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一道质检题目探究本质的心路历程


2 0 1 5 年第9 期  福建中学数学  3 7   一 道质检 题 目探 究本质 的心路 历程  沈 备  祝 国华  福建 省厦 门第 二 中学 ( 3 6 1 0 0 2 )   通 过对 近 几 年福 建 省 高 三各 地 市 质检 卷 、 高 考  题 的 研究 ,笔 者发 现 ,极 值 点 偏离 问题 是命 题 人 偏  爱考 查 的一 类题 型 ,究其原 因 :   ① 新课 程 改 革 后 ,教 材 引入 了零 点 的概 念 ,而  函数 问题 经 常伴 随着 零点 的 出现 .   ② 该 问 题几 何 背景 形象 、直 观 ,通 过几 何 画板  的探究 ,较 容易命 制 出新颖 、 有一 定 区分度 的试 题 .   ③ 该 问 题 涵盖 了函数 与 导 数 ,不 等 式 ,函数 与  零 点 等 知识 ,考 察 了学 生对 数 形 结合 思 想 、化 归与  转 化 的 思想 、 函 数与 方 程 的思 想 、分 类 与整 合 的思  想 ,带 点做 差 ,化 多元 函 数为 一 元 函数 的方法 ,综  合 考查 了学 生 的各 方面 的知识 与能 力 .   本 文通 过对 2 0 1 5年 1月厦 门市质 检理 科 2 1题  的研 究 、拓 展 、 再探 究 ,给 出解 决 这类 问题 的一 般  思 路 和 研究 方 法 ,期 待 大 家对 这 类 问题 开 展 更深 入  的研 究 .   一 一 g ( 2 五   ) 一 1 ,   (I )求 函数 F(   ) 的单 调 区间 ;   ( Ⅱ)若直 线 , 与 f( x ) 和g ( x ) 的 图像 都相 切 , 则  称, 是f ( x ) 与g ( x ) 的公切 线 ,已知 函数 f( x ) 与g ( x )   有两 条公 切线 , f , .   (i )求 k的取值 范 围 ;   ( i i )若 a,b ( a> b ) 分 别为直 线 ‘,   与f ( x ) 图  像 的两个 切点 的横 坐标 ,求 证 :F   ( (   + b ) / 2 ) > 0.   要证 F   ( ( 口 + 6 ) / 2 ) >0   k ( a + 6 ) 一 2 / ( a + 6 ) >0 …  (   ) , 由( i ) 知 J l   拍I 2   一   一 (   ) ’   n2 k b一1 =0 …( 2 ) ,   ‘ 一 ( 1 ) 一 ( 2 ) : k ( a + 6 ) (  一 b ) 一 l n ( 口 / 6 ) =0,贝 0 k ( a +6 ) =   l n  / b ) /  一 b ) 代入 (   ) ,则 只需 证 明 l n ( a / 6 ) / ( a 一 6 )   2 / ( 口 + 6 ) >0   l I 1  一 2 ( a 一  / ( 日 +  > 0 .   1问题 的缘 起  例 1 ( 2 0 1 5年 1 月厦 门市质检 ? 理2 1 )设 函数  f ( x ) =a x   一 l n x — l ( n ∈N   , n≥2 , a >1 ).   :   设 詈 D    t > 1 ) , C - ( t ) = l n t - 2   t f - + 1 l   , G , ( f ) =   t 一   l t   + 1 )   二!  > 0 所以G (   ) 在( 1 , + ∞ ) 单 调 递 增 ,所 以  ,

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