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数学:新人教选修--4《参数方程的应用圆的参数方程》课件新人教选修4-4


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参数方程的应用(2) -----圆的参数方程

思考1:圆心为原点,半径为r 的圆的参数方程是什么呢?
如果点P的坐标为( x, y ), 圆半径为r , ?P0OP ? ? , 根据三角函数定义, 点P的横坐标x、 纵坐标y都是?的函数, 即 x ? r cos?
P(x,y)
5

r

? o

p0
5

y ? r s in ?
确定的点P(x,y),都在圆O上.



-5

并且对于 ? 的每一个允许值,由方程组①所
-5

我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为 r的圆的参数方程, 是参数. ?

思考2:圆心为O1(a,b),半径为r 的圆的参数方程是什么呢?
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以 看作由圆心为原点O、半径为r的圆 平移得到, 设圆O1上任意一点P( x, y ) 是圆O上的点P ( x1 , y1 )平移得到的, 1 由平移公式, 有
? x ? x1 ? a ? ? y ? y1 ? b
-5 5

(a,b) O1

P(x,y)

v(a,b)

r

P ( x1 , y1 ) 1
5

o

? x1 ? r cos? 又 ? ? y1 ? r sin ?

? x ? a ? r cos? 所以 ? ? y ? b ? r sin ?

-5

例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0,将它化为 参数方程。
解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,

(x+1)2+(y-3)2=1,
∴参数方程为

? x ? ?1 ? cos? ? (θ为参数) ? y ? 3 ? sin ?

圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2时,求参数方程,

练习:
1.填空:已知圆O的参数方程是
? x ? 5 cos? ? ? y ? 5 s in ?

(0≤ ? ? <2 )

5? ?5 5 3? ⑴如果圆上点P所对应的参数 ? ? ,则点P的坐标是 ? 2 ,? 2 ? ? ? 3 ? ?

? 5 5 3? ? 2 ? 如果圆上点Q所对应的坐标是 ? ? , ? 2 2 ? , 则点Q对应 ? ? ? 2? 的参数? 等于 3

? x ? ?2 cos ? 2.选择题:参数方程 ? (? 为参数)表示的曲线是 ? A ? ? y ? 2 sin ? A.圆心在原点, 半径为2的圆 B.圆心不在原点, 但半径为2的圆 C.不是圆 D.以上都有可能
3、填空题 : ? x ? 2 ? cos? (2,-2) (1)参数方程? 表示圆心为 ? y ? ?2 ? sin? 2 的圆,化为标准方程为 x ? 2 ? 半径为 1

?

? ? y ? 2?2 ? 1

(2)把圆方程x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0化为参数方程为

? x ? ?1 ? 2 cos? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

3.填空:已知曲线的参数方程是
? x ? 5 cos? ? ? y ? 5 sin ?

(0≤ ?<π/2 )

表示何曲线?

4.填空:已知曲线的参数方程是
? x ? 5 s in ? ? ? y ? 5 cos?

(π≤ ?<3π/2 )

表示何曲线?

例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?

解法1:设M的坐标为(x,y), P M 由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y) O A x ∵点P在圆x2+y2=16上 ∴(2x-12)2+(2y)2=16 即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4 ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。

y

例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
解法2:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=16的参数方程为:

x =4cosθ y =4sinθ
O

y

P
M A x

∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)

x =6+2cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 y =2sinθ ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。

例3. 已知点P(x,y)是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点, 求(1) x2+y2 的最值, (2)x+y的最值, (3)P到直线x+y- 1=0的距离d的最值.
解:圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即(x- 3)2+(y- 2)2=1,用参数 方程表示为 x ? 3 ? cos? 由于点P在圆上,所以可设P(3+cosθ,2+sinθ), (1) x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ +6cosθ=14+2 sin(θ +ψ). 13 (其中tan ψ =3/2)

? ? ? y ? 2 ? sin ?

∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ,最小值为14- 2

13 。

例3. 已知点P(x,y)是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点, 求(1) x2+y2 的最值, (2)x+y的最值,
(3)P到直线x+y- 1=0的距离d的最值.
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin( θ + 2

?

) 4

∴ x+y的最大值为5+ 2 ,最小值为5 - 2 。

(3)

? 4 ? 2 sin(? ? ) 3 ? cos? ? 2 ? sin? ? 1 4 d? ? 2 2
显然当sin( θ+ 小值,分别为

?

1? 2 2

4

)=

1时,d取最大值,最 ? ,

2 2 ? 1。

小 结:
1、圆的参数方程
2、圆的参数方程与普通方程的互化

3、求轨迹方程的三种方法:
⑴相关点点问题(代入法); ⑵参数法;⑶定义法

4、求最值


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