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圆锥曲线综合


圆锥曲线综合(一)
例 1.椭圆 C :

x2 y 2 3 ,过 F ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 1 且垂 2 a b 2

直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点 , 连接 PF

1 , PF2 , 设 ?F 1PF 2 的角平分线

PM 交 C 的长轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过 P 点作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共 点,设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k ? 0 ,试证明 个定值.

1 1 ? 为定值,并求出这 kk1 kk2

1

例 2.如图,已知曲线 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 :| y |?| x | ?1,P 是平面上一点,若存在过点 P 2

的直线与 C1 , C2 都有公共点,则称 P 为“C1—C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这 样的直线的方程(不要求验证); (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“C1—C2 型点”; (3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“C1—C2 型点”. 2

2

例 3. 已知抛物线 C 的顶点为原点 , 其焦点 F

?0, c??c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2 (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程;
(Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

3

例 4 . 如图,椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为

2m , 2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从大
到小依次为 A , B , C , D .记 ? ?

m , ?BDM 和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

y
A B

M
C

O

N x

D

4

例 5.如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 (?c , 0) , a 2 b2

? 3? e) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. F2 (c , 0) .已知 (1 , ? 2 ? ? ?
(1)求椭圆的方程; (2) 设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点, 直线 AF1 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P.

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

5

1 x2 y 2 例 6.如图, 椭圆 C: 2 + 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 , 其左焦点到点 P(2, 1)的距离为 10 . 不 2 a b

过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分

. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

6


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