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高考专题训练23 不等式选讲(选修4-5)


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高考专题训练(二十三)
一、填空题

不等式选讲(选修 4-5)

A 级——基础巩固组

1.不等式|x+1|<3 的解集为________. 解析 由|x+1|<3 得-3<x+1<3?-4<x<2, 所以不等式|x+1|<3 的解集为(-4,2). 答案 (-4,2)
X |k |B| 1 . c|O |m

2.不等式|x+3|-|x-2|≥3 的解集为________ . 解析 当 x>2 时,(x+3)-(x-2)=5≥3 恒成立; 当-3≤x≤2 时,x+3-(-x+2)=2x+1≥3 ,解得 x≥1,即 1≤x≤2; 当 x≤-3 时,(-x-3)-(-x+2)=-5≥3 不成立,综上可得此不等式的 解集为{x|x>2,或 1≤x≤2}={x|x≥1}. 答案 {x|x≥1} 1 1 3.若 x>0,y>0,且 x+2y=1,则x+y的取值范围是________. 解析
? 2 y x? 1 1 ?1 1? 依题意得 x + y = ?x +y ? (x + 2y) = 3+ ? x +y? ≥3+ 2 ? ? ? ?

2y x x· y=3

2- 2 2y x 1 1 +2 2,当且仅当 x =y,即 x= 2-1,y= 2 时取等号,因此x+y的取 值范围是[3+2 2,+∞). 答案 [3+2 2,+∞) 4.若关于 x 的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数 a 的取值 范围是________. 解析 由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,所以只需|a|≥3 即可, 所以 a≥3 或 a≤-3. 答案 a≥3 或 a≤-3

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? ?

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1? ? 5.若不等式?x+x?≥|a-2|+1 对一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的 最大值是________. 1? ? 解析 令 f(x)=?x+x?, 由题意只要求|a-2|+1≤f(x)恒成立时 a 的最大
? ?

1? ? ?1? 值,而 f(x)=?x+x?=|x|+?x ?≥2,
? ? ? ?

∴|a-2|+1≤2,解得 1≤a≤3,故 a 的最大值是 3. 答案 3 6.x 1-y2+y 1-x2的最大值是________. 解析 ∵x 1-y2+y 1-x2 ≤ ?x2+1-x2??1-y2+y2?=1, ∴最大值为 1. 答案 1 7. 若不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立, 则实数 m 的取值范围为________. 解析 在同一直角坐标系中分别画出函数 y=|2x-m|及 y=|3x+6|的图 象(如图所示),由于不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立,所以函数 y=|2x-m|的 图象在 y=|3x+6|的图象的下方,因此,函数 y=|2x-m|的图象也必须经过 点(-2,0),所以 m=-4.
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答案 -4 8. (2014· 陕西卷)设 a, b, m, n∈R, 且 a2+b2=5, ma+nb=5, 则 m2+n2 的最小值为________.
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解析 由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2, 即 5(m2+n2)≥25, m2+n2≥5,故 m2+n2的最小值是 5. 答案 5

9.(2014· 湖北荆州二模)设 a,b,c 为正数,a+b+4c2=1,则 a+ b + 2c 的最大值是________,此时 a+b+c=________. 解析
? ?

1? ? 由 柯 西 不 等 式 得 (a + b + 4c2) ?1+1+2? = [( a )2 + ( b )2 +
? ? ? 2?2? ? ?≥( a+ b+ 2c)2, ?2 ??

?12+12+? (2c)2]·

因此 a + b + 2 c≤ 10 2 ,

1? ? 10 ?a+b+4c2??1+1+2? = 2 × a+b+4c2 = ? ?

a b 2c 当且仅当 1 = 1 = =2 2c, 2 2 即 a= b=2 2c, 此时 a=b=8c2,X k B 1 . c o m 因此 a+b+4c2=8c2+8c2+4c2=20c2=1, 5 2 解得 c= 10 ,a=b=5, 2 2 5 8+ 5 因此 a+b+c=5+5+ 10 = 10 . 答案 10 8+ 5 2 10
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二、解答题

1? ? 10.(2014· 课标全国卷Ⅱ)设函数 f(x)=?x+a?+|x-a|(a>0).
? ?

(1)证明:f(x)≥2;
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(2)若 f(3)<5,求实数 a 的取值范围. 1? 1 ? ? ? 1 解 (1)由 a>0,有 f(x)=?x+a?+|x-a|≥?x+a-?x-a??=a+a≥2.
? ? ? ?

所以 f(x)≥2. 1? ? (2)f(3)=?3+a?+|3-a|.
? ?

1 当 a>3 时,f(3)=a+a, 5+ 21 由 f(3)<5 得 3<a< 2 . 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+a, 1+ 5 由 f(3)<5 得 2 <a≤3. 综上,a 的取值范围是?
? ?1+ 5
w w w .x k b 1.c o m

w

W w

.X k b 1.c O m

2



5+ 21? ?. 2 ?

11.设函数 f(x)=|x+1|+|x-5|,x∈R. (1)求不等式 f(x)≤x+10 的解集; (2)如果关于 x 的不等式 f(x)≥a-(x-2)2 在 R 上恒成立, 求实数 a 的取 值范围.
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-2x+4,x<-1, ? ? (1)f(x)=?6,-1≤x≤5, ? ?2x-4,x>5.

当 x<-1 时,-2x+4≤x+10,x≥-2, 则-2≤x<-1; 当-1≤x≤5 时,6≤x+10,x≥-4,则-1≤x≤5; 当 x>5 时,2x-4≤x+10,x≤14,则 5<x≤14. 综上可得,不等式 f(x)≤x+10 的解集为[-2,14].

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(2)设 g(x)=a-(x-2)2,由函数 f(x)的图象与 g(x)的图象可知:f(x)在 x ∈[-1,5]上取最小值为 6, g(x)在 x=2 时取最大值为 a, 若 f(x)≥g(x)恒成立, 则 a≤6. B 级——能力提高组 1.已知函数 f(x)=| x+1|-|x|+a. (1)若 a=0,求不等式 f(x)≥0 的解集; (2)若方程 f(x)=x 有三个不同的解,求实数 a 的取值范围. 解 (1)a=0 时, -1,x<-1, ? ? f(x)=|x+1|-|x|=?2x+1,-1≤x<0, ? ?1,x≥0, 所以当 x<-1 时,f(x)=-1<0 不合题意; 当-1≤x<0 时,f(x)=2x+1≥0, 1 解得-2≤x<0; 当 x≥0 时,f(x)=1>0 符合题意.
? 1 ? 综上,f(x)≥0 的解集为?-2,+∞?. ? ?

(2)设 u(x)=|x+1|-|x|,y=u(x)的图象和 y=x 的图象如图:

易知 y=u(x)的图象向下平移 1 个单位以内(不包括 1 个单位)与 y=x 的
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图象始终有 3 个交点,从而-1<a<0, 2 . (2014· 辽宁卷 ) 设函数 f(x) = 2|x - 1| + x - 1 , g(x) = 16x2 - 8x + 1. 记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集为 N. (1)求 M; 1 (2)当 x∈M∩N 时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤4.
? ?3x-3,x∈[1,+∞?, 解 (1)f(x)=? ?1-x,x∈?-∞,1? ?
X |k | B | 1 . c |O |m

w

w w .x k b 1.c o m

4 当 x≥1 时,由 f(x)=3x-3≤1 得 x≤3, 4 故 1≤x≤3; 当 x<1 时,由 f(x)=1- x≤1 得 x≥0, 故 0≤ x<1. 4 所以 f(x)≤1 的解集为 M={x|0≤x≤3}. 1? ? (2)由 g(x)=16x2-8x+1≤4 得 16?x-4?2≤4,
? ?

1 3 解得-4≤x≤4.
? ? 1 3 ? 因此 N=?x?-4≤x≤4 ?, ? ? ? ? ? 3 ? 故 M∩N=?x?0≤x≤4 ?. ? ? ?

当 x∈M∩N 时,f(x)=1-x, 于是 x2f(x)+x· [f(x)]2=xf(x)[x+f(x)] 1 ? 1? 1 =x· f(x)=x(1-x)=4-?x-2?2≤4.
? ?
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