ? 60? ,AB ? BC ,∴ ABCD 是菱形, ?PDA, ?BDA 均为等边三角形。 ∵ ∴ 取 AD 中点 E,连 PE,BE.∴ PE ? AD, BE ? AD .又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,交线为 AD, ∴PE⊥平面 ABCD,∴PE⊥BC.又∵ BC ? AD ,∴BC⊥BE.又∵ PE ? BE ? E , ∴BC⊥平面 PEB,∴BC⊥PB.∴△PBC 是直角三角形. (3)∵ PE ? ∴ VP ? BCD ?

3 3 2 AD ? 3 , s?BCD ? ?2 ? 3. 2 4
1 1 S?BCD ? PE ? ? 3 ? 3 ? 1 ,∴三棱锥 P-BCD 的体积为 1. 3 3

17.解(1)∵ t ?

x , x ? ?0, 24 ? , x ? 0 时, t ? 0 . x ?1 1 x 1 0 ? x ? 24 时, t ? , x ? ? 2 ,∴ 0 ? t ? . 1 2 x x? x
2

∴ t ? ?0, ? 。 2 (2)令 g ? x ? ? t ?

? 1? ? ?

1 ? 1? ? a ? 2a, t ? ?0, ? . 3 ? 2?

当a?

1 1 7 5 ?1? 5 ? ,即 0 ? a ? 时, ? g ? x ? ? max ? g ? ? ? ? a ? 2a ? a ? ; ? ? 3 4 12 6 ?2? 6 1 1 7 3 1 1 ? ,即 ? a ? 时, ? g ? x ?? max ? g ? 0 ? ? ? a ? 2a ? 3a ? 。 ? ? 3 4 12 4 3 3

当a?

5 7 ? a ? ,0 ? a ? , ? ? 6 12 所以 M ? a ? ? ? 1 7 ?3a ? , ? a ? 3 . ? 3 12 4 ?

9

(3)当 a ? ?0,

?7? 7 ? 7? ? 时, M ? a ? 是增函数, M ? a ? ? M ? ? ? ? 2 ; ? 12 ? 12 ? 12 ?

当a??

? 7 3? ? 3 ? 23 , ? 时, M ? a ? 是增函数, M ? a ? ? M ? ? ? ? 2. ?12 4 ? ? 4 ? 12
23 ,没有超标. 12

综上所述,市中心污染指数是

18.解:由相似三角形知,

OH OF1 ,? ? ? PF2 PF1

b2 a b2 2a ? a



∴ 2a

2

? ? b2? ? b2 ,2a2? ? b2 ?1 ? ? ? ,

b2 2? ? 。 2 a 1? ?

(1) e ?
2

c2 b2 2? 1 ? ? 1? ? ?1 1 ? ? 1? 2 ? 1? ? ,∴ e ? ,在 ? , ? 上单调递减. 2 a a 1? ? 1? ? 1? ? ?3 2?
1 1 1 1 2 2 时, e 最小 , ? ? 时, e 最小 , 2 3 3 2

∴? ?



1 1 3 2 ? e 2 ? ,∴ . ?e? 3 2 3 2

(2) 当 e ?

2 c 2 2 时, ? ,∴ c ? b ? a ,∴ 2b2 ? a 2 . 2 a 2 2

∵ PF2 ? F F2 ,∴ PF1 是圆的直径,圆心是 PF1 的中点, 1 ∴在 y 轴上截得的弦长就是直径,∴ PF1 =6. 又 PF1 ? 2a ?

b2 a2 3 ? 2a ? ? a ? 6 ,∴ a ? 4, c ? b ? 2 2 . a 2a 2

∴ PF2 ?

b2 a 2 ? ? 2 ,圆心 Q ? 0,1? ,半径为 3, x 2 ? ? y ? 1? ? 9 . a 2 x2 y 2 ? ? 1, 右准线方程为 x ? 4 2 , ∵直线 AM,AN 是圆 Q 的两条切 16 8

(3) 椭圆方程是

线,∴切点 M,N 在以 AQ 为直径的圆上。设 A 点坐标为 (4 2, t ) ,∴该圆方程为

x( x ? 4 2) ? ( y ?1)( y ? t ) ? 0 。∴直线 MN 是两圆的公共弦,两圆方程相减得:

10

4 2x ? (t ? 3) y ? 8 ? t ? 0 ,这就是直线 MN 的方程。
该直线化为: (? y ? 1)t ? 4 2 x ? 3 y ? 8 ? 0,? ?

?? y ? 1 ? 0, ? ?4 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, ?

? 5 2 5 2 , ?x ? , ?1) 。 ?? 8 ∴直线 MN 必过定点 ( 8 ? y ? ?1. ?
19、解: (1)∵ f ?( x) ?

2 2(1 ? x)(1 ? x) ? 2x ? ,x ? 0, x x

∴当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减。 ∴当 x=1 时, f ( x ) 有极大值,也是最大值,即为-1,但无最小值。 故 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) ;最大值为-1,但无最小值。 (2)方程 2 x ln x ? mx ? x ? 0 化为 ?m ? 2ln x ? x ,由(1)知, f ( x ) 在区间 ? , e ? 上 e
3 2

?1 ? ? ?

的最大值为-1, f ( ) ? ?2 ?

1 e

1 1 2 , f (e) ? 2 ? e , f (e) ? f ( ) 。 2 e e 1

∴ f ( x ) 在区间 ? , e ? 上的最小值为 ?2 ? 2 。 e e
2 故 ?m ? 2ln x ? x 在区间 ? , e ? 上有两个不等实根需满足 ?2 ? 2 ? ?m ? ?1 , e ?e ?

?1 ? ? ?

?1 ?

1

∴1 ? m ? 2 ?

1 1? ? ,∴实数 m 的取值范围为 ?1, 2 ? 2 ? 。 2 e e ? ? 2 ? 2 x ? a ,又 f ( x) ? ax ? 0 有两个实根 x1 , x2 , x

(3)∵ g ?( x ) ?

?2 ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0, ? 2 2 ∴? 两式相减,得 2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? a ? x1 ? x2 ? 2 ?2 ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0. ?
∴a ?

2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x1 ? x2 ? , ? x1 ? 0, x2 ? 0 ? x1 ? x2
/

于是 g

? px1 ? qx2 ? ?

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 ? 2 ? px1 ? qx2 ? ? ? ( x1 ? x2 ) px1 ? qx2 x1 ? x2

11

=

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 ? ? ? 2 p ? 1?? x2 ? x1 ? . px1 ? qx2 x1 ? x2

∵ q ? p ,∴ 2q ? 1 ,∵ 2 p ? 1 ,∴ (2 p ?1) ? x2 ? x1 ? ? 0 。 要证: g / ? px1 ? qx2 ? ? 0 ,只需证:

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 ? ? 0. px1 ? qx2 x2 ? x1
(*)

只需证:

x2 ? x1 x ? ln 1 ? 0 . px1 ? qx2 x2



x1 1? t ? ln t ? 0 ? t ? ? 0,1? ,∴(*)化为 pt ? 1 x2
1? t ? 0 即可. pt ? q
2

只证 u (t ) ? ln t ?

? pt ? q ? ? t 1 ? ? pt ? q ? ? ?1 ? t ??p 1 1 u ?t ? ? ? ? = ? 2 2 2 t t ? pt ? q ? t ? pt ? q ? ? pt ? q ?
/

? q2 ? p ? t ? 1? ? t ? 2 ? 2 p ? q ? , 2 ? 1, 0 ? t ? 1, = 2 p t ? pt ? q ?
2

∴ t ?1 ? 0 . ∴ u ? t ? ? 0 ,∴ u ? t ? 在 ? 0,1? 上单调递增,∴ u ?t ? ? u ?1? ? 0
/

∴ u ? t ? ? 0 ,∴ ln t ?

1? t ? 0. pt ? q

即:

x2 ? x1 x ? ln 1 ? 0 . px1 ? qx2 x2

∴g

/

? px1 ? qx2 ? ? 0 .

20、解: (1)当 r ? 0 时,计算得数列的前 8 项为:1,1,2,2,4,4,8,8.从而猜出 数列 ?a2k ?1? 、 ?a2k ? (k ? N ) 均为等比数列。
?

∵ a2k ? a2k ?1 ? 2a2k ?2 , a2k ?1 ? 2a2k ? 2a2k ?1 ,∴数列 ?a2k ?1? 、?a2k ? (k ? N ) 均为等比
?

数列,∴ a2k ?1 ? a2k ? 2k ?1 。 ①∴ S2k ? 2(a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2k ?1 ) ? 2(2 ? 1) ? 2
k
k ?1

?2,

12

S2k ?1 ? S2k ?2 ? a2k ?1 ? 2k ? 2 ? 2k ?1 ? 3? 2k ?1 ? 2 ,
? n ?1 n ? 2k , ?2 2 ? 2, k ? N ?. ∴ Sn ? ? n ?1 ?3 ? 2 2 ? 2, n ? 2k ? 1, ?
②证明(反证法) :假设存在三项 Sm , Sn , S p (m, n, p ? N ? , m ? n ? p) 是等差数列,即

2Sn ? Sm ? S p 成立。
因 m, n, p 均为偶数,设 m ? 2m1 , n ? 2n1 , p ? 2 p1 , m1 , 1 , p ? N ? ) ( , n1 ∴ 2 ? 2(2 1 ?1) ? 2(2 1 ?1) ? 2(2 1 ?1), 即 2 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ,
n m p n m p

∴2 1

n ? m1 ?1

? 1 ? 2 p1 ?m1 ,而此等式左边为偶数,右边为奇数,这就矛盾。

(2)∵ a2k ? a2k? 1 ? r ? 2 a2k? 2? r,∴ a2k ? r ? 2(a 2k ? 2 ? r ) ,∴ ?a2k ? r? 是首项为

1 ? 2r ,公比为 2 的等比数列,∴ a2k ? r ? (1 ? 2r ) ? 2k ?1 。
又∵ a2k ?1 ? 2a2k ? 2(a2k ?1 ? r ) ,∴ a2k ?1 ? 2r ? 2(a2k ?1 ? 2r ) ,∴ ?a2k ?1 ? 2r? 是首项为

1 ? 2r ,公比为 2 的等比数列,∴ a2k ?1 ? 2r ? (1 ? 2r ) ? 2k ?1 。


2k 2k ? ? a2 k ?1a2 k ?(1 ? 2r ) ? 2k ?1 ? 2r ? ? ?(1 ? 2r ) ? 2 k ?1 ? r ? ? ? ? ? 2k ?1 ? ?(1 ? 2r ) ? 2k ? 2 ? r ? ? ?(1 ? 2r ) ? 2k ?1 ? r ? ? ? ? ?

? 2 ? 1 1 , ?? ? k ?2 k ?1 1 ? 2r ? (1 ? 2r ) ? 2 ? r (1 ? 2r ) ? 2 ? r ? ? ? 2k 2 n ? 1 1 ∴? ? ? ? (1 ? 2r) ? 2k ?2 ? r ? (1 ? 2r) ? 2k ?1 ? r ? ? 1 ? 2r k ?1 ? k ?1 a2 k ?1a2 k ?
n

? 2 2 4 2 ? 1 1 ? (1 ? 2r ) ? 2?1 ? r ? (1 ? 2r ) ? 2n?1 ? r ? ? 1 ? 2r ? 1 ? 2r ? 2r ? 1 ? 2r 。 1 ? 2r ? ?
∵ r ? 0 ,∴
n 4 2k ? 4 。∴ ? ?4。 1 ? 2r k ?1 a2 k ?1a2 k

附加题部分
13

一、选做题: A.证: 如图,取 AC 中点 F ,连 EF 、 DF , EF 为三角形 ?ABC 得中位线,故有

EF ? AB , ?AEF ? ?EAB . ①
又由 ?BAD ? ?EAC ,所以 ?EAB ? ?DAC 。② 因 AD 是 BC 边上的高,则 ?ADC 是直角三角形,则 DF ? AF . 于是

?ADF ? ?DAC .…………③
联合①、②,得 ?ADF ? ?AEF ,由此,得 A 、 D 、 E 、 F 四点共圆. 于是, ?AFE ? 180? ? ?ADE ? 90? . 因 ?BAC ? ?AFE ? 180? ,故 ?BAC ? 90?

A F
最后一步, 也可由:

AD ? BC 得 EF ? AC ,
B D E

C 从而 AB ? AC ,得

?BAC ? 90? .
又取 AC 的中点 F ,连 EF ,也可证得 ?BAC ? 90? .

?1 ?2 ?1 B(矩阵与变换)解: M ? ? . ?0 ? ?
椭圆

? 0? ?, 1? 3? ?

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程为 x2 ? y 2 ? 1 。 4 9

? ? ? 3 t ?x ? 1? ? x ? 1 ? t cos 6 ? ? 2 (t 为参数) C. (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? . 1 ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 t ?x ? 1? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 , (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 , t1t2 ? ?2 , 2 2

则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 .

14

D. ? f ( x) ? x ? x ? 1 ,|x-a|<l,
2

? f ( x) ? f (a) ? x2 ? x ? a2 ? a ? x ? a ? x ? a ?1 ? x ? a ?1 ,
= ( x ? a) ? 2a ?1 ? x ? a ? 2a ?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 2( a ?1) 。 二、必做题 1.[解法一] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

2 1 5 ( )2 ? ( )2 ? . 3 3 9
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对 下轮比赛是否停止没有影响.从而有
P(? ? 2) ? 5 , 9

4 5 20 , P(? ? 4) ? ( )( ) ? 9 9 81 4 16 P (? ? 6) ? ( ) 2 ? , 9 81
5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
[解法二] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得

P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ?

5 , 9

P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )
2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81

P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )
2 1 16 ? 4( ) 2 ( ) 2 ? , 3 3 81 5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81

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2. (1)由 4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9 得 an ?1 ?

9 ? 2an 1 , ? 2? 4 ? an an ? 4

7 13 19 , a3 ? , a4 ? 3 5 7 6n ? 5 (2)猜想 an ? 2n ? 1
求得 a2 ? 证明:①当 n=1 时,猜想成立。

6k ? 5 , 2k ? 1 1 1 6k ? 1 6(k ? 1) ? 5 则当 n=k+1 时,有 ak ?1 ? 2 ? , ? 2? ? ? 6k ? 5 ak ? 4 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1 ?4 2k ? 1
②设当 n=k 时 (k ? N ?) 时,猜想成立,即 ak ? 所以当 n=k+1 时猜想也成立 ③综合①②,猜想对任何 n ? N ? 都成立。

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