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2005届高三数学专项训练(01)《集合与函数》


2005 届高三数学专项训练(01) 《集合与函数》
一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 P ? ?3,5?,Q ? ?4,6, ,定义 P※Q= ?(a, b) | a ? P,b ? Q? ,则 P※Q 中元素的个数 4, 5,7? 为 A.3 ( B.4 C.7 D.12 )

ex ? 1 , x ? (0, ??) 的反函数是 ex ?1 x ?1 x ?1 , x ? (?? ,1) , x ? (?? ,1) A. y ? ln B. y ? ln x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 , x ? (1,?? ) , x ? (1,?? ) C. y ? ln D. y ? ln x ?1 x ?1 9.如果命题 P: ? ?{?} , 命题 Q: ? ? {?} ,那么下列结论不正确的是
8.函数 y ? A. 或 Q”为真 “P B. 且 Q”为假 “P C. “非 P”为假 D. “非 Q”为假 10.函数 y ? x - 2 x 在区间 [ a, b] 上的值域是[-1,3],则点 ( a, b) 的轨迹
2





( y



2.设 A 、 B 是两个集合,定义 A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B}.若M ? {x || x ? 1 |? 2} ,

N ? {x | x ?| sin ? |, ? ? R} ,则 M ? N ? A.[-3,1] B. [ ?3 , 0) C.[0,1]

( D.[-3,0]



A 3

D

3.映射 f :A ? B ,如果满足集合 B 中的任意一个元素在 A 中都有原象,则称为“满射”.已知集 合 A 中有 4 个元素,集合 B 中有 3 个元素,那么从 A 到 B 的不同满射的个数为( A.24 B.6 C. 36 D.72 ( ) 4.若 lg a ? lg b ? 0(其中a ? 1, b ? 1),则函数f ( x) ? a x 与g ( x) ? b x的图象 A.关于直线 y ? x 对称 C.关于 y 轴对称 B.关于 x 轴对称 )

是图中的 ( ) A.线段 AB 和线段 AD B.线段 AB 和线段 CD C.线段 AD 和线段 BC D.线段 AC 和线段 BD 11.已知函数 f ( x ) 是定义在 ( ? 3 , 3 ) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时,

B -1 y

1 O 1 (

C x )

f (x) 的图象如图所示,则不等式 f ( x) cos x ? 0 的解集是
A. ( ? 3 , ?

?
2

) ? ( 0 ,1) ? (

?
2

,3)

B. ( ?

?
2

, ?1) ? ( 0 ,1) ? (

?
2

,3)
O 1 2 3 x

D.关于原点对称 x ? x2 1 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 成立,则称 f ( x) 是 [a , b] 5.若任取 x1 , x2 ?[a , b] ,且 x1≠x2,都有 f ( 1 2 2 上的凸函数。试问:在下列图像中,是凸函数图像的为 ( ) y y y y

C. ( ? 3 , ? 1 ) ? ( 0 , 1 ) ? ( 1 , 3 )

D. ( ? 3 , ?

?
2

) ? ( 0 ,1) ? (1, 3 )

a o A

b

x

a o B

b

x

a o C

b

x

a o D

b

x

12.某种电热水器的水箱盛满水是 200 升,加热到一定温度,既可用来洗浴。洗浴时,已知每分钟 2 放水 34 升,在放水的同时按 4 升/分钟 的匀加速度自动注水。当水箱内的水量达到最小值时, 放水程序自动停止,现假定每人洗浴用水量为 65 升,则该热水器一次至多可供 ( ) A.3 人洗浴 B.4 人洗浴 C.5 人洗浴 D.6 人洗浴 二、填空题(本题每小题 4 分,共 16 分) 13.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而不超过 4000 元的按超 过 800 元部分的 14%纳税;超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税.已知某人出版一本书,共纳 税 420 元时,这个人应得稿费(扣税前)为 元. 14.已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 , x ? 0, ?2 cos x, 0 ? x ? ? .

若f ( f ( x0 )) ? 2, 则 x0 ?
2

.

6.若函数 f ( x ) ? x ? A. [?1, ??)

p x

?

在(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取值范围是 2 B. [1, ??) C. (??, ?1] D. ( ??,1]

p





7.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c 给出下列四个命题: ① c ? 0 时, y ? f ( x ) 是奇函数 ③ y ? f ( x ) 的图象关于 (0, c ) 对称 其中正确的命题是 A.①、④ B.①、③ ② b ? 0, c ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根 ④方程 f ( x) ? 0 至多两个实根 ( C.①、②、③ D.①、②、④ )

15.若对于任意 a ? [ ?1,1] , 函数 f ( x) ? x ? ( a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零, 则 x 的取值范围 是 . 16. 如果函数 f ( x) 的定义域为 R ,对于 m, n ? R, 恒有f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 6, 且f (?1) 是不大于 5 的正整数,当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 . 那么具有这种性质的函数 f ( x) ? 你认为正确的一个函数即可) .(注:填上

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) :
2005 届高三数学专项训练(01) 《集合与函数》 第 1 页 共 3 页

17. (本小题满分 12 分)二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x, 且 f (0) ? 1 . (1) 求 f ( x) 的解析式; (2) 在区间 ? ?1, 1? 上, y ? f ( x ) 的图象恒在 y ? 2 x ? m 的图象上方,试确定实数 m 的范围.

(1)当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ( x ) 的值域; (2)若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; (3)求函数 y ? f ( x ) 在 x ? ( 0 , 1 ] 上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.

18. (本小题满分 12 分)已知集合 A ? {x | ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0} , B ? {x | (1)当 a ? 2 时,求 A ? B ; (2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.

x ? 2a x ? ( a ? 1)
2

? 0} .

22. 本小题满分 14 分) ( 对于函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 2(a ? 0) , 若存在实数 x0 , f ( x0 ) ? x0 使 成立,则称 x0 为 f ( x) 的不动点. (1)当 a ? 2 , b ? ?2 时,求 f ( x ) 的不动点;
2 2 19. (本小题满分 12 分)已知命题 p :方程 a x ? ax ? 2 ? 0 在 ? ?1,1? 上有解;命题 q :只有一个实

(2)若对于任何实数 b ,函数 f (x) 恒有两相异的不动点,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f ( x ) 的图象上 A 、 B 两点的横坐标是函数 f ( x) 的不动点, 且直线 y ? kx ?
1 2a ? 1
2

数 x 满足不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0, 若命题 " p或q " 是假命题,求 a 的取值范围.
2

是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 2 ? a ? 2 ? 1( a 为实数). (1)若 a ? 0 ,用函数单调性定义证明: y ? f ( x ) 在 ( ??, ??) 上是增函数; (2) a ? 0 , y ? g ( x) 的图象与 y ? f ( x ) 的图象关于直线 y ? x 对称,求函数 y ? g ( x) 的解析式. 若
x

?x

21. (本小题满分 12 分)函数 f ( x ) ? 2 x ?

a 的定义域为 ( 0 , 1 ] ( a 为实数). x
2005 届高三数学专项训练(01) 《集合与函数》 第 2 页 共 3 页

参 考 答 案( 一 ) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) : (1).D (2).B (3).C (4).C (5).C (6).A (7).C (8).D (9).B (10).A (11). B (12).B 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 3? ; (15). (-∞?1)∪(3,+∞) ;(16). x?6 或 2 x?6 或 3x?6 或 4 x?6 或 5 x?6 (13).3800; (14). 4 三、解答题(共 74 分,按步骤得分) 17.解: (1)设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ,由 f (0) ? 1 得 c ? 1 ,故 f ( x) ? ax 2 ? bx ? 1 . ∵ f (x ?1) ? f (x) ? 2x ,∴ a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? 1 ? (ax 2 ? bx ? 1) ? 2 x .
?a?1 ,∴ f ( x) ? x2 ? x ? 1 . ?????6 分 , ?? ?b??1 (2)由题意得 x 2 ? x ? 1 ? 2 x ? m 在[-1,1]上恒成立.即 x 2 ? 3 x ? 1 ? m ? 0 在[-1,1]上恒成立. ?a?b?0

y=g(x)= log2(x+1). ?????????12 分 21.解: (1)显然函数 y ? f ( x ) 的值域为 [ 2 2, ?? ) ; ?????3 分 (2)若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,则任取 x1 , x 2 ? ( 0.1] 且 x1 ? x 2 都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立, 即 ( x1 ? x2 )(2 ? 故
a ) x1x2

? 0 ,只要 a ? ?2 x1 x 2 即可, ??????????5 分
??????????7 分

由 x1 , x 2 ? ( 0.1] ,故 ?2 x1 x 2 ? ( ?2,0) ,所以 a ? ?2 ,

a 的取值范围是 (?? ,?2] ;

即 2ax ? a ? b ? 2x ,所以 ?2a?2 ?

a 解法二:∵ f / ( x)?2? ?0?a??2 x2 而 ?2 x2?( ?2,0) ∴ a ≤ ?2 x2 (3)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调增,无最小值,
当 x ? 1 时取得最大值 2 ? a ; 由(2)得当 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调减,无最大值, 当 x ? 1 时取得最小值 2 ? a ; 当 ?2 ? a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0. 当x?
?2a 2 ?2a 2

设 g ( x) ? x2 ? 3x ? 1 ? m ,其图象的对称轴为直线 x ? 3 ,所以 g ( x) 在[-1,1]上递减. 2 故只需 g(1) ? 0 ,即 12 ? 3 ? 1 ? 1 ? m ? 0 ,解得 m ? ?1 . 18. 解: (1)当 a ? 2 时, A ? (2, 7) , B ? (4, 5) ∴ A ? B ? (4, 5) .???4 分 (2)∵ B ? (2a, a 2 ? 1) , 当 a ? 1 时, A ? (3a ? 1, 2) ????????????5 分 3 ?2 a ?3a ?1 ? 要使 B ? A,必须 ? ,此时 a ? ?1 ;???????????????7 分 2 ?a ?1? 2 ? 当 a ? 1 时,A= ? ,使 B ? A 的 a 不存在;??????????????9 分 3 当 a ? 1 时,A=(2,3 a +1) 3 ?????12 分

] 上单调减,在 [

?2a 2

, 1 ] 上单调增,无最大值,

时取得最小值 2 ? 2a .
2

??????????12 分

22.解? f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ? 2(a ? 0), (1)当 a=2,b=-2 时,
2

f ( x) ? 2 x ? x ? 4.
2

????????2 分

设 x 为其不动点,即 2 x ? x ? 4 ? x. 则 2 x ? 2 x ? 4 ? 0.
2
2

? x1 ? ?1, x2 ? 2.即f ( x) 的不动点是-1,2. ????4 分
由已知,此方程有相异二实根,
2

(2)由 f ( x) ? x 得: ax ? bx ? b ? 2 ? 0 .
2

? 2a ? 2 要使 B ? A,必须 ? ,此时 1≤ a ≤3.??????????????11 分 a 2 ? 1 ? 3a ? 1 ? 综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1}???????????12 分
19. 解 : 由a x ? ax ? 2 ? 0,得(ax ? 2)(ax ? 1) ? 0, 2 1 显然a ? 0 ? x ? ? 或x ? ??4 分 a a 2 1 ∵ x ? ? ?1,1? , 故 | |? 1或 | |? 1, ?| a |? 1 ??6 分 ? a a
2 2

? x ? 0 恒成立,即 b ? 4a(b ? 2) ? 0. 即 b ? 4ab ? 8a ? 0 对任意 b ? R 恒成立.

??b ? 0.

?16a ? 32a ? 0
2

? 0 ? a ? 2.

????????8 分

(3)设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) , 直线 y ? kx ?

1 2a ? 1
2

是线段 AB 的垂直平分线,

∴ k ? ?1 ?????10 分

记 AB 的中点 M ( x0 , x0 ). 由(2)知 x0 ? ?
2

b 2a ?

, 1 2a ? 1
2

“只有一个实数满足x ? 2ax ? 2a ? 0” .即抛物线y ? x ? 2ax ? 2a与x轴只有一个交点,
∴ ? ? 4a
2

2

? M 在y ? kx ?
化简得: b ??

1 2a ? 1
2

上,? ?
1 ??

b 2a
1

?

b 2a
??

. ????????12 分

? 8a ? 0. ? a ? 0或2, ??10 分
? 命题 " P或Q " 为假命题

a 2 a 2 ?1

? 命题 " p或q为真命题"时 " | a |? 1或a ? 0 "

??

? a的取值范围为 a|?1?a?0或0?a?1? ??12 分
20.解: (1)设任意实数 x1 = (2 1
x
2

?

1 2a? a

1 2 2 a? a

2 2 (当a ? 时,等号成立). 4 2

? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2x ? a ? 2? x ? 1) ? (2x ? a ? 2? x ? 1)
1 1 2 2

即 b??

2 . 4

????????????????14 分

? 2x ) ? a(2? x ? 2? x ) = (2 x ? 2 x ) ?
1 2
1 2

2x ? x ? a
1 2

2x ? x
1

?????4 分

2

? x1 ? x2 ,?2x1 ? 2x2 ,?2x1 ? 2x2 ? 0; ? a ? 0,? 2
又2
x1 ? x2

x1 ? x2

?a ? 0.
?????7 分

? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以 f ( x) 是增函数.

(2)当 a ? 0 时, y ? f ( x) ? 2 x ? 1 ,∴ 2 x ? y ? 1 , ∴ x ? log 2 ( y ? 1) , 2005 届高三数学专项训练(01) 《集合与函数》 第 3 页 共 3 页


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