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江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析


2014-2015 学年江苏省盐城市东台市创新学校高二(上)第二次 月考数学试卷(文科)
一、填空题 1.命题“? x∈R,x ﹣2x+1<0”的否定是 2.不等式 的解为 .
2



3.已知实数 x,y 满足条件

,则目标函数 z=2x﹣y 的最大值是


<

br />4. “x>1”是“x >1”的 不充分也不必要” )

2

条件(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既

5.某工厂生产产品,用传送带将产品送至下一个工序,质检人员每隔十分钟在传送带某一位 置取一件检验,则这种抽样的方法为 . 6.以下伪代码运行时输出的结果 B 是 A←3 B←A×A A←A+B B←B+A Print B. .

7.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,△EBC 为正三角形.若向正方形 ABCD 内随机投掷一个质 点,则它落在△EBC 内的概率为 .

8.已知命题 p:若 x +y =0,则 x、y 全为 0;命题 q:若 a>b,则 命题:①p 且 q, ②p 或 q,③? p④? q,其中是命题的是

2

2

.给出下列四个复合



9.一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率 .

10.焦点在 y 轴上,离心率是 ,焦距是 8 的椭圆的标准方程为



11.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分 布直方图如图所示,其中支出在后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下 列问题: (Ⅰ)求分数在 分析: 根据命题“? x∈R,x ﹣2x+1<0”是特称命题,其否定为全称命题,即? x∈R,x ﹣ 2x+1≥0.从而得到答 案. 解答: 解:∵命题“? x∈R,x ﹣2x+1<0”是特称命题 2 ∴否定命题为:? x∈R,x ﹣2x+1≥0 2 故答案为:? x∈R,x ﹣2x+1≥0. 点评: 本题考查命题的否定,解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则,全称命题 的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,书写时注意量词的变化.
2 2 2

2.不等式

的解为

{x|x>1 或 x<0} .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 通过移项、通分;利用两个数的商小于 0 等价于它们的积小于 0;转化为二次不等式, 通过解二次不等式求出解集. 解答: 解: 即 即 x(x﹣1)>0 解得 x>1 或 x<0 故答案为{x|x>1 或 x<0} 点评: 本题考查将分式不等式通过移项、 通分转化为整式不等式、 考查二次不等式的解法. 注 意不等式的解以解集形式写出

3.已知实数 x,y 满足条件

,则目标函数 z=2x﹣y 的最大值是 6 .

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 z=x﹣2y 过 y 轴 的截距最小,即 z 取最大值,从而求解.

解答: 解:先根据约束条件画出可行域,

目标函数 z=2x﹣y,z 在点 B(3,0)处取得最大值, 可得 zmax=2×3﹣0=6, 故最大值为 6, 故答案为 6; 点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 4. “x>1”是“x >1”的 充分不必要 条件(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” ) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 规律型. 分析: 利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解:由 x >1 得 x>1 或 x<﹣1. 2 ∴“x>1”是“x >1”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用向量相等的定义是解决本题的关键. 5.某工厂生产产品,用传送带将产品送至下一个工序,质检人员每隔十分钟在传送带某一位 置取一件检验,则这种抽样的方法为 系统抽样法 . 考点: 系统抽样方法. 专题: 阅读型. 分析: 根据系统抽样的特点,样本是在总体个数比较多的情况下,遵循一定的规则,具有相 同的间隔,得到的一系列样本. 解答: 解:工厂生产的产品,用传送带将产品送至下一个工序, 质检人员每隔十分钟在传送带某一位置取一件检验, 这是一个系统抽样; 故答案为:系统抽样法. 点评: 本题考查系统抽样方法,考查抽样方法是哪一个抽样,主要观察个体得到的方法是不 是符合系统抽样.本题是一个基础题.
2 2

6.以下伪代码运行时输出的结果 B 是 21 . A←3 B←A×A A←A+B B←B+A Print B. 考点: 伪代码. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行伪代码,依次写出 A,B 的值即可. 解答: 解:执行伪代码,有 A=3 B=9 A=12 B=21 输出 B 的值为 21. 故答案为:21. 点评: 本题主要考察了算法和伪代码的应用,属于基础题. 7.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,△EBC 为正三角形.若向正方形 ABCD 内随机投掷一个质 点,则它落在△EBC 内的概率为 .

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 根据已知,计算出正方形 ABCD 和△EBC 的面积,代入几何概型概率计算公式,可得答 案. 解答: 解:∵正方形 ABCD 的边长为 2, ∴正方形 ABCD 的面积为 4, 又∵△EBC 为正三角形. ∴△EBC 的面积为: = , ,

故向正方形 ABCD 内随机投掷一个质点,则它落在△EBC 内的概率 P= 故答案为:

点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量” ,可以为线段长度、面积、体积等,而且 这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条

件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最 后根据 P=N(A)/N 求解.
2 2

8.已知命题 p:若 x +y =0,则 x、y 全为 0;命题 q:若 a>b,则 命题:①p 且 q, ②p 或 q,③? p④? q,其中是命题的是 ②④ . 考点: 复合命题的真假. 专题: 常规题型;简易逻辑.

.给出下列四个复合

分析: 由题意,命题 p:若 x +y =0,则 x、y 全为 0 为真命题;命题 q:若 a>b,则 假命题,例如:a=1,b=﹣1;再由且,或非判断真假. 解答: 解:命题 p:若 x +y =0,则 x、y 全为 0 为真命题; 命题 q:若 a>b,则 为假命题,例如:a=1,b=﹣1;
2 2

2

2



故①p 且 q 为假, ②p 或 q 为真, ③? p 为假, ④? q 为真, 故其中是真命题的是②④; 故答案为:②④. 点评: 本题考查了复合命题的真假性的判断,属于基础题. 9.一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率 .

考点: 古典概型及其概率计算公式;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 本题是一个古典概型,试验发生包含的基本事件共 6×6 个,满足条件的事件是点数 和为 4 的可以列举出有(1,3) 、 (2,2) 、 (3,1)共 3 个,根据古典概型概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的基本事件共 6×6=36 个, 满足条件的事件是点数和为 4 的可以列举出有(1,3) 、 (2,2) 、 (3,1)共 3 个, ∴ 故答案为: 点评: 本题考查古典概型,古典概型和几何概型是我们学习的两大概型,古典概型要求能够 列举出所有事件和发生事件的个数,而不能列举的就是几何概型.

10.焦点在 y 轴上,离心率是 ,焦距是 8 的椭圆的标准方程为

=1



考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设椭圆的标准方程为 ,a>b>0,由已知得 ,由此能求出椭圆方程.

解答: 解:设椭圆的标准方程为

,a>b>0,

由已知得 b =64﹣16=48.
2

,解得 a=8,c=4,

∴椭圆的标准方程为

=1.

故答案为:

=1.

点评: 本题考查椭圆方程的求法,是中档题,解题时要注意椭圆性质的合理运用. 11.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分 布直方图如图所示,其中支出在 点评: 本题考查椭圆的基本性质和应用,解题时要注意公式的合理运用.

14.设椭圆 C: 离的最小值为

=1(a>b>0)恒过定点 A(1,2) ,则椭圆的中心到直线 l:x= +2 .

的距

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 函数的性质及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据椭圆 C: =1(a>b>0)恒过定点 A(1,2) ,可得 =1,利用椭圆几

何量之间的关系,设

=t,等式可转化为 t a ﹣(t +1)a +5=0,有正根的问题求解,即可求

2 4

2

2

得椭圆的中心到准线的距离的最小值. 解答: 解:∵椭圆 C: ∴可得 =1 =1(a>b>0)恒过定点 A(1,2) ,

设椭圆的中心到直线 l:x= 椭圆的焦距为 2c,同时可设

的距离为 d= =t,∴c=ta
2

∴b +4a =a b 2 2 2 2 2 ∴5a ﹣c =a (a ﹣c ) 2 2 2 2 ∴5a ﹣(ta ) =a

2

2

2 2

∴t a ﹣(t +1)a +5=0 有正根,∴

2 4

2

2

即只需△=(t +1) ﹣20t ≥0,且 t>0 时,方程有解 ∴t
2

2

2

2

t+1≥0 +2,或 0<t≤ ﹣2

∴t≥ 椭圆 C:

=1(a>b>0)恒过定点 A(1,2) ,

∴椭圆的中心到准线 x=

>1

∴椭圆的中心到准线的距离的最小值 +2, 故答案为: +2, 点评: 本题综合考查椭圆的标准方程与性质,考查解不等式,考查学生分析解决问题的能力, 有一定的技巧. 二、解答题 15.已知 p: ( ) ≤4,q:x ﹣2x+1﹣m ≤0(m>0) .
2 2 2

(1)分别求出命题 p、命题 q 所表示的不等式的解集 A,B; (2)若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 不等式的解法及应用;简易逻辑. 分析: (1)解二次不等式即可, (2)运用充分必要条件与集合的包含关系,得出不等式求解即可. 解答: 解: (1)∵p: ( ) ≤4,q:x ﹣2x+1﹣m ≤0(m>0) .
2 2 2 2 2

∴A={x|﹣2≤x≤10},B={x|x ﹣2x+1﹣m ≤0(m>0)}={x|1﹣m≤x≤1+m} (2)∵¬p 是¬q 的必要不充分条件 ∴q 是 p 的必要不充分条件, 令 p 命题对应的集合为 P,q 对应的集合为 Q, 即 P? Q,

在 1+m≥10,且 1﹣m≤﹣2, 即 m≥9 且 m≥3, 所以 m≥9 故实数 m 的取值范围:m≥9 点评: 本题考查了复合命题,充分必要条件与集合的包含关系,属于容易题. 16.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数) 分成六段后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)求分数在 本题主要考查了频率及频率分布直方图,以及平均数和概率的有关问题,考 查运用统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和运用意识. 17.已知不等式 ax ﹣2ax﹣3<0 的解集是 A (1)若 A=(﹣1,3)时,求 a 的值; (2)若 A 等于实数集时,求实数 a 的范围. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题(1)根据不等式的解集,得到相应方程的根据,由韦达定理可得系数 a 的值; (2) 对二镒项系数进行分类讨论,结合对应函数的图象,求出系数 a 满足的条件,得到本题结论. 解答: 解: (1)∵不等式 ax ﹣2ax﹣3<0 的解集是 A,A=(﹣1,3) , 2 ∴方程 ax ﹣2ax﹣3=0 的两根据分别为﹣1,3,且 a>0. ∴由韦达定理知:﹣1×3=﹣ , ∴a=1. (2)∵不等式 ax ﹣2ax﹣3<0 的解集是 A,A=R, ∴当 a=0 时,﹣3<0 恒成立,适合题意; 当 a≠0 时,a<0,△<0,∴﹣3<a<0. ∴﹣3<a≤0. 点评: 本题考查了函数、方程、不等式的关系,考查了根据与系数的关系韦达定理,本题难 度不大,属于基础题. 18.已知椭圆的中心在原点,两焦点 F1,F2 在 x 轴上,短轴的一个端点为 P. (1)若长轴长为 4,焦距为 2,求椭圆的标准方程; (2)若∠F1PF2 为直角,求椭圆的离心率; (3)若∠F1PF2 为锐角,求椭圆的离心率的范围. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据方程为 ,a =b +c ,P(0,±b)结合(1)长轴长为 4,焦距为 2,得
2 2 2 2 2 2

a=2,c=1(2)b=c(3)c<b 求解计算 解答: 解:∵椭圆的中心在原点,两焦点 F1,F2 在 x 轴上,短轴的一个端点为 P.

∴方程为

,a =b +c ,P(0,±b) ,

2

2

2

(1)∵长轴长为 4,焦距为 2,∴a=2,c=1,b= ∴方程为 + =1,

(2)∵∠F1PF2 为直角 2 2 2 2 2 ∴b=c,a =b +c ,a =2c , e= = , ,

即椭圆的离心率

(3)∵∠F1PF2 为锐角, 2 2 2 ∴c<b,a =b +c , 2 2 2 c <a ﹣c , 2 2 2c <a ,

∴椭圆的离心率的范围为(0,



点评: 本题考查了椭圆的方程,几何性质,属于计算题,难度不大. 19.如图,互相垂直的两条公路 AP、AQ 旁有一矩形花园 ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三 角形花园 AMN,要求点 M 在射线 AP 上,点 N 在射线 AQ 上,且直线 MN 过点 C,其中 AB=36 米, AD=20 米.记三角形花园 AMN 的面积为 S. (Ⅰ)问:DN 取何值时,S 取得最小值,并求出最小值; (Ⅱ)若 S 不超过 1764 平方米,求 DN 长的取值范围.

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (Ⅰ)由于 DC∥AB 得出△NDC∽△NAM,从而 AN,AM 用 DN 表示,利用三角形的面积 公式表示出面积,再利用基本不等式求最值,注意等号何时取得. (Ⅱ)由 S 不超过 1764 平方米,建立不等式,从而可求 DN 长的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)设 DN=x 米(x>0) ,则 AN=x+20. 因为 DC∥AB,所以△NDC∽△NAM

所以 所以

, ,即 .

所以 =

…(4 分) ,当且仅当 x=20 时取等号.

所以,S 的最小值等于 1440 平方米.…(8 分) (Ⅱ)由 得 x ﹣58x+400≤0.…(10 分)
2

解得 8≤x≤50. 所以,DN 长的取值范围是.…(12 分) 点评: 本题考查将实际问题转化成数学问题的能力,考查解不等式,考查利用基本不等式求 最值,属于中档题.

20.已知椭圆 C:

=1 (常数 m>1) ,P 是曲线 C 上的动点,M 是曲线 C 上的右顶点,定

点 A 的坐标为(2,0) (1)若 M 与 A 重合,求曲线 C 的焦点坐标; (2)若 m=3,求|PA|的最大值与最小值; (3)若|PA|的最小值为|MA|,求实数 m 的取值范围. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题;压轴题;转化思想. 分析: (1)根据题意,若 M 与 A 重合,即椭圆的右顶点的坐标,可得参数 a 的值,已知 b=1, 进而可得答案; (2)根据题意,可得椭圆的方程,变形可得 y =1﹣ 代入可得,|PA| =
2 2

;而|PA| =(x﹣2) +y ,将 y =1﹣
2

2

2

2

2

﹣4x+5,根据二次函数的性质,又由 x 的范围,分析可得,|PA| 的最

大与最小值;进而可得答案; (3) 设动点 P (x, y) , 类似与 (2) 的方法, 化简可得|PA| =
2

(x﹣

)+

2

+5,

且﹣m≤x≤m;根据题意,|PA|的最小值为|MA|,即当 x=m 时,|PA|取得最小值,根据二次函数 的性质,分析可得, ≥m,且 m>1;解可得答案.

解答: 解: (1)根据题意,若 M 与 A 重合,即椭圆的右顶点的坐标为(2,0) ; 则 a=2;椭圆的焦点在 x 轴上;

则 c= ; 则椭圆焦点的坐标为(

,0) , (﹣
2

,0) ;

(2)若 m=3,则椭圆的方程为 变形可得 y =1﹣
2 2 2 2

+y =1;


2 2

|PA| =(x﹣2) +y =x ﹣4x+4+y = 又由﹣3≤x≤3, 根据二次函数的性质,分析可得, x=﹣3 时,|PA| = x= 时,|PA| =
2 2

﹣4x+5;

﹣4x+5 取得最大值,且最大值为 25; ﹣4x+5 取得最小值,且最小值为 ;


则|PA|的最大值为 5,|PA| 最小值为 (3)设动点 P(x,y) , 则|PA| =(x﹣2) +y =x ﹣4x+4+y =
2 2 2 2 2



(x﹣

)﹣

2

+5,且﹣m≤x≤m;

当 x=m 时,|PA|取得最小值,且

>0,



≤m,且 m>1;

解得 1<m≤1+ . 点评: 本题考查椭圆的基本性质,解题时要结合二次函数的性质进行分析,注意换元法的运 用即可.


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