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必修二数学知识点总结


必修 2 第一章 立体几何初步
'

1.特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)

S直棱柱侧面积 ? ch
S正棱锥侧面积 ?
S正棱台侧面积 ?

1 ch ' 2

1 (c1 ? c2 )h' 2

/>
S圆柱侧 ? 2?rh

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?

S圆锥侧面积 ? ?rl S圆锥表 ? ?r?r ? l ?
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

?

?

2.柱体、锥体、台体的体积公式

V柱 ? Sh
1 V锥 ? Sh 3 1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3
V求 ? 4 3 ?R S ? 4?R 2 3 ; 球面

3. 球体的表面积和体积公式:

4.空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向右) 、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了 物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。

第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义:平面是无限延展的 2 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α · L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内. (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B · α · C 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, · 使 A∈α、B∈α、C∈α。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线。 β 符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且 P∈L P α 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据. · L 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 共面直线 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线: 同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关, 为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );

?

2

③ 当两条异面直线所成的角是直角时, 我们就说这两条异面直线互相垂直, 记作 a⊥b;

④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α来表示

a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直 线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个 平面平行。 符号表示: a β b β a∩b = P =>β∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面 与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:

a ∥α a β => a∥b α∩β= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们 的交线平行。 符号表示: α∥β α∩γ= a => a∥b β∩γ= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α互 相垂直,记作 L⊥α,直线 L 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线 L 的垂面。如图,直线与 平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L

2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该 直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直。

第三章 直线与方程

(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴 平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜 率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当 ? ? 0? ,90? 时, k ? 0 ; 存在。 ②过两点的直线的斜率公式: k ? x2) 注意下面四点: (1)当 x1 ? x 2 时, 公式右边无意义, 直线的斜率不存在, 倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上 每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b

?

?

? 当 ? ? 90? ,180? 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时, k 不

?

?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠

③两点式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 a b y 轴的截距分别为 a , b 。
④截矩式: ⑤一般式: Ax ? By ? C 1 各式的适用范围 注意:○

? 0 (A,B 不全为 0)
2 特殊的方程如: ○ 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ;

平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ;

(6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ;

l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

B x2 , y2) (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点,
则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ( 9 ) 点 到 直 线 距 离 公 式 : 一 点 P?x0 , y0 ? 到 直 线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的 距 离
d? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

(10)两平行直线距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

第四章 圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为 圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2
2 2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系: 当 ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) > r ,点在圆外
2 2
2

当 ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) = r ,点在圆上
2 2
2

当 ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) < r ,点在圆内
2 2
2

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

D E? , 半 径 为 当 D ? E ? 4F ? 0 时 , 方 程 表 示 圆 , 此 时 圆 心 为 ? ? ? ,? ?
2 2

?

2

2?

r?

1 D 2 ? E 2 ? 4F 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个点;
2 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。
2 2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方 程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的 距 离 为 d ? Aa ? Bb ? C
A2 ? B 2

, 则 有 d ? r ? l与C相 离 ; d ? r ? l与C相切 ;

d ? r ? l与C相交
(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心 到该直线距离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a) +(y-b) =r ,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切 2 线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确 定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当d
2 2 2

? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条;

当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;

当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;

当 d ? R ? r 时,两圆内含;

当d

? 0 时,为同心圆。

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点


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