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数列之 高考汇编之 山东高考真题(文)


目标 计划 行动 反思 搏 我现在所做的事能使我更快更好的接近我的目标吗?

数列之 高考汇编之 山东高考真题(文)
2014 山东文(19) (本小题满分 12 分)在等差数列 ?an ? 中,已知 d ? 2 , a2 是 a1 与 a4 等比中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? an? n?1? , 记 Tn ? ?b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ?1? bn ,求 Tn
n

2

2013 山东文(20)(本小题满分 12 分)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 4S 2 , a2n ? 2an ? 1 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足

b b1 b2 1 ? ?? ? ?? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn a1 a2 an 2

2012 山东文(20) (本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a10

? 2a5 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* , 将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项和 Sm . 2011 山东文 20. (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 中,a1 , a2 , a3 分别是下表第一、 二、 三行中的某一个数, 且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)n ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 S 2 n .

2010 山东文(7)设 ?an ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列 ?an ? 是递增数列”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

2010 山东文(18) (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

2009 山东文 13.在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ __ . 2009 山东文 20.(本小题满分 12 分)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数
?

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 4an

2008 山东文 20. (本小题满分 12 分)将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1
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a2 a4 a7

a3 a5 a8 a6 a9 a10

记 表 中 的 第 一 列 数 a1,a2,a4,a7, ? 构 成 的 数 列 为 ?bn ? , b1 ? a1 ? 1 . Sn 为 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 , 且 满 足

2bn ? 1(n ≥ 2) . 2 bn Sn ? Sn
(Ⅰ)证明数列 ?

?1? ? 成等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; ? Sn ?

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当 a81 ? ? 时,求上表中第 k (k ≥3) 行所有项的和.

4 91

2007.山东文 18. (本小题满分 12 分)设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且

a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列.
(1)求数列 {an } 的等差数列. (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . , 2, ?,

答案
2014 山东文 19.【解析】 : (Ⅰ)由题意知:

?an ?为等差数列,设 an ? a1 ? ?n ?1?d ,? a2 为 a1 与 a4 的等比中项
2 2 ?a2 ? a1 ? a4 且 a1 ? 0 ,即 ?a1 ? d ? ? a1 ?a1 ? 3d ? ,? d ? 2 解得: a1 ? 2

? an ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n
(Ⅱ)由 (Ⅰ)知: an ? 2n , bn ? a n ( n?1) ? n(n ? 1)
2

①当 n 为偶数时:

Tn ? ??1? 2 ? ? ?2 ? 3? ? ?3 ? 4 ? ? ?? ? n?n ? 1?

? 2?? 1 ? 3? ? 4?? 3 ? 5? ? ?? ? n?? ?n ? 1? ? ?n ? 1?? ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 6 ? 2 ? ?? ? n ? 2 ? 2 ? ?2 ? 4 ? 6 ? ?? ? n ? ?2 ? n ? n n 2 ? 2n 2? ? 2? 2 2

②当 n 为奇数时:
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Tn ? ??1? 2? ? ?2 ? 3? ? ?3 ? 4? ? ?? ? n?n ? 1?

? 2?? 1 ? 3? ? 4?? 3 ? 5? ? ?? ? ?n ? 1??? ?n ? 2? ? n? ? n?n ? 1? ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 6 ? 2 ? ?? ? ?n ? 1?? 2 ? n?n ? 1? ? 2 ? ?2 ? 4 ? 6 ? ?? ? ?n ? 1?? ? n?n ? 1? ?2 ? n ? 1? n ? 1 2 2 ? n?n ? 1? ? ? n ? 2n ? 1 ? 2? 2 2

? n 2 ? 2n ? 1 ? ,n为奇数 ? ? 2 T ?? 2 综上: n ? n ? 2n , n为偶数 ? 2 ?
2013 山东文

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?5a1 ? 10d ? 105, 2012 山东文 20.解:(I)由已知得: ? ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 72m ,得 n ? 72 m?1 , 即 bm ? 72 m?1 .
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bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 , bk 7

∴ {bm } 是公比为 49 的等 比数列, ∴ Sm ?

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48

2011 山东文 20.【解析】 (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ?an ? 是等比数列,所以公比为 3,所以数列 ?an ? 的 通项公式 an ? 2 ? 3n?1 . (II)因为 bn ? an ? (?1)n ln an

? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (2 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? (n ? 1) ln 3] ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (ln 2 ? ln 3) ? (?1) n n ln 3,
所以

S2n ? b1 ? b2 ? ? ? b2 n ? 2(1 ? 3 ? ? ? 32n?1 ) ? [?1 ? 1 ? 1 ? ? ? (?1)2 n ](ln 2 ? ln 3)
|[?1 ? 2 ? 3 ? ?? (?1)2n 2n]ln 3
1 ? 32 n ? n ln 3 1? 3 ? 32 n ? n ln 3 ? 1. ? 2?
2010 山东文(7)【答案】C 【解析】若已知 a1 <a 2 ,则设数列 ?a n ? 的公比为 q ,因为 a1 <a 2 ,所以有 a1 <a1q ,解得 q>1, 又 a1 >0 ,所以数列 ?a n ? 是递增数列;反之,若数列 ?a n ? 是递增数列,则公比 q>1且 a1 >0 ,所以 a1 <a1q ,即 a1 <a 2 ,所以 a1 <a 2 是数列 ?a n ? 是递增数列的充分必要条件。 【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,属保分题。 2010 山东文(18) 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的 基础知识是解答好本类题目的关键。 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2 1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

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所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

2009 山东文 13.【解析】:设等差数列 {an } 的公差为 d ,则由已知得

a1 ? 2d ? 7 ? ? ?a1 ? 4d ? a1 ? d ? 6
解得 ?

? a1 ? 3 , ?d ? 2
w.w.w.k.s.5 .u. c.o. m

所以 a6 ? a1 ? 5d ? 13 . 答案:13.

【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 2009 山东文 20.解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.所以得
x
?

Sn ? b n ? r ,
当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r ,
w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则 Tn ? 所以 an ? (b ?1)bn?1

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 3 1 n ?1 1 2 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

【命题立意】 :本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数

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目标 计划 行动 反思 搏 我现在所做的事能使我更快更好的接近我的目标吗?

列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 Tn .

2bn ?1 2 b S ? Sn 2008.山东文 20. (Ⅰ)证明:由已知,当 n ≥ 2 时, n n ,


Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,

2( Sn ? Sn ?1 ) ?1 2 ( S ? S ) S ? S n n ? 1 n n 所以 , 2( Sn ? Sn ?1 ) ?1 ? S S n ? 1 n 即 , 1 1 1 ? ? S Sn ?1 2 , 所以 n


S1 ? b1 ? a1 ? 1.

?1? 1 ? ? S 所以数列 ? n ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.

1 1 n ?1 ? 1 ? (n ? 1) ? S 2 2 , 由上可知 n
Sn ? 2 n ?1 .



所以当 n ≥ 2 时,

bn ? Sn ? Sn ?1 ?

2 2 2 ? ?? n ?1 n n(n ? 1) .

?1,    n ? 1, ? bn ? ? 2 ? ? n(n ? 1) ,n ≥ 2. ? 因此
(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 ,且 q ? 0 .

q

1 ? 2 ? ? ? 12 ?
因为

12 ?13 ? 78 2 ,

所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 故

?an ? 的前 78 项,

a81 在表中第 13 行第三列,
a81 ? b13 ?q 2 ? ? 4 91 .
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因此

目标 计划 行动 反思 搏 我现在所做的事能使我更快更好的接近我的目标吗?



b13 ? ?

2 13 ? 14 ,

所以 q ? 2 . 记表中第 k (k ≥3) 行所有项的和为 S ,

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 2k ) 2 S? ?? ? ? (1 ? 2k )(k ≥ 3) 1? q k (k ? 1) 1 ? 2 k (k ? 1) 则 .
?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 2007.山东文 18.解: (1)由已知得 : ? (a ? 3) ? (a ? 4) 解得 a2 ? 2 . 1 3 ? 3 a . 2 ? ? 2
设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ?

2 ,a3 ? 2q . q

又 S3 ? 7 ,可知

1 2 ? 2 ? 2q ? 7 ,即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? 2,q2 ? . 2 q

, ? q ? 2 .?a1 ? 1 .故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 . 由题意得 q ? 1
(2)由于 bn ? ln a3n?1,n ? 1 由(1)得 a3n?1 ? 23n ?bn ? ln 23n ? 3n ln 2 , 2, ?, 又 bn?1 ? bn ? 3ln 2

?{bn } 是等差数列.
n(b1 ? bn ) n(3ln 2 ? 3n ln 2) 3n( n ? 1) ? ? ln 2. 2 2 2

?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

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