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广东省龙川一中2012-2013学年高二上学期12月月考数学试题


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广东省龙川一中 2012-2013 学年高二上学期 12 月月考数学试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若 A ? x | 0 ? x ? (A) ? x | x ? 0?

?

2 , B ? ?

x |1 ? x ? 2? ,则 A ? B ? (
(C) 0 ? x ? ) D. 2? )

?

) (D) ? x | 0 ? x ? 2?

(B) ? x | x ? 2?

?

2

?

2.函数 y ? sin x cos x 的最小正周期是( A.

?
4

B.

?
2

C. ?

3.已知 ?an ? 是等差数列, a3 ? 12 , a6 ? 27 ,则 a10 等于( A.42 B.45 C.47 D.49 2 2 4.设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 )

D.既不充分也不必要条件 )

5.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( A. 1 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 6 4

6. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a 、 b 、 c 成等比数列,且 c ? 2a , 则 cos B ? ( A. ). B.
?

1 4

3 4
?

C.

2 4
? ?

D.

2 3
)

7.已知向量 a = (1,3), b = (3, n ),若 2 a – b 与 b 共线,则实数 n 的值是( A. 6 B. 9 C. 3 ? 2 3 D3? 2 3

? 2 x ? y ? 8, ? 8.若 x 、 y 满足 ? x ? 3 y ? 9, ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ( ? x ? 0, y ? 0, ?
A.. 9 B. 8 C. 7 D. 6 ) 9.设方程 2 x ? ln x ? 6 的解为 x 0 , 则 x 0 所在的区间是( A.(2, 3 ) 10.已知 x ? 1, x ? B.(3, 4 ) C. (0, 1 )

)

D.(1, 2 ) )

1 ? m 恒成立,则 m 的取值范围是( x ?1

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A.

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C. ?3, ?? ? D.

? ??, 2?

B.

? 2, ?? ?

? ??,3?

二.填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.函数 y ?

2? x 的定义域是 x ?1
2

.

12.命题“存在 x∈R,使得 x +2x+5=0”的否定是______

__.

13. 由动点 P 向圆 O:x2+y2=1 引两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,∠APB=60° ,则动点 P 的轨迹 方程为 .

?x ? y ? 5 ? 0 ? y ? a 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 14.若不等式组 ? ? 0? x?2 ?
三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分12分) 已知△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a ? 2, cos B ? (1) 若 b ? 4 , 求 sin A 的值; (2) 若△ ABC 的面积 S ?ABC ? 4, 求 b, c 的值.

3 . 5

?

?

16. (本小题满分 12 分)设平面向量 am =( m , 1), bn = ( 2 , n ), 其中 m, n ? {1,2,3,4}. (1)请列出有序数组( m, n )的所有可能结果; (2)记“使得 am ? ( am — bn )成立的( m,n ) ”为事件 A, 求事件 A 发生的概率。
? ? ?

17. (本小题满分 14 分)如图,正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直,

M 是 CE和AD 的交点, AC ? BC ,且 AC ? BC 。
(1)求证: AM ? 平面EBC ;
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(2) (文科生做)求直线 AB 与平面 EBC 所成角的大小; (2) (理科生做)求二面角 A ? EB ? C 的大小。

18.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? a ?

2 , 2 ?1
x

(1)求证:不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数; (2)确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数及求此时 f ( x) 的值域

19. (本小题满分 14 分)设各项为正数的等比数列 ?a n ? 的首项 a1 ?

1 ,前 n 项和为 S n ,且 2

210 S 30 ? (210 ? 1) S 20 ? S10 ? 0 。
(1)求 ?a n ? 的通项; (2)求 ?nS n ?的前 n 项和 Tn 。

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x y 6 20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , a b 3 短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 的最大值. 3 ,求△AOB 面积 2

2

2

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2012-2013 学年度第一学期 高二年级数学科参考答案 一. DCCA A BBCAD

16.解: (1)有序数组(m,n)的所有可能结果为: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4) , , , , , , , , (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4) , , , , , , , 共 16 个. (2)由 am ? ( am — bn )得 m 2 ? 2m ? 1 ? n ? 0 ,即 n ? (m ? 1) .
2
? ? ?

由于 m, n ? {1,2,3,4},故事件 A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4) ,共 2 个. 又基本事件的总数为 16 个,故所求事件 A 的概率为 P ( A) ?

2 1 ? . 16 8

E (2)(文科)连结 BM , ? AM ? 平面 EBC , ? ?ABM 是直线 AB 与平面 EBC 所成的角. 设 EA ? AC ? BC ? 2a ,则

D

M

AM ? 2a , AB ? 2 2a ,

A B

C

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? sin ?ABM ? AM 1 ? , AB 2

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AB ? 2 2a , EB ? 2 3a ,
? AH ? AE ? AB 2 2a . ? EB 3
AM 3 . ? AH 2

? sin ?AHM ?

? ?AHM ? 60? . ∴二面角 A ? EB ? C 等于 60? .
18. 解: (1) ∵ f ( x) 的定义域为 R, ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ? ∵ x1 ? x2 , ? 2 1 ? 2
x x2

2 ? (2 x1 ? 2 x2 ) 2 2 = , ? a ? x2 2 x1 ? 1 2 ? 1 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )
? 0, (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数.

所以 f ( x) 的值域为 (?1,1).

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19. (1)由 210 S 30 ? (210 ? 1) S 20 ? S10 ? 0 得 210 ( S 30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 , 即 210 (a 21 ? a 22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a 20 , 可得 210 ? q 10 (a11 ? a12 ? ? ? a 20 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a 20 .

前两式相减,得

Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 1 n 2 ? n 即 Tn ? ? n ?1 ? n ? 2. ? ? n ?1 1 2 4 2 2 2 1? 2

? c = 6, ? 20. 解析: (1)设椭圆的半焦距为 c,依题意 ?a 3 ?a= 3, ?

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-6km 3? m -1? ∴x1+x2= 2 ,x1x2= . 2 3k +1 3k +1

2

? 362k m ∴|AB| =(1+k )(x2-x1) =(1+k )? ?? 3k +1?
2 2 2 2

2 2 2



12?

m2-1? ? 2 ? 3k +1 ?



12?

2 2 k2+1? ? 3k2+1-m2? 3? k +1? ? 9k +1? = 2 2 2 2 ? 3k +1? ? 3k +1? 2

12k 12 12 =3+ 4 =3+ ≤3+ =4, 2 9k +6k +1 1 2×3+6 2 9k + 2+6

k

1 3 3 ∴当|AB|最大时,△AOB 面积取得最大值 S= ×|AB|max× = . 2 2 2

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