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4.2.1直线与圆的位置关系21


直线和圆的位置关系

同学们,在我们的生活中到处都蕴含 着数学知识,下面老师请同学们欣赏 美丽的

海上日出
从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些 基本的几何图形呢?

(地平线)



O
● ●

O

O a(地平线)

今天老师和同学们一起来探究

问题二:现在,如何用直线与圆的方程判 问题一:在初中,我们是怎样判断直线与圆的 断它们之间的位置关系 ? 位置关系?
直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的

直线与圆 无 公 共 点

相离

直线与圆有且仅有一个公共点

相切

直线与圆 有 两 个 公 共 点

相交

【知识储备】
问题2:点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离是什么?

【解析】 d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2



圆的圆心到直线的距离d,我们称为弦心距

【先看下面几个例子】
1、如图,已知直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 和 圆心为 C 的圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 , 判断直线 l 与圆的位置关系;如果相 交,求它们交点的坐标.

(1) ?3x ? y ? 6 ? 0 解法一:联立方程 ? 2 2 ? x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 (2)
消去 y 得: x ? 3x ? 2 ? 0 ,
2

因为 ? ? 1 ? 0 ,所以直线 l 与圆相交,有两个公共点.
解法二:由已知,圆 C : x2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ,圆心 C (0,1) ,半径 r ?

5

5 10 C (0,1) 到直线 l 的距离 d ? ? ? 5 ,即 d<r 2 10
所以直线 l 与圆相交,有两个公共点.

由 x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 x1 ? 2 , x2 ? 1 ,
2

把 x1 ? 2 代入方程(1) ,得 y1 ? 0 ; 把 x2 ? 1 代入方程(1) ,得 y2 ? 3 ; 所以,直线 l 与圆有两个交点, 它们的坐标分别是: A(2, 0), B(1,3) .

问题三:现在,你知道如何用直线与圆的 方程判断它们之间的位置关系吗?
1、如图,已知直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 和 圆心为 C 的圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 , 判断直线 l 与圆的位置关系;如果相 交,求它们交点的坐标.
方法一:判断由直线 l 与圆的方程组成的方程组有无实数解; 方法二:可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系;

比较两种方法,你有什么想法?

直线l: Ax+By+C=0与圆:(x-a)2+(y-b)2=r2 位置关系的判定方法

位置关系
图形

相交

相切
C

相离
l C

C d

l

d

l

d

代数特征

Δ>0
0≤d<r

Δ=0
d=r

Δ<0
d>r

几何特征

通常采用的是利用几何特征

【用于生活】
探究 :一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁 分布在以小岛的中心为圆心,半径 为 30km 的圆形区域.已知轮船位 于小岛中心正东 70km 处,港口位 于小岛中心正北 40km 处.如果轮 船沿直线返港,那么它是否有触礁 的危险?

【解析】 方法 1:利用平面几何知识可知, 在 Rt ?AOB 中, OA ? 70, OB ? 40 , 则 AB ? 10 65 ,设 O 到 AB 的距离为 d ,

OA ? OB 70 ? 40 ? ? 34.7 ? 30 , 则d ? AB 10 65
所以轮船沿直线返港,没有触礁的危险;

方法 2:如果以小岛的中心为原点 O,东西方向为 x 轴, 建立直角坐标系,其中取 10km 为单位长度,

x y 直线方程: ? ? 1 ,即 4 x ? 7 y ? 28 ? 0 ; 7 4
圆的方程: x ? y ? 9 ;
2 2


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