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高中数学(人教A版 选修2-1)活页规范训练:1-4-1,1-4-2,1-4-3全称量词与存在量词(Word有详解答案)


1.4

全称量词与存在量词 1.4.1 1.4.2 全称量词 存在量词

1.4.3

含有一个量词的命题的否定

双基达标
1. 下列命题中, 不是全称命题的是 A.任何一个实数乘以 0 都等于 0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小 D.一定存在没有最大值的二次函数 解析 D 选项是特称命题. 答案 D

?限时 20 分钟? ( ).

2.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数 x,使 x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 1 D.存在一个负数 x,使 >2 x

(

).

解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角,所以是假命题;B 中 x=0 时,x2=0,所以 B 既是特称命题又是真命题;C 中因为 3+(- 3)=0,所以 C 是假命题;D 中对于任一 1 个负数 x,都有 <0,所以 D 是假命题. x 答案 B 3.下列命题中的假命题是 A.?x∈R,2x 1>0


( B.?x∈N*,(x-1)2>0 D.?x0∈R,tan x0=2

).

C.?x0∈R,lg x0<1

解析 A 中命题是全称命题,易知 2x 1>0 恒成立,故是真命题;


B 中命题是全称命题,当 x=1 时,(x-1)2=0,故是假命题; C 中命题是特称命题,当 x=1 时,lg x=0,故是真命题; D 中命题是特称命题,依据正切函数定义,可知是真命题. 答案 B 4.命题 p:?x0∈R,x02+2x0+4<0 的否定綈 p:________. 解析 特称命题“?x0∈M,p(x0)”的否定是全称命题“?x∈M,綈 p(x)”.故填?x∈R, x2+2x+4≥0. 答案 ?x∈R,x2+2x+4≥0

5.对任意 x>3,x>a 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析 对任意 x>3,x>a 恒成立,即大于 3 的数恒大于 a,∴a≤3. 答案 (-∞,3]

6.判断下列命题的真假,并写出命题的否定: (1)有一个实数 a,使不等式 x2-(a+1)x+a>0 恒成立; (2)对任意实数 x,不等式|x+2|≤0 成立; (3)在实数范围内,有些一元二次方程无解. 解 (1)对于方程 x2-(a+1)x+a=0 的判别式 Δ=(a+1)2-4a=(a-1)2≥0,则不存在实 数 a,使不等式 x2-(a+1)x+a>0 恒成立,所以命题为假命题.它的否定为:对任意实 数 a,使 x2-(a+1)x+a>0 不恒成立. (2)当 x=1 时,|x+2|>0,所以原命题是假命题,它的否定为:存在实数 x,使|x+2|>0. (3)真命题,它的否定为:在实数范围内,所有的一元二次方程都有解.

综合提高(限时 25 分钟)
7.下列命题的否定为假命题的是 A.?x∈R,-x2+x-1<0 B.?x∈R,|x|>x C.?x,y∈Z,2x-5y≠12 D.?x0∈R,sin2x0+sin x0+1=0 解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题,只有选项 A 中的命题为真命题,其余 均为假命题,所以选 A. 答案 A 8. 若存在 x0∈R, 使 ax02+2x0+a<0, 则实数 a 的取值范围是 A.a<1 B.a≤1 ( ).

(

).

C.-1<a<1

D.-1<a≤1

解析 当 a≤0 时,显然存在 x0∈R,使 ax02+2x0+a<0; 当 a>0 时,必需 Δ=4-4a2>0, 解得-1<a<1,故 0<a<1. 综上所述,实数 a 的取值范围是 a<1. 答案 A 9.命题“零向量与任意向量共线”的否定为________. 解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”,是全称命题,其 否定为特称命题:“有的向量与零向量不共线”. 答案 有的向量与零向量不共线 10.若?x∈R,f(x)=(a2-1)x 是单调减函数,则 a 的取值范围是________. 解析
2 ? ?a -1>0 ? 依题意有:0<a -1<1? 2 ? ?a -1<1 ? 2

?a<-1或a>1 ?- 2<a<-1 或 1<a< 2. ? ?- 2<a< 2
答案 (- 2,-1)∪(1, 2) 11.已知命题“对于任意 x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数 a 的取值范围. 解 因为全称命题“对于任意 x∈R,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“存在 x0∈R,x02 +ax0+1<0”. 由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式是真命题. 由于函数 f(x)=x2+ax+1 是开口向上的抛物线, 借助二次函数的图象易知: Δ =a2-4>0, 解得 a<-2 或 a>2. 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞). 12.(创新拓展)若?x∈R,函数 f(x)=mx2+x-m-a 的图象和 x 轴恒有公共点,求实数 a 的 取值范围. 解 (1)当 m=0 时,f(x)=x-a 与 x 轴恒相交,所以 a∈R; (2)当 m≠0 时,二次函数 f(x)=mx2+x-m-a 的图象和 x 轴恒有公共点的充要条件是Δ =1+4m(m+a)≥0 恒成立,即 4m2+4am+1≥0 恒成立. 又 4m2+4am+1≥0 是一个关于 m 的二次不等式, 恒成立的充要条件是 Δ=(4a)2-16≤0, 解得-1≤a≤1. 综上所述,当 m=0 时,a∈R; 当 m≠0,a∈[-1,1].


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