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考点一集合间的关系及运算


专题一 集合与函数 考点一 集合间的关系及运算 例 1 (1)(2013· 全国)已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则 A∩B 等于 ( A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} )

(2)设函数 f(x)=lg(1-x2),集合 A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图 中阴影部分表示的集合 ( A.[-1,0] C.(-∞,-1)∪[0,1) ) B.(-1,0) D.(-∞,-1]∪(0,1)
? ?

? 1x ? 2 练习 (1) (2013· 湖北)已知全集为 R,集合 A=?x|?2? ≤1?,B={x|x -6x+8≤0},则 A∩?RB

等于

(

) B.{x|2≤x≤4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4}

A.{x|x≤0} C.{x|0≤x<2 或 x>4}

(2)设全集 U=R,集合 P={x|y=ln(1+x)},集合 Q={y|y= x},则 右图中的阴影部分表示的集合为 A.{x|-1<x≤0,x∈R} C.{x|x<0,x∈R} 考点二 四种命题与充要条件 例2 (1)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是 ( A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 ) ) ( )

B.{x|-1<x<0,x∈R} D.{x|x>-1,x∈R}

(2)设 x,y∈R,则“x2+y2≥9”是“x>3 且 y≥3”的 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 练习 (1)给出以下三个命题: ①若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0; ②在△ABC 中,若 sin A=sin B,则 A=B; B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

③在一元二次方程 ax2+bx+c=0 中,若 b2-4ac<0,则方程有实数根. 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是 ( A.① B.② C.③ D.②③ ) )

1 (2) (2012· 天津)设 x∈R,则“x> ”是“2x2+x-1>0”的 ( 2 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

考点三 逻辑联结词、全称量词和存在量词 例3 (1)(2012· 湖北)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是 ( A.任意一个有理数,它的平方是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 )

B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数

1 (2)已知命题 p:抛物线 y=2x2 的准线方程为 y=- ;命题 q:若函数 f(x+1)为偶函数, 2 则 f(x)关于 x=1 对称.则下列命题是真命题的是 ( A.p∧q B.p∨(非 q) C.(非 p)∧(非 q)
x x

) D.p∨q
3 2

练习 (1)(2013·课标全国Ⅰ)已知命题 p:?x∈R,2 <3 ;命题 q:?x∈R,x =1-x ,则 下列命题中为真命题的是 ( A.p∧q ) C.p∧(非 q) D.(非 p)∧(非 q)
2 2

B.(非 p)∧q

(2)已知命题 p: “?x∈[1,2], x -a≥0”, 命题 q: “?x0∈R, x0+2ax0+2-a=0”. 若 命题“(非 p)∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是 ( A.a≤-2 或 a=1 考点四 函数及其表示 例4 A.4
?log3x,x>0 ? 1 (1)已知函数 f(x)=? x ,则 f(f( ))等于 ( 9 ? ?2 ,x≤0

) D.-2≤a≤1

B.a≤2 或 1≤a≤2

C.a>1

)

1 B. 4

C.-4

1 D.- 4 )

f?2x? (2)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是 ( ln x A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1) (

x ? ?2 ,x≥4, 练习 (1)若函数 f(x)=? 则 f(log23)等于 ?f?x+3?,x<4, ?

)

A.3

B.4

C.16

D.24 ( )

(2)已知函数 f(x)=2+log3x(1≤x≤9),则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值为 A.33 B.22 C.13 D.6

考点五 函数的性质 例5
? ?1,x为有理数, (1)(2012· 福建)设函数 D(x)=? 则下列结论错误的是 ?0,x为无理数, ?

(

)

A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数

B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

1? (2)设奇函数 y=f(x) (x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t),且 x∈? ?0,2?时,f(x) 3? =-x2,则 f(3)+f ? ?-2?的值等于________.

练习 (1)(2013· 天津)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞)上单调递增. 若 实数 a 满足 f(log2a)+f(log 1 a)≤2f(1),则 a 的取值范围是
2

(

)

A.[1,2]

1? B.? ?0,2?

1 ? C.? ?2,2?

D.(0,2]

(2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=ex+a,若 f(x)在 R 上是单调函 数,则实数 a 的最小值是________. 考点六 函数的图象 例6 (1)(2013· 北京)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y ( B.ex )
-1

轴对称,则 f(x)等于 A.ex
+1

C.e

-x+1

D .e

-x-1

b (2)形如 y= (a>0,b>0)的函数,因其图象类似于汉字中的“囧”字,故我们把它称 |x|-a 为“囧函数”.若当 a=1,b=1 时的“囧函数”与函数 y=lg|x|图象的交点个数为 n, 则 n=________. 练习 (1)函数 y=xln(-x)与 y=xln x 的图象关于 A.直线 y=x 对称 C.y 轴对称 log2|x| (2)函数 y= 的大致图象是 x B.x 轴对称 D.原点对称 ( ) ( )

?-x2+2x,x≤0, ? (3)(2013· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=? 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围 ?ln?x+1?,x>0. ?



(

) B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]

A.(-∞,0]

考点七 基本初等函数的图象及性质 log x,x>0, ? ? 2 (1)若函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 ( log ?-x?,x<0, ? ? 2 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

例7

)

f?x2?-f?x1? (2) 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),有 >0.则 x2-x1 有 ( )

A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25) C.f(log25)<f(0.32)<f(20.3)

B.f(log25)<f(20.3)<f(0.32) D.f(0.32)<f(log25)<f(20.3) )

x3 练习(1) (2013· 四川)函数 y= x 的图象大致是 ( 3 -1

1?-0.8 log 5 2 (2)(2012· 天津)已知 a=21.2,b=? ,则 a,b,c 的大小关系为 ( ?2? ,c= 2 A.c<b<a 考点八 函数的零点 例8 B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a

)

(1)(2013· 重庆)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两 ( ) B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 ( )

个零点分别位于区间 A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内

2 ? ?ln x-x +2x?x>0?, ? (2)函数 f(x)= 的零点个数是 ?2x+1?x≤0?, ?

A.0

B.1

C .2

D.3 ( ) D.(2,3)

1 练习(1) 函数 f(x)=log2x- 的零点所在的区间为 x 1 A.(0, ) 2 1 B.( ,1) 2

C.(1,2)

?|lg x|,x>0, ? (2)设定义域为 R 的函数 f(x)=? 2 则关于 x 的函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 ?-x -2x,x≤0, ?

的零点的个数为________. 考点九 自定义问题 例9 已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合 A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},则集 ( )

合 A×B 中属于集合{(x,y)|logxy∈N}的元素个数是 A.3 B.4 C.8 D.9

练习 若平面直角坐标系内两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 f(x)的图象上;②P,Q 关于 y 轴对称,则称点对(P,Q)是函数 f(x)的图象上的一个“镜像点对”(点对(P,Q)与点对
?cos πx?x<0?, ? (Q,P)看作同一个“镜像点对”).已知函数 f(x)=? 则 f(x)的图象上的“镜像 ?log3x?x>0?, ?

点对”有 A.1 对

(

) C.3 对 D. 4 对

B.2 对


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