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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:第2章 第7节 函数的图像及其变换


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北师大版 ·高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
函数与基本初等函数

第二章

函数与基本初等函数

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第二章
第七节 函数的图像及其变换

第二章

函数与基本初等函数

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第二章

函数与基本初等函数

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考纲要求
1.在实际情境中, 会根据不同的需要选择 图像法、列表法、解析 法表示函数. 2.会运用函数图 像理解和研究函数的性 质,解决方程解的个数 与不等式的解的问题. 3.会用数形结合 的思想和转化与化归的 思想解决数学问题.

命题分析
从近几年的高考试题来看,图像的 辨识与对称性以及利用图像研究函数的 性质、方程、不等式的解是高考的热 点,多以选择题、填空题的形式出现, 属中低档题,主要考查基本初等函数的 图像及应用. 预测2016年高考对本节内容的考查 仍将以函数图像的识别及应用为主,题 型延续选择题、填空题的形式,分值均 为5分.预计2016年高考会重点考查数 形结合的数学思想方法及利用函数图像 研究函数性质、方程、不等式等问题, 备考时应加强针对性的训练.
第二章 函数与基本初等函数

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第二章

函数与基本初等函数

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1.函数的图像

列表 描点 连线 特殊点

平移变换 伸缩变换对称变换
第二章 函数与基本初等函数

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2.利用基本函数图像的变换作图 (1)平移变换: 函数y =f(x + a)(a≠0) 的图像可以由 y =f(x) 的图像向左 (a>0) |a| 个单位而得到; 或向右(a<0)平移______

函数 y = f(x) + b , (b≠0) 的图像可以由 y = f(x) 的图像向上
|b| 个单位而得到. (b>0)或向下(b<0)平移______

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(2)伸缩变换:
函数y=Af(x)(A>0,且A≠1)的图像可由y=f(x)的图像上各点 A 倍,横坐标 的纵坐标伸长 (A>1)或缩短 (0<A<1) 到原来的 ______ 不变而得到; 函数 y = f(ωx)(ω>0 ,且 ω≠1) 的图像可由 y = f(x) 的图像上各 1 点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的______倍,纵坐 ω 标不变而得到.

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(3)对称变换:
函 数 y = - f(x) 的 图 像 可 通 过 作 函 数 y = f(x) 的 图 像 关 于 x轴 对称的图形而得到; ______ 函 数 y = f( - x) 的 图 像 可 通 过 作 函 数 y = f(x) 的 图 像 关 于 y轴 对称的图形而得到; ______

函数 y =- f( - x) 的图像可通过作函数 y = f(x) 的图像关于 原点 对称的图形而得到; ______
函 数 y = f - 1(x) 的 图 像 可 通 过 作 函 数 y = f(x) 的 图 像 关 于 直线y=x 对称的图形而得到; __________

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函数 y =|f(x)| 的图像可通过作函数 y = f(x) 的图像,然后把 x 翻折 到x轴上方,其余部分保持 轴下方的图像以x轴为对称轴______ 不变而得到; 函数 y =f(|x|) 的图像是:函数 y = f(x) 在y 轴右侧的部分及其

该部分关于y轴对称的部分.

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1.函数

2 ? ?x ,x<0, y =? x ? ?2 -1,x≥0

的图像大致是(

)

[答案] B

[解析]
图像为B.

当x<0时,函数的图像是抛物线;当 x≥0时,只需

把y=2x的图像在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可,故大致

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2.(文)函数 y=x|x|的 图 像 大 致 是

(

)

[ 答案]
[ 解析]

A
2 ? ?x≥0? ?x y=x|x|=? 2 ? ?-x ?x<0?

,故选 A.

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|x| (理)函数 y= x +x 的图像是(

)

[ 答案]
[ 解析]

D
? ?x+1,x>0, y=? ? ?x-1,x<0,

这是一个分段函数,故选 D.

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x+1 3.(文)函数 f(x)= x 图像的对称中心为( A.( 0 0 ,) C.( 1 0 ,) B.( 0 1 ,) D.( 1 1 ,)

)

[ 答案]
[解 析]

B
x+1 1 f(x)= x =1+ x, 把 函 数 f(x)的 图 像 . 由 1 y= x 的 图 像 向 上 平 移 ( 0 0 ,) 1 , 可

个 单 位 , 即 得 函 数 得 平 移 后 的

1 y= x 的 对 称 中 心 为 ( 0 1 ,) .

f(x)图 像 的 对 称 中 心 为

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2-x (理)函数 y=o lg 2 的图像( 2+x A. 关 于 原 点 对 称 C.关于 y 轴对称 [ 答案] A

)

B.关于直线 y=-x 对称 D.关 于 直 线 y=x 对称

[ 解析]

2-x 令 f(x)=o lg 2 定义域(-2,2), 2+x

2-x 2+x 则 f(x)+f(-x)=o lg 2 +o lg 2 =o lg 21=0. 2+x 2-x 故 f ( x) 为 奇 函 数 , 其 图 像 关 于 原 点 对 称 .

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4. 为 了 得 到 函 数 的 图 像 上 所 有 的 点 A. 向 左 平 移 B. 向 右 平 移 C. 向 左 平 移 D. 向 右 平 移 (

x+3 y=lg 1 图 像 , 只 需 要 把 函 数 0 的 )

y=lgx

3个 单 位 长 度 , 再 向 上 平 移 3个 单 位 长 度 , 再 向 上 平 移 3个 单 位 长 度 , 再 向 下 平 移 3个 单 位 长 度 , 再 向 下 平 移

1个 单 位 长 度 1 个单 位 长 度 1个 单 位 长 度 1个 单 位 长 度

[ 答案]

C

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[ 解析]

x+3 y=lg 10 =g l( x+3)-1. 1 个单位长

则 y=lgx 向左平移 3 个 单 位 长 度 , 再 向 下 平 移 x +3 度即得 y=lg 10 的图像.

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5. 为 了 得 到 函 数

?1? y=3×?3?x ? ?

的 图 像 , 可 以 把 函 数

?1? y=?3?x ? ?

的图像向________平移________个单位长度.

[ 答案]
[ 解析]

右 1
?1? ?1? - x y=3×?3? =?3?x 1, 因 此 只 需 将 ? ? ? ? ?1? y=3×?3?x 的图像. ? ? ?1? y=?3?x 的图像向右 ? ?

平移 1 个单位即可得到

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6.(文)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,
f(x)的图像如图,则不等式f(x)<0的解集是________________.

[答案] {x|-2<x<0或2<x≤5} [解析] 由奇函数的图像特征可得f(x)在[-5,5]上的图像, 由图像可解出结果.
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(理)函数f(x)=|4x-x2|-a恰有三个零点,则a=________.
[答案] 4 [解析] 同的交点. 如图所示,当a=4时满足条件. f1(x)=|4x-x2|,f2(x)=a,则函数图像恰有三个不

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作已知函数的图像 分别画出下列函数的图像: (1)y=|lgx|;(2)y=2x+2;(3)y=x2-2|x|-1. [思路分析] 所给函数为非基本初等函数,因此要利用基 本函数的图像进行变换作图,首先应将原函数式变形.

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[规 范 解 答 ]

( 1 )

? ?lgx?x≥1? y=? ? < x<1? ?-lgx?0

.图 像 如 图 ( 1 ) . ( 2 ) .

( 2 ) 将 y=2x 的 图 像 向 左 平 移 ( 3 )
2 ? ?x -2x-1?x≥0? y=? 2 ? ?x +2x-1?x<0?

2个 单 位 . 图 像 如 图 .图 像 如 图 ( 3 ) .

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[方法总结] 画函数图像的一般方法有: (1)直接法:当函数表达式 (或变形后的表达式)是熟悉的基 本函数时,就可根据这些函数的特征直接做出. (2)图像变换法:若函数图像可由某个基本函数的图像经过

平移、翻折、对称得到,可利用图像变换作出,但要注意变换
顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意 平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

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作出下列函数的图像. ( 1 ) y=elnx; x +2 ( 2 ) y= . x -1
[ 解析] ( 1 ) 函数的定义域为{x|x> 0 } 且 y=elnx=x(x> 0 ) , ∴其图像如图所示.

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3 ( 2 ) 因 y=1+ , 先 作 出 x-1 1个 单位 , 再 向 上 平 移

3 y= x 的 图 像 , 将 其 图 象 向 右 平 移 x +2 y= 的 图 像 , 如 图 . x -1

1个 单 位 , 即 得

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识图与辨图 (文)函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像如图.

则函数y=f(x)·g(x)的图像可能是(

)

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[思路分析] 断. [ 规范解答 ]

根据图像可知 f(x)和g(x)分别为偶函数和奇函

数,结合函数的其他性质,如最值点及其他特殊值即可做出判 (1) 从 f(x) 、 g(x) 的图像可知它们分别为偶函

数、奇函数,故f(x)·g(x)是奇函数,排除B.
又∵g(x)的定义域为{x|x≠0},故排除C,D.应选A. [答案] A

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( 理 )(2014· 长 春 模 拟 ) 函 数 f(x) = ax , g(x) = logax(a>0 ,
a≠1),若f(3)g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系下的图像可能 是( )

[思路分析]

根据指数函数、对数函数的性质判断a的取值

范围,再作出判断.

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[规范解答]

∵ f(x) = ax>0 恒 成 立 , 且 f(3)g(3)<0 ,

∴g(3)<0,即loga3<0,∴0<a<1,因此图像为C.

[答案] C

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[方法总结]

对于给定函数的图像,要能从图像的左右、

下上分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的 信息,解决这类问题的常用方法有: (1)定性分析法,也就是通过对问题进行定性的分析,从而 得出图像的上升(或下降)的趋势,利用这一特征来分析解决问

题;
(2)定量计算法,也就是通过定量的计算来分析解决问题; (3)函数模型法,也就是由所提供的图像特征,联想相关函 数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.

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(文)当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax 的图像是( )

[答案] C [ 解析 ] 当 0<a<1 时, y = a - x 为增函数且过点 (0,1) , y = logax为减函数且过点(1,0),故应选C.
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(理)定 义 运 算 像是( )

? ?a a⊕b=? ? ?b

?a≤b?, 则函数 f(x)=1⊕2x 的图 ?a>b?.

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[答案] A [解析] 依题意,f(x)的值为1和2x的值中较小的,故当x≥0 时,f(x)=1,当x<0时,f(x)=2x,故选A.

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函数图像的综合应用 已知函数f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;

(2)求集合M={m|使方程f(x)=mx有四个不相等的实根}.
[ 思路分析 ]
[ 规范解答]
2 ? ??x-2? -1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞? f(x)=? 2 ? - ? x - 2 ? +1,x∈?1,3? ?

(1) 画出图像,确定单调性; (2) 转化为函数 y

=f(x)及y=mx的交点个数问题.

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作出图像如图所示.

( 1 ) 递 增 区 间 为

[ 1 2 ,]

,[3,+∞), .

递减区间为(-∞,1),( 2 3 ,)

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( 2 ) 由 图 像 可 知

y=f(x)与 y=mx 图 像 有 四 个 不 同 的 交 点 , 直 l1 之 间 .

线 y=mx 应 介 于 x轴 与 切 线
? ?y=mx ? 2 ? y = - ? x - 2 ? +1 ?

?x2+(m-4 ) x+3=0 . 3, 舍 去 .

由 Δ=0 得 m=4 ± 2

m=4+2 3时,x= - 3?( 1 3 ,)

∴m=4-2 3,l1 方 程 为 y=(4-2 3)x. ∴m∈( 0 4 , -2 3),∴集 合 M={m0 |< m<4-2 3}.

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[ 方法总结 ]

1. 函数的图像直观地反映了函数的性质;从

图像的左、右分布,分析函数的定义域;从图像的上、下分 布,分析函数的值域;从图像的最高点、最低点,分析函数的 最值、极值;从图像的对称性,分析函数的奇偶性;从图像的

走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.
2 .数形结合思想的运用,能起到事半功倍的作用.要注 意有时需要适当的计算.

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(文)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范 围是________. [答案] [-1,1] [解析] 曲线|y|=2x+1得|y|>1,所以y>1或y<-1,曲线与 直线y=b没有公共点,则b的取值范围是[-1,1].

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2 ? ?a -ab,a≤b, : a*b=? 2 ? ?b -ab,a>b.

(理)对 于 实 数

a 和 b, 定 义 运 算

“ * ”

设 f(x)=(2x-1 ) * ( x-1), 且 关 于

x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰 有 三

个互不相等的实数根,则 m 的取值范围是________. 1 [ 答案] (0,4) [解 析] 根 据 新 定 义 写 出 f ( x) 的 解 析 式 , 数 形 结 合 求 出
取 值 , 再 根 据 函 数 的 图 像 和 方 程 的 根 等 条 件 求 解 . 由 定 义 可 知 ,
? ??2x-1?x,x≤0, f(x)=? ? 0 . ?-?x-1?x,x>
第二章

m的

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作 出 函 数

f(x)的 图 像 , 如 图 所 示 . 1 0 < m<4时 , f(x)=m(m∈R)恰 有 三 个 互 不 相 等

由 图 可 知 , 当 的 实 数 根 .

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利用数形结合思想求参数的范围 1 已知不等式 x -o lg ax<0, 当 x∈(0, 2)时恒成立,
2

求实数 a 的取值范围.

[ 规范解答]

1 ∵不等式 x -o lg ax<0,即 x < o lg ax 在(0,2)
2 2

内恒成立, ∴0<a< 1 . y=x2 和 y=o lg ax 的 图 像 如 图 , 由 图 像 可 知 , 1 1 lg a2. 4≤o

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< a<1, ? ?0 1 ? ∴ 1 1 解 得1 ≤a< 1 . 6 a ≥ , ? ? 4 2 所 以 实 数 a的 取 值 范 围 是 1 [1 ). 6 ,1

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[反思感悟]

(1)“以形助数”是已知两图像交点问题求参

数范围常用到的方法,解决此类问题的关键在于准确作出不含

参数的函数的图像,并标清一些关键点,对于含参数的函数图
像要注意结合条件去作出符合题意的图形. (2)当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常 将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用 数形结合求解.

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1 当 0<x≤2时,4x< o l gax,则 a 的取值范围是( 2 A.(0, 2 ) C.(1, 2) [ 答案] B
[ 解析]

)

2 B.( 2 ,1) D.( 2,2)

1 由 0<x≤2且 o lg ax>4x>0 知 0<a< 1 . 1 y=4( 0 < x≤ 2 ) 和 y =
x

在同一坐标系中画出函数 o lg ax( 0 < a< 1 0 ,< 1 x≤2)的 图 像 , 如 图 所 示 .

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由 图 像 知 , 要 使 当

1 0 < x≤2时 , 4x< o lg
2 a a ,

a x,

1 1 1 只 需 o lg a2>42, 即 o lg a2> o lg
2

1 2 ∴a >2, 又 0 < a<1,∴ 2 <a< 1 .
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对函数的图像的识别不全致误 x 函数 y=2-2 s n i x的 图 像 大 致 是 ( )

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[ 错解]

x 函数 y=2-2 s n i x 为奇函数,且 x 趋于无穷大时,

函数值 y 也趋于无穷大,故选 B.
[ 错因分析] 只 关 注 了 函 数 的 奇 偶 性 , 对 函 数 的 单 调 性 不

明确是产生错误的主要原因. x [ 正确解答] 函数 y=2-2 s n i x 为奇函数,排除 A;且 y′

1 1 =2-2 c o s x, 令 y′=0 得 c o s x=4, 由 于 函 数

y=c o s x为 周 期 函

数,故有多个极值点,且呈周期性,排除 B; 而 当 x> 2 π 时,y x x =2-2 s n i x>0,当 x<-2π 时,y=2-2 s n i x<0, 排 除 D, 故 选 C.
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[误区警示]

根据已知函数解析式,明确其复合过程,找

到与其有关的基本初等函数,观察它们之间的变换规律,通过 图像的变换得出所求函数的图像;也可根据解析式探寻函数的 有关性质,如奇偶性、单调性、周期性等,或根据函数解析式

研究函数图像的特殊点,综合考虑得到函数的图像.

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一条主线 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高 考考查的热点,作函数图像首先要明确函数图像的形状和位

置,而取值、列表、描点、连线只是作函数图像的辅助手段,
不可本末倒置.

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两个区别 (1)一个函数的图像关于原点对称与两个函数的图像关于原 点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同 的函数对称.

(2)一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y轴
对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个 不同函数的对称关系.

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三种途径 明确函数图像形状和位置的方法大致有以下三种途径. (1)图像变换:平移变换、伸缩变换、对称变换. (2)函数解析式的等价变换.

(3)研究函数的性质.

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