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§2.4-幂函数


§2.4 幂 函 数 【学习目标】: 了解幂函数的概念,通过具体例子了解幂函数的图象和性质,并能进行简单的应用. 【教学过程】 : 一、复习引入: 经市场调查,一种商品的价格和销售量关系如下表: 价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 销售量/t 139.6 135.4 131.6 128.2 125.1 122.2 119.5 根据此表,经研究发现价格与销售量之间近似地满足关系 思考 1: 前面我们学习了指数函数,函数是指数函数吗?为什么? 二、新课讲授: 1.幂函数的定义:一般地,形如 的函数称为指数函数,其中是常量,是变量。 思考 2:下列函数不是幂函数是 . ① ② ③ ④ ⑤ 注意:指数函数与幂函数的模型区别比较: 思考 3:作出函数, , , , , ,的图象.并观察图象,总结填写下表:

定义域

值域

奇偶性

单调性

思考 4:作出函数, , 的图象. 观察图象,总结填写下表:

思考 5:作出函数的图象并考察它的性质。呢? 2.画出幂函数的的图象: 3.幂函数的主要性质: (1)幂函数在第一象限内的特征: 若,函数的图象都过定点 ,下凸递增,在区间 是 函数 若,函数的图象都过定点 ,上凸递增,在区间 是 函数 若,函数的图象都过定点 ,下凸递减,在区间 是 函数 (2)幂函数的图象必过第 象限,必不过第 象限,有可能过第 象限,具体看 幂函数的奇偶性。是偶函数时,图象还在第 象限,是奇函数时,图象还在第 象 限;也有可能既不是奇函数也不是偶函数,但不可能既是奇函数也是偶函数. (3)其它: 三、典例欣赏: 例 1.已知幂函数,求它的定义域,指出其奇偶性,单调性,并作出它的简图.

变题 1:已知函数的图象与 x 轴、y 轴都没有交点且关于原点对称,求 m 的值。

变题 2:已知幂函数是偶函数,且在上是增函数,求的解析式.

例 2.求函数的定义域。

例 3.比较下列各组数的大小: (1) , , (2) , , (3)

变题:若,则的取值范围为 若,则的取值范围为 【针对训练】 班级 姓名 学号 下列函数中(1),(2),(3),(4), :是幂函数的是________. 下列函数(1),(2),(3),(4),在上是增函数的是___. 下面四个结论: (1)幂函数的图象都过点(0,0) (1,1) ; (2)幂函数的图象不可能出现在 第四象限; (3)当 n>0 时,幂函数的图象是一条直线。其中错误的命题是_________. 下列函数中(1) (2) (3) (4),值域是的函数是_______. 函数的图象______________________. (1)关于直线对称 (2)关于 x 轴对称 (3)关于原点对称 (4)关于 y 轴对称 已知幂函数的图象经过点,则 . 已知幂函数的图象经过点(9, ) ,则 . 将下列三个数由小到大的排出___________________. 若,则 a 的取值范围是 。 10.设, , ,则的大小关系为______________. 11.当时,函数的图象恒在直线下方,则 n 的取值范围是_________. 12.如果幂函数的图象不过原点,则 m 的取值集合是_________. 13.函数是幂函数,且在时,为减函数,则实数 m 的值为__________________ 14.已知当 m 为何值时, (1)是正比例函数; (2)是反比例函数; (3)是二次函数; (4)是幂函数,其图象不经过点(0,0) 。

15.已知幂函数(m 是常数),且当时,是增函数,求的解析式。

【拓展提高】 (可以选做) 16.已知幂函数的图像关于 y 轴对称,且在时为减函数,求满足条件时的取值范围


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