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湖北省武汉市吴家山中学2014届高三数学(文)复习资料:常用逻辑用语学习指导


《常用逻辑用语》学习指导
武汉市吴家山中学 刘忠君 【写在前面】 逻辑知识作为整章内容在高中出现,经历了从无到有、由难到易、由 繁到简、位置由前到后、内容由少到多的演变.《普通高中数学课程标准》中明确指出:通 过学习常用逻辑用语,使学生能“体会逻辑用语在表述和论证中的作用,利用这些逻辑用语 准确地表达数学内容,更好地进行交流.”由此可以看出,对本章的学习,其基点应是常用 .. 的逻辑用语,而不是简易逻辑的学习,更不是数理逻辑的学习.因此,本章内容应以教材为 . 准,既不要拨高,也不要拓展.要强化基础知识的识记与理解,并使之成为我们分析、解决 问题的有效工具. 一、基础导学 常用逻辑用语由“命题及其关系”、“充分必要条件”、“简单的逻辑联结词”和“全 称量词与存在量词”四部分组成. 1、命题及其关系 (1)命题——可以判断真假的陈述句叫命题.其中判 断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题. (2)四种命题及其关系(如图) 结论:互为逆否的两个命题同真同假. 2、充分必要条件 (1)定义:一般地,对于命题“若 p,则 q” ,如果 p?q,则称 p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件;如果 p ? q,则称 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件. (2)命题的条件可分为四类:①充分不必要条件:即 p?q,但 q p;②必要不充分

条件:即 p

q,但 q?p;③充要条件:即 p

q;④既不充分也

不必要条件:即 p q,同时 q 3、简单的逻辑联结词 (1)逻辑联结词: “或”“且”“非” . 、 、 (2)简单命题:不含逻辑联结词的命题.

p.

(3)复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题.复合命

题有三

种形式:p 或 q(p∨q) 且 q(p∧q) ;p ;非 p(
1

p) .

(4)复合命题的真值表: 4、全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“对所有的”“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给” 、 、 、 、 、

“所有的”等,在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“

”表

示.含有全称量词的命题叫做全称命题,简记为: , . (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有 、 、 、 、 、

的”等,在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“

”表示.含有存在量

词的命题叫做特称 (存在) 命题, 简记为:





(3

)含有一个 量词的命题的否定:全称命题 p: ..



的否定为特称命题,即

p 为:



;特称命题 q:



的否定为全称命题,即

q 为: 二、疑点导析





2

1、对命题的理解:一个语句是否为命题,关键在于能否判断其真假.

2、对四种命题的理解:四种命题

反映了命题之间的内在联系.在四种

命题中,原命题与逆否命题等价,逆命题与否命题等价.因此,当一个命题不易判断其真假 时, 可转化为其等价命题来判断真假; 当一个命题不易证明时, 可改证其逆否命题 (反证法) .

3、对充要条件的理解:一是借助递推符号“





、 ” 的传递性来理解; 二是利用命题的真假性来理解, “原 即 命题成立而逆命题不成立, 则原命题的条件是结论成立的充分不必要条件; 逆命题成立而原 命题不成立,则原命题的条件是结论成立的必要不充分条件;原命题成立且逆命题也成立, 则原命题的条件是结论成立的充要条件; 原命题与逆命题都不成立, 则原命题的条件是结论 成立的既不充分又不必要条件” . 4、对逻辑联结词的理解: (1)与日常生活中的连词“或、且、非”的区别:逻辑联结词“或”用在命题上有三

层含义,如



就包含了“





但 , 且 ”三种情形;而日常 生活中的“或”往往表示“不可兼得” ,具有二者选其一的涵义. 逻辑联结词“且”与日常 生活中的“和、与”的意义相同,具有“兼有性” .逻辑联结词“非”就是日常生活中的 “否定” ,具有“否定性” . (2)逻辑联结词与集合的关系: “或、且、非”与集合运算中的“并、交、补”相对应, 因此,常常借助集合的“并、交、补”来解决含“或、且、非”的命题的问题. (3)复合命题的真假的判断:对于命题 p∨q, “一真则真, 两假则假” 对于命题 p∧q, ;

“一假则假,两真则真” ;对于命题

p, “真假相反” .

3

5、对量词的理解:全称量词是针对所有元素而言,常用“所有的”“任意一个”等描 、 述;特称(存在)量词针对部分(某些、某个)元素(也可以是全部)而言,常用“存在” 、 “有一个”等描述.全称量词的否定是特称量词,特称量词的否定是全称量词. 三、方法导引 1、四种命题的构造:对四种命题的改写,要抓住两个关键: “换位”——即条件与结论

互换; “换质”——即对条件与结论进行否定.只换

位不换质的是逆命题,

只换质不换位的是否命题,既换位又换质的为逆否命题.要注意区分“命题的否定”与“否 命题”之间的区别:命题的否定只否定命题的结论(条件不变) ,而否命题既要否定命题的 条件,又要否定其结论.注意:在改写其他命题时,大前提是不能更改的. 2、充要条件的判断:涉及充要条件的问题主要有三种类型,一是判断指定的条件与结 论之间的条件关系,即充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要条件;二是 探求某结论成立时的条件是什么条件; 三是根据某条件成立时, 求解参数问题. 判断充要条

件的方

法主要有定义法,集合法,命题法三种.解决充要条件的问题,先要

明确条件与结论分别是什么,再下结论.注意利用集合间的包含关系转化条件,可使问题直 观化. 3、复合命题真假的判断:先要正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,然后 、 、 根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断.具体步 骤:(1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题 p、 的真假; q (3)由真值表确定 “p∨q” p∧q” 、 “ 、 “? q”形式命题的真假. 4、特称命题与全称命题:一方面,对特称命题与全称命题的否定,要对“量词”和“判 断词” 同时否定. 对于隐含了量词的命题, 要注意对其进行改写, 找到量词后再进行否定. 例 如,命题“自然数的平方是正数”就是一个隐含了(省略了)全称量词的全称命题,它的含 义是“任何一个(或所有)自然数的平方(都)是正数” ;另一方面,要判断全称命题为真 命题,必须对每一种情形逐一验证,要判断其为假命题,只须给出一个反例即可.而要判断 一个特称命题为真命题,只须找到一种特殊情形使命题成立即可,要判断其为假命题,则需 验证每一种情形都不满足题中条件. 四、典例导讲

例 1

已知条件



和条件



4

, 请选取适当的实数

的值, 分别利用所给的两个条件作为 A、

B 构造命题“若 A 则 B” ,并使构造的命题为真命题,且其逆命题为假命题.

解析

由条件





,即



;由条件



,即



;由题意,令

,则





,此时必有

,但

.故可以选取

,并使 A 为

,B 为

,对应的命题“若 A 则 B”即为所构造的命题. 点评 此例将命题的构造与命题真假判断相结合,是一道开放性试题,把握好条件与结 论的“包含关系”是解决问题的关键.

例 2 已知命题

: “x、y 是实数,若

,则 x、y 全为零” ,

5







解析

为: “x、y 是实数,若

,则 x、y 不全为零” .

点评

写否命题时,必须注意被否定的对象以确定否定词的位置,同



要求否定完全.要记住常见关键词的否定,如“都是”的否定为“不都是”“任意”的否定为 , “存在”等.

例3

(1)设 p:

,q:

,则 p 是 q 的( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C 分也不必要条件

、充要条件 D 、既不充

(2)设命题

分别是 p,q 的否定,如果 p 是

的充分不必

要条件,那么 q 是 的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D 、既不充分也不必要条件

(1)解析 由 p:



,由 q:



6

或 , 显然错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的充分不必要条件,选 A.

(2)解析一

因为



的逆否命题(即等价命题)为

且 条件,选 A.

,所以 q 是

的充

分不必要

解析二 设满足条件 p、q 的对象组成的集合分别为 P、Q,U为全集.



,∴q 是

的充分不必要条件,选 A.

点评 充要条件问题除用定义法求解外, 还可用集合法求解: 设满足条件 p 的对象组成 的集合为 P,满足条件 q 的对象组成的集合为Q,则

(1)若 必要条件.

,则 p 为 q 的充分条件,当

时,p 为 q 的充分不

(2)若 充分条件.

,则 p 为 q 的必要条件,当

时,p 为 q 的必要不

(3)若 件.

,且

,即

,则 p 为 q 的充要条

7

(4)如果以上三种关系均不成立,即 P、Q之间没有包含或相等关系,则 p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件.

例4

给出下列命题:①“若

,则关于

的方程有实根”

的逆命题;②“若 a>b,则

”的否命题;③“若

,则

”的逆否命题;

④命题

:“

,若

,则

全为 0”的否命题.其中真命题的序号是 .

解析

先写出相应命题:①若关于

的方程

有实根,则

;②若

; ③若

,则

;④

,若

,则

不全为 0。然后判

断:①若关于

的方程
8

有实根,则

,故命题为

假;

②取

,命题不成立;③由互为逆否命题同真同假,故③可直接判断原命题,

知命题为真;④由实数性质知,命题不成立。综上知真命题序号为③. 点评 解决此类问题,应先写出相应的命题,再利用判断命题真假的方法进行判断.

例 5

已知命题

:对

,不等式

恒成立;

命 题



, 使

; 若

是真命题,

是假命题,求实数

的取值范围.

解析



,∴

,由题意有

,解得



, 故命题

为真命题时, 有



;∵

使

,∴有

,即



,故

是假命题时,有



9

∴实数 的取值范围为 . 点评 利用命题的真假性确定参数的取值范围, 通常用直接法求解, 即先求出原命题为 真时的参数范围,再根据题设条件得出参数的取值范围.

例6

命题“

,

”的否定是(



A.

,

B.

,

C.

,

D.

,

解析 本命题为特称命题,写其否定的方法是:先改变量词,再否定结论,故 D 符合. 点评 对于特称命题的否定,一般是先改变量词,再否定结论;对于全称命题的否定, 也是类似的.千万不要忽略改变量词这一点,否则就是错误的.

例 7 已知命题

,命题

的解集是

,下列结

论:①命题“

”是真命题; ②命题“

”是假命题;③命题

“ A.②③

”是真命题; ④命题“ B.①②④ C.①③④

”是假命题。其中正确的是( ) D.①②③④

解析

命题

为特称命题,只要找到一个

的值,使

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成立即可.显然,令

,则有

,故命题

为真;命题 q 显然为真。由真值表知选 D. 点评 解决此类问题的关键在于理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,并掌握判 、 、 断全称命题、特称命题及含逻辑联结词的命题真假的原则.

例 8

在平面直角坐标系

中,直线

与抛物线

相交于 A、B 两点,

(1)求证: “如果直线 过点 ,那么 真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.

”是

(1)证明

设过点

的直线

交抛物线





,当直线

的斜率不存在时,直线

的方程为

,此时,直线

与抛物线相交于点



11

.所以

;当直线

的斜率存在时,设直线

的方程为

,其中

,由



.又因为

,所以

.

综上所述,命题“如果直线 是真命题;

过点

,那么



(2)逆命题是:设直线

交抛物线

于 A、B 两点,如果

,那么该直线过点

,该命题是假命题.如果取抛物线上的点 A

(2,2) ,

,此时

,直线 AB 的方程为

,而

不在直线 AB 上.

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点评

由抛物线

上的点

满足

,可得



.如果

,可证得直线 AB 过点(3,0) ;如



,可证得直线 AB 过点(-1,0) ,而不过点(3,0).另外本题中“在平

面直角坐标系 中直线 与抛物线 相较于 A,B 两点”是大前提,对于有大前提的原命题,在写出它的逆命题、否命题与逆否命题时,应保 留这个大前提.

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