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2-3-1对数


一.课题:对数 二.教学目标:1. 理解对数的概念; 2. 能够进行对数式与指数式的互化; 3.会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。 三.教学重、难点:理解对数的概念,能够进行对数式与指数式的互化,并求一些特殊的对数 式的值;对数式与指数式的互化。 四.教学过程: (一)引入:从指数问题的实例导入,见教科书 P80 例题: 假设 1995 年我国的国民生产总值为 a 亿元,如

每年平均增长 8%,那么经过多少年国民 生产总值是 1995 年的 2 倍? 设:经过 x 年国民生产总值是 1995 年的 2 倍,则有

a (1 + 8%) x = 2a ,

1.08 x = 2 ,

这是已知底数和幂的值,求指数的问题。即指数式 a b = N 中,已知 a 和 N 求 b 的问题(这里 a > 0且a ≠ 1 ) 。介绍对数和指数发展简史,教科书 P85。 (二)新课讲解: 1.对数定义:一般地,如果 a ( a > 0且a ≠ 1 )的 b 次幂等于 N, 就是 a b = N ,那么数 b 叫 做 a 为底 N 的对数,记作 log a N = b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 即a = N ,
b

log a N = b

a
指数式 a b = N 对数式 log a N = b 底数 对数的底数

N
幂 真数

b
指数 对数

说明:1.Q 在指数式中幂 N > 0,∴在对数式中,真数 N > 0. (负数与零没有对数) 2.Q 对任意 a > 0 且 a ≠ 1 ,
b

都有 a = 1
0

∴ log a 1 = 0 ,同样: log a a = 1 .
log a N

3.如果把 a = N 中的 b 写成 log a N , 则有 a 2.对数式与指数式的互换 例 1. (P81)将下列指数式写成对数式:

= N (对数恒等式) .

1 ?1? a ; (3) 5 = 20 ; (4) ? ? = 0.45 . (1) 2 = 16 ; (2) 3 = 27 ?2? 1 解: (1)log 2 16 = 4 ; (2)log 3 = ?3 ; (3)log 5 20 = a ; (4)log 1 0.45 = b . 27 2
4

?3

b

3.介绍两种特殊的对数: ①常用对数:以 10 作底

log10 N

写成

lg N log e N
写成

②自然对数:以 e 作底为无理数, e = 2.71828…… , 例 2. (P81)将下列对数式写成指数式: (1)log 1 16 = ?4 ; (2)log 2 128 = 7 ;
2

ln e .
(4)ln10 = 2.303 .

(3)lg 0.01 = ?2 ;

对数(1)

?1? 解: (1) ? ? = 16 ; ?2?
例 3. (1)计算: 解:设 x =

?4

(2) 2 = 128 ; (3) 10
7

?2

= 0.01 ;

(4) e

2.303

= 10 .

log9 27 , log3

54

625 .

3 log9 27 则 a x = 27 , 32 x = 33 , ∴ x = ; 2
54

令 x = log 3

625 , ∴

( )
3

54

x

= 625 , 5 3 = 54 , ∴ x = 3 .
② log ?
?

4

x

(2)求 x 的值:① log 3 x = ? 解:① x = 3 ② 3x 2
? 3 4

3 ; 4

2 ? ? 2 x ?1?
?

( 3x

2

+ 2 x ? 1) = 1 .

=

4

1 ; 27

+ 2 x ? 1 = 2 x 2 ? 1 ? x 2 + 2 x = 0 ? x = 0, x = ?2

? 2x2 ?1 > 0 ? , ∴ x = 0 舍去 ,从而 x = ?2 . 但必须: ? 2 x 2 ? 1 ≠ 1 ?3 x 2 + 2 x ? 1 > 0 ?
(3)求底数:① log x 3 = ? 解:① x
7 8

3 , 5

② log x 2 =
?

7 . 8

?

3 5

= 3 = (3 3 )
7

?

5

?

3 5

∴x=3

5 3;

? 8 ?8 ② x = 2 = ? 27 ? , ? ? ? ?

∴ x = 27 .

8

4.对数的运算性质: 如果 a > 0 , a ≠ 1, M > 0 ,N > 0, 那么 (1) log a ( MN ) = log a M + log a N ; (2) log a

M = log a M - log a N ; N n (3) log a M = n log a M ( n ∈ R ) .

证明: (性质 1) 设 log a M = p , log a N = q , 由对数的定义可得
p q

(性质 3) 设 log a M = p , 由对数的定义可得 ∴M = a ,
n np

M = a p , N = aq ,
p+q

M = ap ,

∴ MN = a ? a = a , ∴ log a ( MN ) = p + q , 即证得 log a MN = log a M + log a N .

∴ log a M = np ,
n

即证得 log a M = n log a M .
n

练习:证明性质 2. 说明: (1)语言表达: “积的对数 = 对数的和”……(简易表达以帮助记忆) ; (2)注意有时必须逆向运算:如 log 10 5 + log 10 2 = log10 10 = 1 ;

对数(1)

(3)注意定义域: log 2 ( ?3 )( ?5 ) = log 2 ( ?3 ) + log 2 ( ?5 ) 是不成立的,

log 10 ( ?10 ) 2 = 2 log 10 ( ?10 ) 是不成立的;
(4)当心记忆错误: log a ( MN ) ≠ log a M ? log a N ,试举反例, 5.例题分析: 例 1. (P82 例 3)用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式: (1) log a

xy ; z xy 解: (1) log a z = log a ( xy ) ? log a z

(2) log a

x2 y
3



z
3

(2) log a

x2 y

= log a x + log a y ? log a z ;

z = log a ( x 2 y ) ? log a 3 z

= log a x 2 + log a y ? log a 3 z 1 1 = 2 log a x + log a y ? log a z . 2 3

例 2. P83 例 4)求下列各式的值: (
7 5 (1) log 2 4 × 2 ;

(

)

(2) lg 5 100 .

解: (1)原式= log 2 47 + log 2 25 = 7 log 2 4 + 5log 2 2 = 7 × 2 + 5 × 1 = 19 ; (2)原式= lg10 =
2

1 5

2 2 lg10 = 5 5

例 3.计算: (1)lg14 ? 21g

7 + lg 7 ? lg 18 ; 3 7 解: (1)解法一: lg 14 ? 2 lg + lg 7 ? lg 18 3 = lg(2 × 7) ? 2(lg 7 ? lg 3) + lg 7 ? lg(32 × 2) = lg 2 + lg 7 ? 2 lg 7 + 2 lg 3 + lg 7 ? 2 lg 3 ? lg 2 = 0 ;
解法二: lg 14 ? 2 lg

7 + lg 7 ? lg 18 3

7 = lg14 ? lg( ) 2 + lg 7 ? lg18 3 14 × 7 = lg = lg1 = 0 ; 7 2 ( ) × 18 3 说明:本例体现了对数运算性质的灵活运用,运算性质常常逆用,应引起足够 的重视。

对数(1)

导入新课:对数的运算性质的前提条件是“同底” ,如果底不同怎么办? 6.换底公式: log a N =

log m N ( a > 0 , a ≠ 1 ; m > 0, m ≠ 1 ) log m a
x

证明:设 log a N = x ,则 a = N , 两边取以 m 为底的对数得: log m a = log m N ,∴ x log m a = log m N ,
x

从而得: x =

log m N , log m a

∴ log a N =

log m N . log m a

说明:两个较为常用的推论: (1) log a b × log b a = 1 ; (2) log am b =
n

n log a b ( a 、 b > 0 且均不为 1) . m

证明: (1) log a b ? log b a = (2) log am b =
n

lg b lg a ? = 1; lg a lg b

lg b n n lg b n = = log a b . lg a m m lg a m

7.例题分析: 例 1.计算: (1) 5 解: (1)原式 =
1?log0.2 3



(2) log 4 3 ? log 9 2 + log 2

4

32 .

5 = 15 ; 1 5 3 1 1 5 1 5 3 (2) 原式 = log 2 3 ? log 3 2 + log 2 2 = + = . 2 2 4 4 4 2 b 例 2.已知 log18 9 = a , 18 = 5 ,求 log 36 45 (用 a, b 表示) . 18 解:∵ log18 9 = a , ∴ log18 = 1 ? log18 2 = a , 2 ∴ log18 2 = 1 ? a ,
log0.2 3

5

=

5

1 log5 5 3

=

又∵ 18 = 5 , ∴ log18 5 = b ,
b

log18 45 log18 9 + log18 5 a + b = = . log18 36 1 + log18 2 2?a 1 1 1 x y z 例 3.设 3 = 4 = 6 = t > 1 ,求证: ? = . z x 2y x y z 证明:∵ 3 = 4 = 6 = t > 1 , lg t lg t lg t ∴ x= ,y = ,z = , lg 3 lg 4 lg 6 1 1 lg 6 lg 3 lg 2 lg 4 1 ∴ ? = ? = = = . z x lg t lg t lg t 2 lg t 2 y
∴ log 36 45 =

对数(1)

例 4.若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5 . 解:∵ log 8 3 = p , ∴ log 2 3 = 3 p ? lg 3 = 3 p lg 2 = 3 p (1 ? lg 5) ,

lg 5 = q, lg 3 ∴ lg 5 = q lg 3 = 3 pq (1 ? lg 5) , ∴ (1 + 3 pq ) lg 5 = 3 pq 3 pq ∴ lg 5 = . 1 + 3 pq
又∵ log 3 5 = 例 5. (备用)计算: (log 4 3 + log 8 3)(log 3 2 + log 9 2) ? log 1
2 4

32 .

解:原式 = (log 22 3 + log 23 3)(log 3 2 + log 32 2) ? log 1 2
2

5 4

1 1 1 5 = ( log 2 3 + log 2 3)(log 3 2 + log 3 2) + 2 3 2 4 5 3 5 5 5 5 = log 2 3 ? log 3 2 + = + = . 6 2 4 4 4 2 例 6. (备用)若 log 3 4 ? log 4 8 ? log 8 m = log 4 2 ,求 m . lg 4 lg 8 lg m 1 解:由题意可得: ? ? = , lg 3 lg 4 lg 8 2 1 ∴ lg m = lg 3 , 2 ∴m = 3 .
五.小结: 1.定义 2.互换 3.求值 4.对数的运算法则(积、商、幂、方根的对 数)及其成立的前提条件; 5.运算法则的逆用,应引起足够的重视; 6.对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧: 如(1)各部分变形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系; (2)要避免错用对数运算性质。 7.对数的运算性质的熟练运用; 8.掌握有关的对数运算中的解题技巧,提高解题能力。 9.换底公式及其推论。

六.作业 60 页 2;63 页 5
. 2

对数(1)


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