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第十九章——优选法


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第十九章

优选法

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考纲要求 备考策略 优选法是高考中的选做内容,常以填空 题的形式考查优选法中的基本概念,如单峰 函数、黄金分割法、分数法、对分法、盲人 爬山法、分批试验法等,利用这些方法确定 最佳点,属容易题. 复习时采用以下应对策略: 1.立足课本,突出基础,重视概念的辨析 与理解. 2.重点弄清楚重要的两种优选法, 即黄金 分割法与分数法的操作过程和方法. 3.理论联系实际, 多与日常生活中的实例 结合,真正把优选法作为一种工具应用于实 际当中去,体会优选法的魅力.

1.掌握分数法、0.618 法及其适用范围, 运用这些方法解决一些实际问题,知道优选 法的思想方法. 2.了解斐波那契数列{Fn},理解在试验次 数确定的情况下分数法最佳性的证明,通过 Fn-1 连分数知道 和黄金分割的关系. Fn 3.知道对分法、爬山法、分批试验法,以 及目标函数为多峰情况下的处理方法.

知识网络

考点诠释
重点:根据不同的实际问题选择恰当的寻找最佳点的方法. 难点:比较不同优选方法的利弊和适用范围.

典例精析
题型一 关于黄金分割法的优选法应用问题 【例 1】炼某种航天材料,需添加某种化学元素以增加抗氧化强度,加入范围是 1 000~ 2 000 克,求最佳加入量. 【思路分析】可用黄金分割法进行优选. 【解析】第一步:先在试验范围长度的 0.618 处做第(1)个试验: x1=小+(大-小)×0.618 =1 000+(2 000-1 000)×0.618=1 618 克. 第二步:第(2)个试验点由公式计算:

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x2=大+小-x1=2 000+1 000-1 618=1 382 克. 第三步:比较(1)与(2)两点上所做试验的效果,现在假设第(1)点比较好,就去掉第(2)点, 即去掉[1 000,1 382]这一段范围,留下[1 382,2 000]. 而第(3)试点 x3=大+小-x1=1 382+2 000-1 618=1 764 克. 第四步:比较在上次留下的好点,即第(1)处和第(3)处的试验结果,看哪个点好,然后就 去掉效果差的那个试验点以外的那部分范围,留下包含好点在内的那部分范围作为新的试验 范围,?,如此反复,直到得到较好的试验结果为止. 【方法归纳】用黄金分割法优选最佳点,每次留下的试验范围是上一次长度的 0.618 倍, 随着试验范围越来越小,试验越趋于最优点,直到达到所需精度即可. 【举一反三】 1.设有一个优选问题, 其因素范围是 1 500~2 500, 假设最优点在 2 300 处. (1)用 0.618 法进行优选,写出第二、第三个试点的数值; (2)若第一试点取 2 010,写出第二、第三、第四个试点的数值. 【解析】(1)由 0.618 法得第一个试点为 x1=1 500+0.618×(2 500-1 500)=2 118. 由“加两头,减中间”得 x2=1 500+2 500-2 118=1 882. 因为最优点在 2 300 处,所以新的存优范围是[1 882,2 500], 所以 x3=2 500+1 882-2 118=2 264. 同理可知新的存优范围是[2 118,2 500]. (2)因为 x1=2 010, 则由对称原理知 x2=1 500+2 500-2 010=1 990, 因为最优点在 2 300 处,所以 x1 优于 x2,新的存优范围是[1 990,2 500]. 所以 x3=1 990+2 500-2 010=2 480,所以新的存优范围是[2 010,2 500]. 所以 x4=2 010+2 500-2 480=2 030. 题型二 用分数法解决优选法的应用问题 【例 2】某化工厂准备对一化工产品进行技术改良,现决定优选加工温度,试验范围定 为 60 ℃~81 ℃,精确度要求±1 ℃,现在技术员用分数法进行优选. (1)如何安排试验? (2)若最佳点为 69 ℃,请列出各试验点的数值; (3)要通过多少次试验才可以找出最佳点? 13 【思路分析】(1)试点数为 F7-1=20,可确定第一试点的位置为 ,以此类推即可; 21 (2)69 ℃在存优范围内,故每次试验都要去掉不包含 69 ℃的那部分;(3)由分数法的最 优性定理可求得. 13 【解析】(1)试验区间为[60,81],等分为 21 段,分点为 61,62,?,79,80,所以 60+ × 21 (81-60)=73(℃). 故第一试点安排在 73 ℃.由“加两头,减中间”的方法得 60+81-73=68,所以第二试 点选在 68 ℃.后续试点也可以用“加两头,减中间”的方法来确定. (2)若最佳点为 69 ℃,即从第二次试验开始知 69 ℃在存优范围内,由(1)知第一、二次 试验点的值分别为 73,68,因为 69?[60,68],故去掉 68 ℃以下的部分,则第三次试验点的 值为 68+81-73=76.同理去掉 76 ℃以上的部分, 第四次试验点的值 68+76-73=71, 第五 次试验点的值为 68+73-71=70, 第六次试验点的值为 68+71-70=69.即安排了 6 次试验, 各试验点的数值依次为:73,68,76,71,70,69. (3)共有 20 个分点,由分数法的最优性定理可知 F7=21,即通过 6 次试验可从这 20 个分 点中找出最佳点.

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【方法归纳】用分数法安排试验,一旦用

Fn-1 确定第一个试点,后续的试点可以用“加 Fn

两头,减中间”的方法来确定. 【举一反三】2.(2011 湖南考前演练模拟)在湖南电视台快乐购某一档互动节目中,主持 人出示了一款现场参与观众不了解的新产品, 并告诉参与者这款新产品的价格在 1 000 元与 9 000 元之间,然后由参与者估价,当参与者给出的估价与产品实际价格的差距大于 1 元时, 主持人以“高了”或“低了”作提示,然后参与者继续估价,若参与者在规定的 n 次内的估 价与产品价格的差距小于或等于 1 元时,则参与者获得该产品.若参与者使用对分法进行估 价,则一定能获得该产品的最小估价次数 n 应为 13 . 1 【解析】该参与者利用对分法进行估价,每次估价都将价格范围缩小 ,则 n 次估价后, 2 8 000 价格范围的长度为 n ,由 2n≥8 000,得 n≥13,故最少需要估价 13 次,才能保证参与者 2 一定能获得该产品,所以 n 的最小值为 13.

体验高考
(2011 湖南)已知某试验范围为[10,90],若用分数法进行 4 次优选试验,则第二次试点 可以是________. 【解析】因为试验的范围为[10,90],可以将其分成 10,20,30,?,90,把试验范围 5 分成 8 段,所以有第一试点:x1=10+ ×(90-10)=60,第二试点用“加两头,减中间”的 8 方法可得到:x2=10+90-60=40,故第二个试点可以是 40 或 60.

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