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揭阳市2016届高中毕业班高考第一次模拟考试(理数答案)


数学(理科)参考答案
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,

表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题:C D C A B C A D B C C B 解析:11.由 sin ? x ? cos ? x ? tan ? x ? 1,又 x ? [?1, 2] 得 x ? ?

3 或 4

x?

1 5 3 2 1 2 5 2 或 x ? ,即点 A(? , ? ), B( , ), C ( , ), 4 4 4 2 4 2 4 2

故 S?ABC ?

1 5 3 2 2 ? [ ? (? )] ? [ ? (? )] ? 2 . 2 4 4 2 2
|k| ? 2, 2

12. 由已知得圆心到直线的距离小于半径,即

【或由 ?

? x ? y ? k ? 0,
2 2 ? x ? y ? 4.

? 2 x 2 ? 2kx ? k 2 ? 4 ? 0 ,因直线与圆有两个不同的交点,

所以 ? ? 4k 2 ? 8(k 2 ? 4) ? 0 , 】 由 k ? 0 得 0 ? k ? 2 2 ----① 如图,又由 | OA ? OB |?

??? ? ??? ?

? ? 3 ??? 3 | AB | 得 | OM |? | BM | ? ?MBO ? 6 3 3
|k| ? 1 ? k ? 2 ----② 1+1
14.1; 综①②得 2 ? k ? 2 2 . 16.2.

因 | OB |? 2 ,所以 | OM |? 1 ,故 二、填空题:13. 17 ;

15. 32+8? ;

解析:14. 由函数 f ? x ? 是周期为 2 的奇函数得

( f

2016 6 4 4 ) ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ? lg 9 ? lg 5 , 5 9 5 5 5 5 2016 5 ) ? lg18 ? lg ? lg18 ? lg10 ? 1 5 9 1 =32+8? . 2

故 f(

15. 依题意知,该几何体是上面长方体下接半圆柱的组合体,故其体积 为: 4 ? 4 ? 2+? ? 2 ? 4 ?
2

16. ∵A、 3 B、C 成等差数列,∴ A ? C ? 3B ,又 A ? B ? C ? ? ,∴ B ? ? ,

2

4

1

2 2 2 2 2 由 S?ABC ? 1 ac sin B ? 1 ? 2 得 ac ? 2(2 ? 2) ,∵ b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? 2ac ,

2

及 a 2 ? c 2 ? 2ac ,∴ b2 ? (2 ? 2)ac ? 4 , b ? 2 ,∴b 的最小值为 2. 三、解答题: 17.解: (Ⅰ)当 n ? 2 时, 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? n ? n2 ? [(n ?1) ? (n ?1)2 ] ? 2 ? 2n --------2 分 ,-------------------------------------------------------------3 分 an ? 1 ? n ( n ? 2 ) 当 n ? 1 时,由 2S1 ? 1 ? 12 得 a1 ? 0 ,-----------------------------------------------4 分 显然当 n ? 1 时上式也适合, ∴ an ? 1 ? n .--------------------------------------------------------------------5 分 (Ⅱ)∵

2 2 1 1 ? ? ? , ------------------------------------6 分 (1 ? an )(1 ? an? 2 ) n(n ? 2) n n ? 2

∴ T2n ? (b1 ? b3 ? ? ? b2n?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? b2n ) -------------------------------------7 分

1 1 1 1 1 1 ? (20 ? 2?2 ? ? ? 22?2 n ) ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ] -----------------------9 分 2 4 4 6 n n?2

1 1 ? ( )n 4 ? 1 ? ? 1 ---------------------------------------------------------11 分 ? 1 2 n?2 1? 4 11 4 1 1 ? ? ? ( )n ? . ----------------------------------------------------------12 分 6 3 4 n?2
18.解: (Ⅰ) 男 女 合计 不满意 3 11 14 满意 4 2 6 合计 7 13 20
2

-------------------------------2 分 ∵ K ? 3.7781<3.84 1,

∴在犯错的概率不超过 5%的前提下,不能认为“满意与否”与“性别”有关。----------3 分 (Ⅱ)由频率估计“满意”的概率为 6 ? 0.3 ,--------------------------------------4 分

20

2 ∴在 3 人中恰有 2 人满意的概率为 C3 【或 189 】--------------6 分 0.32 ? (1 ? 0.3) ? 0.189 ;

(Ⅲ) ? 的可能取值为 0、1、2、3,-----------------------------------------------7 分

1000

P(? ? 0) ? P(? ? 3) ?

1 C32 C11 ? ? 11 , 2 1 C7 C13 91 2 1 C4 C2 ? ? 4 , 2 1 C7 C13 91

P(? ? 1) ?

1 1 1 1 C3 C4 C11 C32 C2 ? ? ? ? 46 , 2 1 2 1 C7 C13 C7 C13 91

P(? ? 2) ? 1 ? 11 ? 46 ? 4 ? 30 ,-------------------10 分 91 91 91 91
0 1 2 3

? 的分布列为

?
P

11 91

46 91

30 91
2

4 91

---------------11 分

数学期望 E? ? 1? 46 ? 2 ? 30 ? 3 ? 4 ? 118 . --------------------------------------12 分

91

91

91

91

19.解法 1: (Ⅰ)? PA ? 平面 ABCD,? PA ? CD, ∵AB//CD,AB⊥AD,∴ CD ? AD,

P

E

? CD ? 平面 PAD ,CD⊥PD,---------------------2 分
∴ ? PDA 二为面角 P—CD—B 的平面角,
A

F

D

??PDA ? 450 ,? AP ? AD, ---------------------4 分
取 PD 的中点 E,PC 的中点 F,连结 AE,BF,EF, 则 AE ? PD ,∵ CD ? 平面 PAD ,

B C

∴ AE ? CD ,? AE ? 平面 PCD ,------------------------------------------------6 分 ∵ EF // CD 且 EF ?

1 1 CD , AB / / CD, AB ? CD , 2 2

∴四边形 ABFE 为平行四边形,∴ AE // BF ,? BF ? 平面 PCD , ∵ BF ? 面 BPC ,∴平面 BPC ? 平面 DPC ----------------------------------------8 分 (Ⅱ)设点 A 到平面 PBC 的距离为 d ,由 VP? ABC ? VA? PBC 得 ? PA ? S ?ABC ?

1 3

1 ? d ? S ?PBC --9 分 3

? BF ? AE ? 2, PC ? PD2 ? CD2 ? 2 3, -------------------------------------10 分 1 1 ? S?PBC ? ? BF ? PC ? 6, S ?ABC ? ? 1? 2 ? 1, -----------------------------------11 分 2 2 6 6 ?d ? . 即点 A 到平面 PBC 的距离为 . ---------------------------------------12 分 3 3
z

【解法二: (Ⅰ)以 A 为原点,以射线 AB、AD、AP 分别为 x 轴、 y 轴、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 A (0, 0, 0) , B (1, 0, 0), D(0, 2, 0), C (2, 2, 0), P(0, 0, a),
A

P

E

???? ??? ? DC = (2, 0, 0), DP = (0, - 2, a), -----------------------2 分 B x ?? ???? ì ?? ? ? n1 ?DC 0 设 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? 为平面 PCD 的一个法向量,由 í ?? ??? ? ? n ? DP 0 ? ? 1 ì x1 = 0 ? ? ? 解得 í a , ? y1 = z1 ? ? 2 ? ?? 取 z1 ? 2 得 n1 ? ? 0, a, 2 ? --------------------------------------------------------4 分 ?? ? 又 n2 ? ? 0,0,1? 是平面 ACD 的一个法量. ------------------------------------------5 分

F D

y

C

3

∴ cos 45? ? | cos ? n1,n2 ? |?

?? ?? ?

2 a ?4
2

,解得 a ? 2. ---------------------------6 分

?? ? ??? ? ì ?? ? ? ì x3 = - 2 y3 n3 ?BC 0 ? ? 设 n3 ? ? x3 , y3 , z3 ? 为平面 PBC 的一个法向量,由 í ?? ,解得 ? , ? ??? ? í ? ? x3 = 2 z3 n ? BP 0 ? ? ? 3 ? ?? ? 取 z3 ? 1得 n3 ? ? 2, ?1,1? --------------------------------------------------------7 分

?? ?? ? ?? ?? ? ? n1 ? n3 ? 0,? n1 ? n3 ,∴平面 BPC ? 平面 DPC ------------------------------8 分
??? ? ?? ? ??? ? | AP ? n | ??? ? ??? ? ?? ? 3 ? ???? --------------------------10 分 ?d ? | AP || cos ? AP,n3 ? | ?| AP | ??? | AP | ? | n3 |
? 2 22 ? (?1)2 ? 1 ? 6 . 3
(Ⅱ)设点 A 到平面 PBC 的距离为 d ,

∴点 A 到平面 PBC 的距离为

6 . -------------------------------------------------12 分】 3
5 , 2

20.解: (Ⅰ)由点 M ? m, 2? 到抛物线焦点 F 的距离为 结合抛物线的定义得, 2 ?

p 5 ? ,即 p ? 1 ,---------------------------------------2 分 2 2

抛物线的方程为 x2 ? 2 y ,把点 M ? m, 2? 的坐标代入,可解得 m ? 2 ;------------------3 分 (Ⅱ)解法 1:显然直线 AB 、 AC 的斜率都存在, 分别设 AB 、 AC 的方程为 y ? k1 x ? b , y ? k2 x ? 联立 ?

1 ---------------------------------4 分 2

? y ? k1 x ? b ,得 x2 ? 2k1 x ? 2b ? 0 ,------------------------------------------5 分 2 ? x ? 2y 1 ? ? y ? k2 x ? 2 联立 ? 2 ,得 x ? 2k2 x ?1 ? 0 ,-------------------------------------------6 分 2 ? ? x ? 2y
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ? , 则 x1 x2 ? ?2b , x1 x3 ? ?1,同理, x2 x4 ? ?1 ,--------------------------------------7 分

故 k AB ? 4kCD

1 2 1 2 2 ( x2 ? x12 ) ( x4 ? x3 ) y4 ? y3 2 y2 ? y1 2 ? 4? ? ? 4? ? ---------------------8 分 x2 ? x1 x4 ? x3 x2 ? x1 x4 ? x3

?

x1 ? x2 x ?x 1 1 ? 2( x3 ? x4 ) ? 1 2 ? 2( ? ) ? 0 ,-----------------------------------9 分 2 2 x1 x2

4

注意到点 A 、 B 在第一象限, x1 ? x2 ? 0 ,∴

1 2 ? ? 0 ---------------------------10 分 2 x1 x2

故得 x1 x2 ? 4 , ?2b ? 4 ,∴ b ? ?2 ,即直线恒经过点 ? 0, ?2 ? .----------------------12 分 【解法 2::设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ? , 显然直线 AC 的斜率都存在,设 AC 的方程为, y ? kx ?

1 ----------------------------4 分 2

1 ? ? y ? kx ? 2 联立 ? 2 ,得 x ? 2kx ? 1 ? 0 ,---------------------------------------------5 分 2 ? ? x ? 2y

? x1 x3 ? ?1 ,同理, x2 x4 ? ?1 ,--------------------------------------------------6 分
1 2 1 2 2 ( x2 ? x12 ) ( x4 ? x3 ) y4 ? y3 2 y2 ? y1 2 ? 4? ---------------------8 分 ? ? 4? ? x2 ? x1 x4 ? x3 x2 ? x1 x4 ? x3

故 k AB ? 4kCD

?

x1 ? x2 x ?x 1 1 ? 2( x3 ? x4 ) ? 1 2 ? 2( ? ) ? 0 ,-----------------------------------9 分 2 2 x1 x2

注意到点 A 、 B 在第一象限, x1 ? x2 ? 0 , ∴

1 2 ? ? 0 ,故得 x1 x2 ? 4 ,-------------------------------------------------10 分 2 x1 x2
x ?x xx x ?x x12 x1 ? x2 ? ( x ? x1 ) 化简得 y ? 1 2 x ? 1 2 ? 1 2 x ? 2 2 2 2 2 2

直线 AB 的方程为 y ?

即直线 AB 恒经过点 ? 0, ?2 ? .----------------------------------------------------12 分】 21.解: (Ⅰ) f '( x) ? ( x ? a)(2ln x ? 1 ? a ) ,--------------------------------------2 分

x

由 x = e 是 f(x)的极值点,得 f '(e) ? ? e ? a ? ? 3 ?

? ?

a? ? ? 0 ,解得 a ? e 或 a ? 3e ,---------3 分 e?

经检验,符合题意,所以 a ? e 或 a ? 3e ;------------------------------------------4 分 (Ⅱ)解法 1:由已知得方程 f ( x) ? 4e 只有一个根,
2

即曲线 f(x)与直线 y ? 4e 只有一个公共点。
2

易知 f ( x) ? (??, ??) ,设 h( x) ? 2 ln x ? 1 ?

a ,------------------------------------5 分 x

①当 a ? 0 时,易知函数 f(x)在 (0, ??) 上是单调递增的,满足题意;--------------------6 分

5

②当 0 ? a ? 1 时,易知 h(x)是单调递增的,又 h(a) ? 2ln a ? 0 , h(1) ? 1 ? a ? 0 , ∴ ?x0 ? (a,1) , h( x0 ) ? 0 , 当 0 ? x ? a 时, f '( x) ? ( x ? a)(2ln x ? 1 ? a ) >0,∴f(x)在 (0, a ) 上单调递增,

x

同理 f(x)在 (a, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , ??) 上单调递增, 又极大值 f (a) ? 0 ,所以曲线 f(x) 满足题意;---------------------------------------8 分 ③当 a>1 时, h(1) ? 1 ? a ? 0 , h(a) ? 2ln a ? 0 , ∴ ?x0 ? (1, a) , h( x0 ) ? 0 ,即 2 ln x0 ? 1 ?

a ? 0 ,得 a ? x0 ? 2x0 ln x0 , x0

可得 f(x) 在 (0, x0 ) 上单调递增,在 ( x0 , a) 上单调递减,在 (a, ??) 上单调递增, 又 f (a) ? 0 ,若要曲线 f(x) 满足题意,只需 f ( x0 ) ? 4e2 ,即 ( x0 ? a)2 ln x0 ? 4e2 , 所以 x02 ln3 x0 ? e2 ,由 x0 ? 1 知 g ( x) ? x2 ln3 x ? 0 ,且在[1,+∞)上单调递增, 由 g (e) ? e2 ,得 1 ? x0 ? e ,因为 a ? x0 ? 2x0 ln x0 在[1,+∞)上单调递增, 所以 1 ? a ? 3e ;----------------------------------------------------------------11 分 综上知, a ? (??,3e) 。---------------------------------------------------------12 分 选做题: 23.解: (Ⅰ)在椭圆
2
2

x2 ? y 2 ? 1中, 3

∵ a ? 3 , b ? 1 ,∴ c ? a2 ? b2 ? 2 ,即 F1 ? 2, 0 ,--------------------------2 分 故 x0 ? ? 2 ,在直线 l 的参数方程中,令 x ? 0 ,解得 tC ?

?

?

2 ;--------------------4 分 cos ?

(Ⅱ)解法 1:把 ?

? x ? ? 2 ? t cos ? ? 代入椭圆方程,并整理得: y ? t sin ? ? ?

?1 ? 2sin ? ? t
2

2

? 2 2t cos ? ? 1 ? 0 ,----------------------------------------------6 分

设点 A 、 B 对应的参数为 t A 、 t B ,由 F 1B ? AC 结合参数 t 的几何意义得:

t A ? tB ? tC ,即
解得 sin ? ?

2 2 cos ? 2 ,----------------------------------------------8 分 ? 2 1 ? 2sin ? cos ?

1 ? ? ?? ,依题意知 ? ? ? 0, ? ,∴ ? ? .----------------------------------10 分 2 6 ? 2?

【解法 2:设 A、B 两点的横坐标分别为 xA 、 xB , 将直线 l 的普通方程 y ? tan ? ( x ? 2) 代入椭圆方程并整理得:
6

(1 ? 3tan2 ? ) x2 ? 6 2 tan2 ? x ? 6tan2 ? ? 3 ? 0 ,------------------------------------6 分
则 xA ? xB ? ? ∵ | F1 B |?

6 2 tan 2 ? ,-------------------------------------------------------7 分 1 ? 3tan 2 ?

? xB ? 2 x ,| AC |? A ------------------------------------------------8 分 cos ? cos ? 6 2 tan 2 ? , 1 ? 3tan 2 ?

∴ xA ? xB ? ? 2 ? ? 解得 tan ? ? ?

? 3 ? ?? ,依题意知 ? ? ? 0, ? ,得 ? ? . --------------------------------10 分】 6 3 ? 2?

7


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