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2017届江西省赣中南五校高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题


江西赣中南五校 2017 届高三一摸测试
数学试卷(理科)
题号 得分 一、单项选择题(每题 5 分,共 60 分) 1、设集合 ,则集合 等于( ) 一、选择题 二、填空题 三、简答题 四、综合题 总分

A. 2、如果函数 A.a≥9

B.

C.

D.

/>在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范围是( ) B.a≤-3 C.a≥5 D.a≤-7

3、 函数

的定义域为(



A.(

,1)

B.(

,+



C.(1,+



D.

4、设函数

,

(

) )

A.3 B.6 C.9 D.12 5、已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸,那么可得这个几何体最长的棱长是( A、2 6、已知点 A. B、 在经过 B. C、 两点的直线上,则 C. D、 的最小值为 ( D.不存在 )

7、为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信 息为 a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为 h0a0a1a2h1,其中 h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为 0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信息为 111,则传输信息为 01111,信息在传输过程中受到干扰 可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( ) A.11 010 B.01 100 C.10 111 D.00 011 8、如右图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动,M 和 N 是小圆的一条固定 直径的两个端点,那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出的图形大致是( )



1第

9、

中,

分别为

的对边,如果

成等差数列,



的面积为

,那么 为(



A.

B.

C.

D.

10、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若



,则 cosB=( )

A.-

B.

C.-

D.

11、已知双曲线的方程为 P,且 y 轴平分线段 A. 12、已知函数 ,则双曲线的离心率是( B. C.

,过左焦点 )

作斜率为

的直线交双曲线的右支于点

D. 的解析式应( )

的大致图象如图所示,则函数

A.

B.

C. 二、填空题(每空 5 分,共 20 分)

D.

13、定积分

____________.

14、某城区有农民、工人、知识分子家庭共计 2 000 户,其中农民家庭 1 800 户,工人家庭 100 户.现要从 中抽取容量为 40 的样本调查家庭收入情况,则在整个抽样过程中,可以用到的抽样方法的是 .(填 序号) ①简单随机抽样;②系统抽样;③分层抽样.

15、已知命题 p:x2+3x-3>0;命题 q:

>1,若“綈 q 且 p”为真,则 x 的取值范围是________.

16、已知定义在 R 上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2) ,且当 x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给 出以下四个命题: ①f(2)=0;
页 2第

②x=﹣4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[8,10]单调递增; ④若方程 f(x)=m 在[﹣6,﹣2]上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=﹣8. 上述命题中所有正确命题的序号为 . 三、综合题:必考题每题 12 分,选考题共 10 分;总分 70 分。 必考题 17、在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, . (Ⅰ)求证:A、B、C 三点共线; (Ⅱ) 已知 A (1, cosx) , B (1+cosx, cosx) (0≤x≤ ) , 的最小值为﹣ , 求实数 m 的值. ;A、B、C 三点满足满足

18、已知数列 (1)若 ( 2 )设

与 ,且 ,

满足 ,求数列 (

, 的通项公式; ) ,求

.

的取值范围,使得

有最大值

与最小值

,且

.

19、2016 年里约奥运会在巴西里约举行,为了接待来自国内外的各界人士,需招募一批志愿者,要求志愿 者不仅要有一定的气质,还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识。志愿者的选拔分面试和知识问答两 场,先是面试,面试通过后每人积 60 分,然后进入知识问答。知识问答有 A,B,C,D 四个题目,答题者必 须按 A,B,C,D 顺序依次进行,答对 A,B,C,D 四题分别得 20 分、20 分、40 分、60 分,每答错一道题扣 20 分,总得分在面试 60 分的基础上加或减。答题时每人总分达到 100 分或 100 分以上,直接录用不再继续答 题;当四道题答完总分不足 100 分时不予录用。 假设志愿者甲面试已通过且第二轮对 A,B,C,D 四个题回

答正确的概率依次是

,且各题回答正确与否相互之间没有影响.

(Ⅰ) 用 X 表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数,求 X 的分布列和数学期 望; (Ⅱ)求志愿者甲能被录用的概率.

20、四棱锥 S-ABCD 中,侧面 SAD 是正三角形,底面 ABCD 是正方形,且平面 SAD⊥平面 ABCD,M、 N 分别是 AB、SC 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 SAD;
页 3第

(Ⅱ)求二面角 S-CM-D 的余弦值.

21、如图,已知抛物线 定点,它们到焦点 的距离均为 ,且点

,其焦点

到准线的距离为 ,点

、点

是抛物线

上的

位于第一象限.

(1)求抛物线 (2)若点 线 , 若

的方程及点 是抛物线 、

、点 异于

的坐标; 、 的一动点,分别以点 、 、 为切点作抛物线 的面积依次为 的三条切 ,



分别相交于 D、 E、 H, 设



,问:

是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由。

22、 已知函数 (1)当 (2)若 时,求函数 , 的单调区间; 恒成立,求 的取值范围;

(3)若


,证明:

.
4第

选考题 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应题号后方的方框涂黑。 22.选修 4-1:几何证明选讲 如 图 , AB 是 圆 O 的 直 径 , 弦 BD 、 CA 的 延 长 线 相 交 于 点 E , F 为 BA 延 长 线 上 一 点 , 且 ,求证: (1) ; (2) .

23. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴为极轴建立极

坐标系,

曲线 的方程为 若曲线 (1)求 (2)求点 与

( 为参数) ,曲线 的极坐标方程为

,

相交于 A、B 两点. 的值; 到 A、B 两点的距离之积.

24. 选修 4-5:不等式选讲 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 定 义 点 ,点 (1)若 (2)当 时,不等式 , , 、 之 间 的 直 角 距 离 为

,求 的取值范围; 恒成立,求 t 的最小值.



5第

理科数学参考答案 一、选择题 1、C 2、A 3、A 4、C 5、A 6、B 7、C 8、A 9、C 10、B 11、C 12、A 二、填空题 13、 【解析】

试题分析: 考点:定积分 14、①②③ 【解析】由于各家庭有明显差异,所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭 中抽出若干户,即 36 户、2 户、2 户.又由于农民家庭户数较多,那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样; 而工人、知识分子家庭户数较少,宜采用简单随机抽样法.故整个抽样过程三种抽样方法都要用到.

15、 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞) 解析 因为“綈 q 且 p”为真,即 q 假 p 真,而 q 为真命题时



即 2<x<3,所以 q 假时有 x≥3 或 x≤2;p 为真命题时,由 x2+2x-3>0,解得 x>1 或 x<-3,由

得 x≥3 或 1<x≤2 或 x<-3, 所以 x 的取值范围是(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞). 16、 ①②④ . 【考点】命题的真假判断与应用;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据 f(x)是定义在 R 上的偶函数,及在 f(x+4)=f(x)+f(2) ,中令 x=﹣2 可得 f(﹣2)=f (2)=0,从而有 f(x+4)=f(x) ,故得函数 f(x)是周期为 4 的周期函数,再结合 y=f(x)单调递减、 奇偶性画出函数 f(x)的简图,最后利用从图中可以得出正确的结论. 【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , 可得 f(﹣2)=f(2) ,
页 6第

在 f(x+4)=f(x)+f(2) ,中令 x=﹣2 得 f(2)=f(﹣2)+f(2) , ∴f(﹣2)=f(2)=0, ∴f(x+4)=f(x) ,∴函数 f(x)是周期为 4 的周期函数,又当 x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,结合函 数的奇偶性画出函数 f(x)的简图,如图所示. 从图中可以得出: ②x=﹣4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[8,10]单调递减; ④若方程 f(x)=m 在[﹣6,﹣2]上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=﹣8. 故答案为:①②④.

【点评】本题考查函数奇偶性的性质,函数奇偶性的判断,考查学生的综合分析与转化能力,属于难题. 三、简答题

17、 【分析】 (Ⅰ)根据向量减法的几何意义,在 向 量 的 数 乘 运 算 便 可 得 出 线; (Ⅱ)根据上面容易求出点 C 的坐标,并求出向量

两边同减去

,进行

, 这 样 便 可 得 出 三 点 A , B , C 共

的坐标,从而得出 f(x)=(cosx﹣m)2+1﹣m2,

这样根据配方的式子,讨论 m 的取值:m<0,0≤m≤1,m>1,这样即可求出 m 的值. 【解答】 解: (Ⅰ) 由已知得 即 ∴ ; ,又∵ 有公共点 A; ;

∴A,B,C 三点共线;
页 7第

(Ⅱ) ∴ ∵ ∴

; ; ;

= =(cosx﹣m)2+1﹣m2; ∵ ,∴cosx∈[0,1]; ①当 m<0,当且仅当 cosx=0 时,f(x)取得最小值为 1(舍去) ②当 0≤m≤1 时,当且仅当 cosx=m 时,f(x)取得最小值为 1﹣m2, ③当 m>1 时,当且仅当 cosx=1 时,f(x)取得最小值 2﹣2m,2﹣2m= ∴ 综上 m= . 【点评】考查向量减法的几何意义,向量的数乘运算,以及共线向量基本定理,根据点的坐标求向量的坐 标,以及配方求二次函数最值的方法. 四、综合题 ; (舍去)

18、 (1)

(2) ”

19、解:设某题 M 答对记为“M”,答错记为“ (Ⅰ) X 的可能取值为 2,3,4

, X 的分布列为: X P 2 3 4

-------6 分
页 8第

(Ⅱ) 志愿者甲能被录用的概率

-------12 分 或

20、 【解析】 (Ⅰ)如图,取 所以 平面 (Ⅱ)取 的中点 , 且 外,所以 ,连结 ,

的中点

,连结

,则 是平行四边形, 则

,且 , 由于

, 平面

, ,

, 所以四边形 平面 ,过 , 作 .

的垂线交 ,

于 ,

,分别以

, ,





轴,建

立坐标系,

设面

的法向量为

,则







,取面 ABCD

的法向量

,则

,所以二面角

的余弦值为

.

[解法二]:如图,取 面 ,所以

的中点 平面

,连结

、 ,易得 ,所以

,连结 SH,由 ,所以 ,则有 ,所以

,且面

⊥ ,则

是二面角

的 平 面 角 , 设

, 则









,则 21 、 因为抛物线的焦点到准线的距离为 ,则


,所以二面角 ,所以 ,即
9第

的余弦值为

. ;设

,所以所求抛物线的方程为 ,同理

,代入抛物线方程可得所

;· · · · · · · · · · · · · · · 4分

(2)

,∴

∴ l1:

;l2:

;l3:

∴ D(0,-1) , ∴ ;









22、解: (Ⅰ)

时,



.

函数

的定义域为

,则由



,由





所以函数

的单调递增区间为

,单调递减区间为

.

…………………………4 分

(Ⅱ)由已知得

.

①若



上恒成立,则

恒成立,所以



.




时,



单调递减,
10 第

,与

恒成立矛盾.

…………………………6 分

②当

时,令

,得

.

所以当

时,



单调递减;当

时,



单调递增.

所以

.



得,

,所以

.

综上,所求 的取值范围是

.

…………………………9 分

(Ⅲ)

时,由(Ⅱ)得

.

………………11 分

令 所以当 所以 所以

,则 时, . ,即 . ,

. 单增;当 时, , 单减.

…………………………13 分

22.(1)证明:连接 AD,在



又 则



(2)在 又

中,

四点共圆;
页 11 第



是⊙

的直径,则



23.(1)曲线

的普通方程为 ,则

, 的普通方程为 ,



的 参 数 方 程 为 :

为 参 数 ), 代 入





.

(2) 24.(1)由定义得 解得 (2)当 ; 时,不等式 ,即

. ,两边平方得 ,

恒成立,也就是

恒成立,

法一:函数 令 要使原不等式恒成立只要 法二:三角不等式性质 因为 即可,故

,所以 .



,所以



.



12 第



13 第


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