当前位置:首页 >> 数学 >>

§9.函数与方程能力提升训练(B)


函数的零点与方程的根专题能力提升训练
一、知识要点 1.零点的概念 (1)定义 使函数 f ( x) ? 0 的实数 x 的值叫 f ( x) 的零点. (2)几何意义及代数意义 1.若关于 x 的方程 二、考点演练 一、选择题

x x?4

? kx 2 ? 0 有 4 个不同的实
) D. (1,??)


f ( x) 的零点 ? 曲线 y ? f ( x) 与 x 轴的交点的横
坐标 ? 方程 f ( x) ? 0 的实根. 2.零点的性质 (1)函数 f ( x) 的图象穿过零点时,函数值变号; (2)相邻两零点之间的函数值同号. 3.零点存在性的判断(零点定理) ( 1 ) 在 区 间 [ a, b] 上 的 连 续 函 数 f ( x ) 满 足

数解,则实数 k 的取值范围是( A. (0,1) B. ( ,1)

1 4

C. ( ,?? )

1 4

2. 函数 f ( x) ? 2 sin ? x? 和等于( A.6 ) C.9

2 的所 有零点 之 3 x? x

B.7.5

D.12

3. 已 知 函 数 f ( x) ( x ? R) 是 偶 函 数 , 且

f (a) ? f (b) ? 0 ,则至少存在一个实数 c ,使得

f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x ? [0 , 2] 时, f ( x) ? 1 ? x ,
则方程 f ( x) ? 数是( A.8 ) B.9 C.10
2

f (c ) ? 0 , 即 f ( x) 在 ( a, b) 上至少存在一个零点 c .
若 f ( x) 在 ( a, b) 上严格单调,则在 ( a, b) 上存在唯 一实数 c ,使得 f (c) ? 0 . 4.求方程的实根(或判断实根个数)的方法 (1)代数法:解方程 f ( x) ? 0 ; (2) 数形结合法: 求曲线 y ? f ( x) 与 x 轴的交点; (3)辅助函数法:求曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的 交点个数, 转化为求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零 点个数. 5.用“二分法”求零点的近似值 ( 1 ) 给 定 区 间 [ a, b] 及 精 确 度

1 在区间 [?10 ,10] 上的解的个 1? | x |

D.11
2

4.若实数 a, b, c, d 满足 (b ? a ? 3 ln a) ?

(c ? d ? 2)2 ? 0 ,则 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的最小值
为( A. 2 ) B.2 C. 2 2 D.8

? ,验证

?2 ? x ? 1 ? a 5.已知函数 f ( x) ? ? ? f ( x ? 1)

( x ? 0) ,若方 ( x ? 0)

f (a) ? f (b) ? 0 ;
(2)求区间 [ a, b] 的中点 c ,计算 f (c) ; (3)验证 f (a) ? f (c) 与 f (b) ? f (c) 的符号: ①若 f (c) ? 0 ,则 c 为零点; ② 若 f (a) ? f (c) ? 0 , 则 零 点 x0 ? (a, c) , 令

程 f ( x) ? x 有且只有两个不相等的实数根, 则实数

a 的取值范围是(
A. (?1,??) C. (??,?1)

) B. (??,1) D. (1,??)

c ? b;
③ 若 f (b) ? f (c) ? 0 , 则 零 点 x0 ? (c, b) , 令

c ? a;
④判断 b ? a ? ? 是否成立, 若成立, 则任取 a , b 中 的一个数为零点,否则,重复②至④的步骤.
1

?1 ? x ? 1 , x ? (??, 2) ? 6.设函数 f ( x) ? ? 1 ,则函数 ? f ( x ? 2), x ?[2, ??) ?2
F ( x) ? xf ( x) ? 1的零点的个数为(
A.4 B.5 C.6 ) D.7

7.已知 x ? R ,符号 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, 若函数 f ( x ) ?

f (2) ? 1 ,所以原方程有唯一解 x ? 2 .类比上述解
题思路,方程 x 6 ? x 2 ? x 3 ? 6 x 2 ? 13x ? 10 的所有 实数解之和为________. 12. 若函数 f ? x ? ?

[ x] ? a ( x ? 0) 有且仅有 3 个零点, x

1 2? B. ? ?2 , 3? ? ? 3 4? D. ? ?4 , 5? ? ?

则 a 的取值范围是(
1 2? A. ? ? , ? ? 2 3? 3 4? C. ? ? , ? ? 4 5?

x ? 1 ? m 在区间 ? a, b ? 上的值

域为 ? a , b ? ? b ? a ? 1? ,则实数 m 的取值范围为

?2 2? ? ?

________. 13. 函 数 f ( x) ? 2x | log0.5 x | ? 1 的 零 点 个 数 为 ________. 14. 设 方 程 l o g 3 x ? x ? 3 ? 0 的 根 为 x1 , 方 程

8. 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足

f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 且 当 x ? (?1,3] 时 ,

?m 1 ? x 2 x , ? ?( 1 , 1 ] ? ,其中 m ? 0 ,若方 f ( x) ? ? 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?
程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为 ( )

3 x ? x ? 3 ? 0 的 根 为 x2 , 则 x1 ? x2 的 值 为
________. 15.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对于 ?x ? R , 都 有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , 且 当 x ? [?1,0] 时 ,

? 15 ? ? A. ? ? 3 ,3 ? ? ?
C. ( , )

15 B. ( , 7) 3
D. 2, 7

4 8 3 3

?

?

?1? f ( x) ? ? ? ? 1 ,若在区间 (?1,7] 内关于 x 的方 ?4?
程 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? 0 (a ? 0且a ? 1) 恰有 7 个 不同的实数根,则 a 的取值范围是________.

x

二、填空题 9. 已知方程 kx ? ? x 2 ? 4x ? 3 ? 1 ? 0 有两个不 同的实数根. (1)实数 k 的取值范围是________; (2)若方程的两根 x1 , x 2 满足 x2 ? 2 x1 ,则实数 k 的值等于________.

? 16. 方程 y ? 2 sin? x ( ?y2? ?2 xsin ??4) ?0 x (? 2? x ? 4)的所有实数
解之和等于________.

1 1? x

? log3 x (0 ? x ? 3) ? 17.已知函数 f ( x) ? ?1 ,若 10 2 ? x ? x ? 8 ( x ? 3) 3 ?3
存在实数 a, b, c, d 满足 f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) , 其 中 d ? c ? b ? a ? 0 , 则 abcd 的 取 值 范 围 是 ________. 18. 若 方 程

x ? [?1,0) ?? x , ? 10.已知函数 f ( x) ? ? ,若 1 ? 1 , x ? [ 0 , 1 ) ? f ( x ? 1) ?
方程 f ( x) ? kx ? k ? 0 有两个实数根,则实数 k 的 取值范围是________. 11.求方程 ( ) x ? ( ) x ? 1 的解有如下解题思 路: 设

x 4 ? ax ? 4 ? 0 的 所 有 根 (k ? 4)
所 对 应 的 点

x1 , x2 ,?, xk
? 4 ? ? xi , x i ?

3 5

4 5

? ? ? (i ? 1,2,?, k ) 均在直线 y ? x 的同侧,则 ?

3 4 f ( x) ? ( ) x ? ( ) x ,则 f ( x) 在 R 上单调递减,且 5 5
2

实数 a 的取值范围是________.

三、解答题 19.设函数 f n ( x) ? x n ? bx ? c (n ? N ? , b, c ? R) . (1)设 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间

20.已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? k ( x ? 1) . (1)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的值; (2)若方程 f ( x) ? g ( x) 有一根为 x1 ( x1 ? 1) ,方 程 f ?( x) ? g ?( x) 的根为 x0 ,是否存在实数 k ,使

?1 ? ? ,1? 内存在唯一零点; ?2 ?
( 2 ) 设 n ? 2 , 若 对 于 ?x1 , x2 ? [?1,1] , 有

x1 ? k ?若存在,求出所有满足条件的 k 的值;若 x0
不存在,说明理由.

f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4 ,求 b 的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设 xn 是 f n ( x) 在 ? ,1? 内 的零点,判断数列 x2 , x3 ,?, xn ,? 的增减性.

?1 ? ?2 ?

3

函数的零点与方程的根专题能力提升 训练
一、选择题 1.若关于 x 的方程

y ? k切 x

x x?4

? kx 2 ? 0 有 4 个不同的实
) 【答案】C D. (1,??) 因 为

2. 函数 f ( x) ? 2 sin ? x? 和等于( A.6 ) 【答案】C B.7.5 C.9

2 的所 有零点 之 3 x? x

数解,则实数 k 的取值范围是( A. (0,1) 【 解

1 B. ( ,1) 4


1 C. ( ,?? ) 4


D.12

【 解 析 】 由 f ( x) ? 2 s i? n x?

3 x? 2x =0 , 得

2s i n ?x ? 3x ? x 2 ,所以所有的零点之和即为曲
线 y ? 2 sin ?x 与上半圆 y ?

x x?4

? kx 2 ? 0 ? x (

1 ?k x) ? 0 , 所 以 x?4

3x ? x 2 的交点的

x ? 0 是方程的 1 个解, 于是只需当 x ? 0 时, 方程

横坐标之和,由图象知它们有 6 个交点,由于它们 的图象均关于直线 x ?

1 1 ? k x 有 3 个非 0 实数解, 即函数 y ? x?4 x?4
与 y ? k x 的图象有三个不同的交点. (1)当 k ? 0 时,显然不满足条件. ( 2 ) 当 k ? 0 时 , 其 中 x ? 0 时 , y ? kx 与

3 对称,所以 6 个交点为 3 2

对对称点,每对对称点的横坐标之和为 3,所以 3 对对称点的横坐标之和等于 9. 3. 已 知 函 数 f ( x) ( x ? R) 是 偶 函 数 , 且

f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x ? [0 , 2] 时, f ( x) ? 1 ? x ,
则方程 f ( x) ? 数是( A.8

1 y? 有 1 个交点,所以只需 x ? 0 时, x?4

1 在区间 [?10 ,10] 上的解的个 1? | x |

y ? ?kx 与 y ?

1 有 2 个交点即可,所以 x?4

) 【答案】B B.9 C.10 D.11

? k ? k切 .
1 1 因为 y ? ? ? ,令切点为 ( x0 , ) ,所 2 x0 ? 4 ( x ? 4)

【 解 析 】 ∵ 函 数 f ( x) 是 偶 函 数 , 且

f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,∴ f ( x) 是以 4 为周期的周期
函 数 , 且 对 称 轴 为 x ? 2 , ∵ 当 x ? [0 , 2] 时 ,

1 x ?4 1 1 以 k切 ? ? , 于是 ? , ? 0 2 2 x0 ( x0 ? 4) ( x0 ? 4)
解之得 x0 ? ?2 ,于是 k 切 ? ? 所以 ? k ? ?

f ( x) ? 1 ? x , 其图像如图所示,所以交点个数为
9 个.

1 1 ?? , 2 4 (?2 ? 4)

1 1 1 ,即 k ? ,所以 k ( ,?? ) . 4 4 4
4.若实数 a, b, c, d 满足 (b ? a ? 3 ln a) ?
2 2

(c ? d ? 2)2 ? 0 ,则 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的最小值
4

为( A. 2

) 【答案】D B.2 C. 2 2
2 2

C. (??,?1) D.8
2

D. (1,??)

【 解 析 】 当 x ? 0 时 , 由 f ( x) ? x , 得

【解析】

?b ? a

? 3 ln a? ?? c ? d ? 2? ? 0,

?b ? a 2 ? 3ln a ? 0 ?b ? 3 ln a ? a 2 ?? ,即 ? ,即 ?c ? d ? 2 ? 0 ?d ? c ? 2

1 ( )x ?1 ? x ? a . 根 据 图 象 知 只 需 ? a ? 1 , 即 2

a ? (?1,??) .

M ? a, b? , N ? c, d ? 分 别 是 函 数 y ? 3ln x ? x2 和
y ? x ? 2 的图象上的点.

? a ? c ? ? ?b ? d ?
2

2

?

?
y
8 6 4

? a ? c ? ? ?b ? d ?
2

2

? ? MN
2

2

,所以问题转化为求曲线 y ? 3ln x ? x2 上的点 M 到直线 y ? x ? 2 上的点 N 的距离的最小值.

?1 ? x ? 1 , x ? (??, 2) ? 6.设函数 f ( x) ? ? 1 ,则函数 f ( x ? 2), x ? [2, ?? ) ? ?2
F ( x) ? xf ( x) ? 1的零点的个数为(
A.4 B.5 C.6 ) 【答案】C D.7

g?x? = x+2
2

N(c,d)

x
M(a,b)
-2

【解析】令 F ( x) ? xf ( x) ? 1 ? 0 ,则 f ( x) ?

1 . x

所 以 F ( x) ? xf ( x) ? 1 的 零 点 个 数 即 为 曲 线
f?x? = 3? ln?x?-x2

-4

-6

y ? f ( x) 与 y ?

1 的交点个数, 由图象知交点个数 x

-8

由 y ? 3ln x ? x2 , 得 y? ?

3 ? 2x . 因 为 直 线 x

为 6 个.

3 y ? x ? 2 的斜率为 1,所以 ? 2 x ? 1 ,解之得 x
x1 ? ?3 (舍去), x2 ? 1 .
由 x ? 1 , 得 y ? ?1 , 所 以 M ?1,? 1 ? 到直线

y ? x?2
MN ?










2



7.已知 x ? R ,符号 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, 若函数 f ( x ) ?

1 ? ? ?1? ? 2 12 ? ? ?1?
2

? 2 2 ,从而有 MN ? 8 .
( x ? 0) ,若方 ( x ? 0)

[ x] ? a ( x ? 0) 有且仅有 3 个零点, x
) 【答案】C
3 4? C. ? ? , ? ? 4 5? 3 4? D. ? ?4 , 5? ? ?

?2 ? x ? 1 ? a f ( x ) ? 5.已知函数 ? ? f ( x ? 1)

则 a 的取值范围是(
1 2? A. ? ? , ? ? 2 3? 1 2? B. ? ?2 , 3? ? ?

程 f ( x) ? x 有且只有两个不相等的实数根, 则实数

【 解 析 】 由 f ( x) ?

a 的取值范围是(
A. (?1,??)

) 【答案】A B. (??,1)
5

[ x] ? a ? 0 ( x ? 0) , 得 x

[ x] ? ax ,所以曲线 y ? [ x] 与 y ? ax 有且仅有 3
个交点, 由图象知, 过原点的直线 y ? ax 只能从点

(4,3) 的上方与点 (5,4) 的下方穿过,且不能过点
(4,3) ,但可过点 (5,4) ,所以
3 4 ?a? . 4 5


x ? y ? ? 3 ? ? 2 ?( x ? 4) 2 ? y ? 1( y ? 0) ? m2 ?





(9m 2 ? 1) x 2 ? 72m 2 x ? 135m 2 ? 0





t ? 9m 2 ? 0 , 则 (t ? 1) x 2 ? 8tx ? 15t ? 0 , 由

? ? (8t ) 2 ? 4 ?15t (t ? 1) ? 0 , 得 t ? 15 , 于 是
m?
8. 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足

15 . 3

f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 且 当 x ? (?1,3] 时 ,

? , ? ?( 1 , 1 ] ?m 1 ? x 2 x f ( x) ? ? ,其中 m ? 0 ,若方 ? ? 1 ? x ? 2 , x ? (1,3]
程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为 ( A. ? ) 【答案】B

x ? y? ? 3 ? 同理,联立 ? ,由 2 ?( x ? 8) 2 ? y ? 1( y ? 0) ? m2 ?
? ? ? 0 ,得 m ? 7 .综上得 m ? (

15 , 7) . 3

? 15 ? ? ? 3 ,3 ? ? ?
4 8 3 3

B. (

15 , 7) 3

m

C. ( , )

D. 2, 7

?

?
二、填空题 9. 已知方程 kx ? ? x 2 ? 4x ? 3 ? 1 ? 0 有两个不 同的实数根. (1) 实数 k 的取值范围是________; 【答案】( 0, ] (2)若方程的两根 x1 , x 2 满足 x2 ? 2 x1 ,则实数 k 的值等于________.【答案】

【 解 析 】 当 x ? (?1,1] 时 , 将 函 数 化 为 方 程

x2 ?

y2 ? 1 ( y ? 0) ,其图象为一个上半椭圆, m2

x ? (1,3] 时,图象为一条折线段.
由 3 f ( x) ? x , 得 f ( x) ?

x , 所以问题转化为曲线 3

1 3

y ? f ( x) 与直线 y ?
因为当 x ? 6 时, y ? 折线段与直线 y ? 只需直线 y ?

x 有 5 个交点. 3 x ? 2 ? 1 ,即 x ? (5,7] 时的 3

1 7

【 解 析 】 由 kx ? ? x 2 ? 4x ? 3 ? 1 ? 0 , 得

x 无交点,所以要有 5 个交点, 3

kx ? 1 ? ? ? x 2 ? 4x ? 3 , 问 题 转 化 为 过 定 点
(0,?1) 的 直 线
y ? kx ? 1 与 下 半 圆

x 与 x ? (3,5] 时的半椭圆相交,与 3

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 有两个交点.
(1)由图象知直线只能从切线的上方与点 (3,0) 的 下方穿过,且不能相切,但能过点 (3,0) ,所以
6

x ? (7,9] 时的半椭圆不相交即可.

0?k ?

1 . 3

( 2 )由 x2 ? 2 x1 ,得 AC=2AB ,令 AB ? t ,则

AC ? 2t ,由 AB ? AC ? AD2 ,得 t ? 2t ? 4 ,解
之得 t ?

2 ,即 AB ? BC ? 2 ,又因为圆的半

11.求方程 ( ) x ? ( ) x ? 1 的解有如下解题思 路: 设

3 5

4 5

2 径为 1,于是圆心到 BC 的距离为 . 2
1 2 从而 ,解之得 k ? 1 (舍) or k ? . ? 7 2 k 2 ?1
y

3 4 f ( x) ? ( ) x ? ( ) x ,则 f ( x) 在 R 上单调递减,且 5 5
f (2) ? 1 ,所以原方程有唯一解 x ? 2 .类比上述解
题思路,方程 x 6 ? x 2 ? x 3 ? 6 x 2 ? 13x ? 10 的所有 实数解之和为________.【答案】1 【 解 析 】 令

2k ? 1

f ( x) ? x 3 ? x , 因 为

O

·

(3,0)

f ?( x) ? 3x 2 ? 1 ? 0 ,所以 f ( x) 在 R 上单调递增.

x



x 6 ? x 2 ? x 3 ? 6 x 2 ? 13x ? 10




得 即

(0,?1)
y

x 6 ? x 2 ? ( x ? 2) 3 ? ( x ? 2)

( x 2 ) 3 ? x 2 ? ( x ? 2) 3 ? ( x ? 2) .
3 由 f ( x) ? x ? x 单调递增,得 x ? x ? 2 ,解之
2

x1
O

·
D

x2
C

(0,?1)A

B

x

得 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,所以 x1 ? x2 ? 1. 12. 若函数 f ? x ? ?

x ? 1 ? m 在区间 ? a, b ? 上的值

x ? [?1,0) ?? x , ? 10.已知函数 f ( x) ? ? ,若 1 ? 1 , x ? [ 0 , 1 ) ? f ( x ? 1) ?
方程 f ( x) ? kx ? k ? 0 有两个实数根,则实数 k 的 取值范围是________.【答案】 k ? [?

域为 ? a , b ? ? b ? a ? 1? ,则实数 m 的取值范围为

?2 2? ? ?

________.【答案】 (0, ] 【解析】

1 2

1 ,0) 2

【解析】方程 f ( x) ? kx ? k ? 0 有两个实数 根, 即 y ? f ( x) 与 y ? k ( x ? 1) 的图象有两个交点.

x ? [?1,0) ?? x , ? 由已知得 f ( x) ? ? , 1 ? ? 1, x ? [0,1) ? ? x ?1
由图象知只需 k AB ? k ? 0 ,即 ?

1 ? k ? 0 ,所以 2

1 k ? [? ,0) . 2
7

13. 函 数 f ( x) ? 2x | log0.5 x | ? 1 的 零 点 个 数 为 ________.【答案】2 【 解 析 】 由 f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 =0 , 得

7 个交点,由已知得 f ( x) 是周期为 2 的周期函数, 由图象得 ?

?log a (5 ? 1) ? 3 ,解之得 a ? (3 6 ,2) . ?log a (7 ? 1) ? 3

1 x 1 l o 0.g 由 f ( x) ? ( ) x 与 y ?| log 0.5 x | 的图 5 x ? ( ) , 2 2
象知有 2 个交点.

·· · · ·· ·
? 16. 方程 y ? 2 sin? x ( ?y2? ?2 xsin ??4) ?0 x (? 2? x ? 4)的所有实数 1 1? x

14. 设 方 程 l o g 3 x ? x ? 3 ? 0 的 根 为 x1 , 方 程

解之和等于________.【答案】8 【解析】 y ?

3 x ? x ? 3 ? 0 的 根 为 x2 , 则 x1 ? x2 的 值 为
________.【答案】3 【解析】 x1 即为 y ? log3 x 与 y ? 3 ? x 的图象的 交点 P 的横坐标; x2 即 y ? 3 x 与 y ? 3 ? x 的图象 的交点 Q 的横坐标.因为 y ? log3 x 与 y ? 3 x 的图 象关于直线 y ? x 对称,直线 y ? 3 ? x 也关于

1 1 ?? 和 y ? 2sin ? x(的图象 ?2 ? x ? 4) 1? x x ?1

有公共的对称中心 (1,0) , 由图象知它们在 [?2,4] 上 有 8 个交点,分别为 4 对对称点,每一对的横坐标 之和等于 2,所以所有的横坐标之和等于 8.

y ? x 对称,所以两个交点关于 y ? x 对称,于是

y ? 3 ? x 与 y ? x 的交点即为 PQ 的中点,所以

x1 ? x2 ? 2 x P ? 3 .

? log3 x (0 ? x ? 3) ? 17.已知函数 f ( x) ? ?1 ,若 10 2 ? x ? x ? 8 ( x ? 3) 3 ?3
存在实数 a, b, c, d 满足 f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) , 其 中 d ? c ? b ? a ? 0 , 则 abcd 的 取 值 范 围 是

15.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对于 ?x ? R , 都 有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , 且 当 x ? [?1,0] 时 ,

,24) ________.【答案】 abcd ? (21
【解析】由 f (a) ? f (b) ,得 log3 a ? log3 b , 所以 a ? b (舍),或 a ?

?1? f ( x) ? ? ? ? 1 ,若在区间 (?1,7] 内关于 x 的方 ?4?
程 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? 0 (a ? 0且a ? 1) 恰有 7 个 不同的实数根, 则 a 的取值范围是________. 【答案】

x

1 ,即 ab ? 1 . b

又由图象知

c?d ? 5 , 即 d ? 10 ? c , 所 以 2

abcd ? c(10 ? c) ? ?(c ? 5) 2 ? 25 .
2 而3 ? c ? 4 , 所以 21 ? ?(c ? 5) ? 25 ? 24 ,

a ? (3 6 ,2)
【解析】方程 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? 0 在 (?1,7] 有 7 个实数根,即为 f ( x) 与 y ? loga ( x ? 1) 的图象有
8

,24) . 即 abcd ? (21







x1 , x2 ?[?1,1]都有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4等价于f 2 ( x)在[?1,1]



x1 , x2 ?[?1,1]都有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4等价于f 2 ( x)在[?1,1] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 之 差

M ? 4.
18. 若 方 程

x 4 ? ax ? 4 ? 0 的 所 有 根 (k ? 4)
所 对 应 的 点

据此分类讨论如下:

x1 , x2 ,?, xk
? 4 ? ? xi , x i ?

1 ? . 当 b ? 1,即 b ? 2时,
2

? ? ? (i ? 1,2,?, k ) 均在直线 y ? x 的同侧,则 ?

. M ? f 2 (1) ? f 2 (?1) ? 2 b ? 4, 与题设矛盾.

2 ? . 当 - 1 ? - b ? 0,即0 ? b ? 2时,
2
. M ? f 2 (1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4, 恒成立 .

实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________. 【 答 案 】

a ? (??,?6) ? (6,??)
三、解答题 19.设函数 f n ( x) ? x n ? bx ? c (n ? N ? , b, c ? R) . (1)设 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间

b 2

b 2

3? . 当0 ? - b ? 1,即 - 2 ? b ? 0时,
2

b b . M ? f 2 (-1) ? f 2 (? ) ? ( - 1) 2 ? 4, 恒成立 . 2 2
综上得 - 2 ? b ? 2 . (3)证法一:设 xn 是 f n ( x) 在 ? ,1? 内的唯一零 点.
n n ?1 f n ( xn ) ? xn ? x n ? 1 ? 0, f n ?1 ( x n ?1 ) ? x n ?1 ? x n ?1 ? 1 ? 0, x n ?1 ? (

?1 ? ? ,1? 内存在唯一零点; ?2 ?
( 2 ) 设 n ? 2 , 若 对 于 ?x1 , x2 ? [?1,1] , 有

?1 ? ?2 ?

f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4 ,求 b 的取值范围;
?1 ? ? ?

1 2

1 n ? ,1? 内 n ?1 (3)在(1)的条件下,设 xn f是 f n ( x) 在 n ( xn ) ? xn ? 2x n ? 1 ? 0, f n ?1 ( x n ?1 ) ? x n ?1 ? x n ?1 ? 1 ? 0, x n ?1 ? ( ,1) . 2
的零点,判断数列 x2 , x3 ,?, xn ,? 的增减性. 【 解 析 】( 1 ) 当 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 时 , 则
n?1 f n ( xn ) ? 0 ? f n?1 ( xn?1 ) ? xn ?1 ? xn?1 ? 1

?1, n ? 2时,f n ( x) ? x n ? x ? 1 .

n ? xn ?1 ? xn?1 ? 1 ? f n ( xn?1 ) .

?1 ? 1 1 1 1 ? f n ( ) f n (1) ? ( n ? ) ? 1 ? 0,? f n ( x)在( , 1) 又 由 ( 1 ) 知 f n ( x) 在 ? 2 ,1? 上 递 增 , 所 以 ? ? 2 2 2 2 内存在零点. xn ? xn?1 (n ? 2) .
又因为当 x ? ? ,1? 时, f n?( x) ? nx

?1 ? ?2 ?

n?1

?1 ? 0 ,

所以数列 x2 , x3 ,?, xn ,? 是递增数列.

1 1 ? f n ( x)在( , 1)上是单调递增的,? f n ( x)在( , , 1)内存在唯一零点。 2 2

1 . 单调递增的,? f n ( x)在( , 1)内存在唯一零点。 2
2 (2)当 n ? 2 时, f 2 ( x) ? x ? bx ? c .

9

20.已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? k ( x ? 1) . (1)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的值; (2)若方程 f ( x) ? g ( x) 有一根为 x1 ( x1 ? 1) ,方 程 f ?( x) ? g ?( x) 的根为 x0 ,是否存在实数 k ,使

x1 ? k ?若存在,求出所有满足条件的 k 的值;若 x0
不存在,说明理由. 【解析】 (1)因为函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 所 以 f ( x) ? g ( x)恒 成 立 ? ln x ? 立. 令

k ( x ? 1) 恒成 x

h( x) ? ln x ?

k ( x ? 1) ( x ? 0) x





h?( x) ?

1 k x?k ? 2 ? 2 . x x x

当 k ? 0 时, h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 是 (0, ??) 上的

h(1) ? 0 .不合题 增函数,所以 0 ? x ? 1 时,h( x) ? 0
意,舍去.

(2)

10


相关文章:
2015年高二新田一中培优训练函数与方程九
2015年高二新田一中培优训练函数与方程九_数学_高中教育_教育专区。2015 年高二...g ( x) 有实数解的区间是 (0,1) . B 能力提升训练 1. 【成都石室中学...
2013届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练2 函数与...
2013届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练2 函数与...函数与方程及函数的实际应用 1.B [根据函数的零点...综上可知,存在常数 t= 11.解 15- 17 ,8,9 ...
华工《高等数学B(上)》随堂练习参考答案
华工《高等数学B(上)》随堂练习参考答案_司法考试_...C. D. 设函数 ,则 B. ( ) 参考答案:A 9. ...设函数方程 所确定,则 ( ) A.0 B. 参考...
九年级函数与方程专题复习
九年级函数与方程专题复习_初三数学_数学_初中教育_...函数与方程(组)综合应用 例 1.直线 y=2x+b 与...三、课内练习 1.体育课上,老师用绳子围成一个...
B函数函数与方程
B函数函数与方程_高二数学_数学_高中教育_教育专区...答案: 689.9 来源:09 年浙江杭州市月考二 题型:...函数及其表达式练习(A,B... 7页 免费 高中数学...
步步高大一轮复习讲义数学2.9函数与方程
( ) A.6 B.7 C.8 D.9 题型三 二次函数的...但不必要. 课时规范训练 (时间:60 分钟) A 组 ...并求出该零点. 2 B 组 专项能力提升题组 一、...
...初等函数导数及其应用2.9函数与方程课时规范训练
一轮复习第二章 基本初等函数导数及其应用2.9函数与方程课时规范训练_数学_高中...[B 级 能力突破] 1.(2015·高考福建卷)若 a,b 是函数 f(x)=x -px+q...
第九节(函数与方程)
第九节(函数与方程)_数学_高中教育_教育专区。第九...(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4) ) ...淘宝提升转化率秘诀 淘宝刷信誉互刷注意事项 淘宝客...
2015届高三数学人教B版(通用,理)8函数与方程
2015届高三数学人教B版(通用,理)8函数与方程_数学...{x|- <x<1}. 2 三、解答题 x 1 9. 已知...B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1. 已知 x1...
河南省新乡市2017届高三上学期模拟考试能力提升训练数...
设,讨论的单调性. 9.设. (1).如果存在使得成立...能力提升训练卷答案 文数参考答案 1.B 解析:由...答案: (1)函数的定义域为. 依题意,方程有两个...
更多相关标签: