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金版教程:2014高考科学复习解决方案 数学理科 第6章 第7讲


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第7讲 数学归纳法

第六章 第7讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.了解数学归纳法的原理.

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
第六章 第7讲
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1个重要方法 数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法,特别 是数列中等式、不等式的证明,在高考中经常出现. 2个必会步骤 1. 第一步是递推的基础,验证n=n0时,n0不一定为1,要 根据题目要求选择合适的起始值. 2. 第二步是递推的依据,归纳假设起着“已知条件”的作

用,在证明n=k+1时,命题也成立的过程中一定要用到它.
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3点必须注意 1. 初始值的验证是归纳的基础,归纳递推是证题的关键,

两个步骤缺一不可.
2. 在用数学归纳法证明问题的过程中,要注意从k到k+1时 命题中的项与项数的变化,防止对项数估算错误. 3. 解题中要注意步骤的完整性和规范性,过程中要体现数 学归纳法证题的形式.

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课前自主导学

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1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)证明当n取________时命题成立,这一步是归纳奠基.

(2)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当________时
命题也成立,这一步是归纳递推. 完成这两个步骤,就可以断定命题对一切 n∈N* , n≥n0 , 命题成立.

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1 (1)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为2n(n-3) 条时,第一步检验第一个值 n0=________.
n+2 1 - a (2)用数学归纳法证明: “1+a+a2+?+an+1= (a 1-a

≠1)” ,在验证 n=1 时,左端计算所得的项为________. 1 1 1 1 (3) 已知 f(n) = n + + + ? + n2 ,则 f(n) 共有 n+1 n+2 ________项,f(2)=________.
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2.数学归纳法的框图表示

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对于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳 法的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,不等式成立, 即 k2+k<k+1,

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则 当 n = k + 1 时 , ?k+1?2+?k+1? = k2+3k+2 < ?k2+3k+2?+?k+2?= ?k+2?2=(k+1)+1, ∴当 n=k+1 时,不等式成立. 则上述证法( )

A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确

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1.第一个值 n0 填一填:(1)3

n=k+1 (2)1+a+a
2

(3)n -n+1

2

1 1 1 2+3+4

2.n=k+1 时命题也成立 选一选:D

对一切 n∈N*,n≥n0

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核心要点研究

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例1

[2013·青岛调研]用数学归纳法证明 (n+1)(n+2)(n+

3)?(n+n)=2n·1·3·5·?·(2n-1)(n∈N+).

[审题视点]
1).

从n=k到n=k+1的过渡,左边增加了因式(2k

+1)(2k+2) 减少了因式k+1,右边2k变成2k+ 1增加了因式 (2k+

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[证明] (1)当n=1时,左边=2=右边,等式成立. (2)假设n=k(k∈N+)时,等式成立, 即(k+1)(k+2)?(k+k)=2k·1·3·5·?·(2k-1),

则当n=k+1时,(k+2)(k+3)?(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+
1)(k+2)?(k+k)·2(2k+1) =2k·2(2k+1)·1·3·5?(2k-1) =2k+1·1·3·5?(2k-1)·[2(k+1)-1] ∴当n=k+1时等式也成立.

由(1)、(2)可知,等式对任何n∈N+都成立.
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1.用数学归纳法证明等式问题是常见题型,其关键点在于弄 清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值 n0 是 几. 2.由n=k到n=k+1时,除考虑等式两边变化的项外还要充

分利用n=k时的式子,即充分利用假设,正确写出归纳证明
的步骤,从而使问题得以证明.

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[变式探究]

用数学归纳法证明:
*

1 1 1 n 对任意的 n∈N , + +?+ = . 1×3 3×5 ?2n-1??2n+1? 2n+1 1 1 1 证明: (1)当 n=1 时, 左边= = , 右边= = 1×3 3 2×1+1

1 3,左边=右边,所以等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*且 k≥1)时等式成立,即有 1 1 1 k + +?+ = , 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? 2k+1

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则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 + +?+ + 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? ?2k+1??2k+3? k?2k+3?+1 1 k = + = = 2k+1 ?2k+1??2k+3? ?2k+1??2k+3? 2k2+3k+1 k+1 k+1 = = , ?2k+1??2k+3? 2k+3 2?k+1?+1 所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N*等式都成立.

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例 2 用数学归纳法证明: 1 1 1 1 n 1+2≤1+2+3+?+2n≤2+n(n∈N*). 1 [证明] (1)当 n=1 时,左式=1+2,
1 3 1 3 右式=2+1,∴2≤1+2≤2,即命题成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时命题成立,即 1 1 1 1 k 1+2≤1+2+3+?+2k≤2+k,则当 n=k+1 时,
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1 1 1 1 1 1 k 1 + 2 + 3 + ? + 2k + k + + ? + k k >1 + 2 + 2 +1 2k+2 2 +2 k+1 2 ·k+1=1+ 2 . 2
k

1

1 1 1 1 1 1 1 又 1 + 2 + 3 + ? + 2k + k + +?+ k k<2 +k 2 +1 2k+2 2 +2 1 1 +2 · 2k=2+(k+1),
k

即 n=k+1 时,命题成立. 由(1)(2)可知,命题对所有 n∈N*都成立.
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1 1 1 奇思妙想:不等式:1+ + +?+ <2 n(n∈N*), n 2 3 用数学归纳法如何证明?

证明:①当 n=1 时,左边=1,右边=2. 左边<右边,所以不等式成立, ②假设 n=k(k∈N*)时,不等式成立, 1 1 1 即 1+ + +?+ <2 k. k 2 3

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那么当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1+ + +?+ + k 2 3 k+1 2 k k+1+1 1 <2 k+ = k+1 k+1 k+?k+1?+1 2?k+1? < = =2 k+1. k+1 k+1 这就是说,当 n=k+1 时,不等式成立.由①②可知, 原不等式对任意 n∈N*都成立.

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1.用数学归纳法证明与正整数 n有关的不等式,一般有三种 具体形式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是比

较两个式子的大小,先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证
明;三是已知不等式成立,寻求变量的取值范围. 2.在证明由n=k到n=k+1成立时,一定要用归纳假设n=k 时得到的中间过渡式,由过渡式到目标式的证明可以用放缩 法、基本不等式、分析法等.

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[变式探究]

[2013· 南京模拟]已知等比数列 {an}的首项

Sn+1 3n+1 a1=2,公比 q=3,Sn 是它的前 n 项和.求证: S ≤ n . n

证明:由已知,得 Sn=3n-1, Sn+1 3n+1 3n+1-1 3n+1 n ≤ 等价于 ≤ ,即 3 ≥2n+1.(*) n Sn n n 3 -1 用数学归纳法证明上面不等式成立. ①当 n=1 时,左边=3,右边=3,所以(*)式成立.

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②假设当 n=k(k≥1)时,(*)式成立,即 3k≥2k+1, 那么当 n=k+1 时,3k 1=3×3k≥3(2k+1)=6k+3≥2k


+3=2(k+1)+1, 所以当 n=k+1 时,(*)式成立. 综合①②得 3n≥2n+1 成立. Sn+1 3n+1 所以 S ≤ n . n

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例3

[2013· 保定质检 ] 是否存在正整数 m 使得 f(n) = (2n +

7)·3n +9对任意自然数 n都能被m整除,若存在,求出最大的m

的值,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
[审题视点] 考虑到该问题与正整数n有关,故可用数学归 纳法证明,观察所给函数式,凑出推理要证明所需的项.

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[解]

由 f(n) = (2n + 7)·3n + 9 得, f(1) = 36 , f(2) = 3×36 ,

f(3)=10×36,f(4)=34×36,由此猜想:m=36. 下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,显然成立; (2)假设n=k(k∈N*且k≥1)时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k +7)·3k+9能被36整除;

当n=k+1时,[2(k+1)+7]·3k+1+9=(2k+7)·3k+1+27-
27+2·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1), 由于3k-1-1是2的倍数,故18(3k-1-1)能被36整除,这就

是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.
由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36 整除,m的最大值为36.
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证明整除问题的关键“凑项”,而采用增项、减项、拆项和
因式分解等手段,凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使 问题获证.

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[变式探究 ]
其中n∈N*.

用数学归纳法证明 42n +1+3n +2 能被13整除,

证明:(1)当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除. (2)假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除, 则当n=k+1时, 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2) ∵42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除

∴当n=k+1时也成立.由(1)(2)知,当n∈N*时,42n+1+3n
+2能被13整除.
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例4

[2013·陕西模拟 ]数列 {an} 的前 n项和为 Sn ,且满足 Sn

=2n-an(n∈N*). (1)计算a1,a2,a3,a4; (2)猜想通项公式an,并用数学归纳法证明.

[审题视点]

(1)利用前n项和的关系式,对于n令值,就可

以得到数列的前几项. (2)结合前几项的规律,归纳猜想其通项公式,然后运用数 学归纳法分为两步骤求解得到结论.
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3 7 15 [解] (1)a1=1,a2=2,a3=4,a4= 8 . 2n-1 (2)猜想 an= n-1 ,证明: 2 当 n=1 时,a1=1 猜想显然成立;① 假设当 n=k(n≥1 且 n∈N*)时,猜想成立, 2k-1 即 ak= k-1 ,Sk=a1+a2+?+ak=2k-ak, 2 那么,

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n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-(2k-ak), 2k-1 2+ k-1 2 2+ak 2k+1-1 ∴ak+1= 2 = = 2k , 2 ∴当 n=k+1 时猜想成立;② 综合①②,当 n∈N*时猜想成立.

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(1) 利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存 在性问题,其基本模式是“归纳—猜想—证明”,即先由合情

推理发现结论,然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确
性. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证 明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.

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[变式探究] 其前n项和为Sn,

已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n+1·n2,

(1)求S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的值;
(2)用数学归纳法证明(1)中所猜想的结论.

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解:(1)S1=(-1)2· 12=1,S2=1-4=-3, S3=1-4+9=6,S4=1-4+9-16=-10,猜想:Sn= (-1)
n+1n?n+1?

2

,n∈N*.
n+1n?n+1?

(2)由(1)知即证明 Sn=(-1) ①当 n=1 时,S1=(-1)

2

,n∈N*

1+11×?1+1?

2

=1,猜想成立;

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②假设 n=k(k≥1)时猜想成立,即 Sk=(-1)
k+1k?k+1?

2

,则 n=k+1 时
k+1k?k+1?

Sk+1=Sk+ak+1=(-1) 1)
k+2

2

+(-1)k

+ 1 +1

(k+1)2=(-

k k+1+1 ?k+1?[?k+1?+1] (k+1)(-2+k+1)=(-1) · 2 所以,n=k+1 时,猜想也成立; 由①、②可得 Sn=(-1)
n+1n?n+1?

2

,n∈N*.

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课课精彩无限

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【选题·热考秀】 [2012·全国高考 ]函数f(x)=x2-2x-3.定义数列{xn}如下: x1=2,xn+1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点 的横坐标.

(1)证明:2≤xn<xn+1<3;
(2)求数列{xn}的通项公式.

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[规范解答]

(1)用数学归纳法证明:2≤xn<xn+1<3.

f?2?-5 ①当 n=1 时,x1=2,直线 PQ1 的方程为 y-5= 2-4 (x-4), 11 令 y=0,解得 x2= 4 ,所以 2≤x1<x2<3.

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②假设当 n=k 时,结论成立,即 2≤xk<xk+1<3. f?xk+1?-5 直线 PQk+1 的方程为 y-5= (x-4), xk+1-4 3+4xk+1 令 y=0,解得 xk+2= . 2+xk+1 3+4xk+1 5 5 由归纳假设知 xk+2= =4- <4- =3, 2+xk+1 2+xk+1 2+3 ?3-xk+1??1+xk+1? xk+2-xk+1= >0,即 xk+1<xk+2. 2+xk+1 所以 2≤xk+1<xk+2<3,即当 n=k+1 时,结论成立. 由①、②知对任意的正整数 n,2≤xn<xn+1<3.
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3+4xn 1 5 (2)由(1)及题意得 xn+1= .设 bn=xn-3,则 =b 2+ x n bn+1 n 1 1 1 +1, +4=5(b +4), bn+1 n
?1 1? 3 ? ? 数列 b +4 是首项为-4,公比为 ? n ?

1

5 的等比数列,

1 1 3 n-1 4 因此b +4=-4· 5 ,即 bn=- n-1 , 3· 5 +1 n 所以数列{xn}的通项公式为 xn=3- . - 3· 5n 1 + 1 4

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【备考·角度说】
No.1 角度关键词:易错分析 (1)基础不扎实,应用数学归纳法解题的意识不强.不知用 数学归纳法证明. (2) 数学归纳法解题步骤掌握不好,易忽视对初始值的验

证.
(3) 证明 n = k 到 n = k + 1 这一步时,忽略了假设条件去证 明,造成不是纯正的数学归纳法. (4)不等式证明过程中,不能正确合理地运用分析法、综合 法来证明.
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No.2 角度关键词:备考建议
(1) 当遇到与正整数 n有关的不等式证明时,应用其他办法 不容易证,则可考虑应用数学归纳法. (2)数学归纳法证明中,两个步骤缺一不可.第一步是递推 的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已

知条件”的作用,在n=k+1时一定要运用它,否则就不是数学
归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”. (3) 用数学归纳法证明不等式的关键是由 n = k 成立,推证 n =k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综 合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.
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经典演练提能

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1 1 1 1.若 f(n)=1+2+3+?+ (n∈N+), 则 f(1)为( 6n-1 A.1 1 1 1 1 C.1+2+3+4+5 1 B.5 D.非以上答案

)

答案:C

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1 1 2.[2013· 金版原创]用数学归纳法证明不等式 1+2+4 127 +?+ n-1> 64 (n∈N*)成立,其初始值至少应取( 2 A. 7 C. 9 B. 8 D. 10 1 )

答案:B
1 1 1 127 解析:n=7 时,1+2+4+?+26= 64 ,故初始值至少 应取 8,选 B 项.
第六章 第7讲
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3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整

除”的第二步是(
k∈N*)

)

A . 假 设 n = 2k + 1 时正确 ,再推 n = 2k + 3 时正确 ( 其中 B . 假 设 n = 2k - 1 时正 确 ,再推 n = 2k + 1 时 正确 ( 其 中 k∈N*)

C.假设n=k时正确,再推n=k+1时正确(其中k∈N*)
D . 假 设 n≤k(k≥1) 时 正 确 , 再 推 n = k + 2 是 正 确 ( 其 中 k∈N*) 答案:B
第六章 第7讲
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1 1 4. [2013· 三明质检]利用数学归纳法证明不等式 1+2+3 1 +?+ n <f(n)(n≥2,n∈N*)的过程,由 n=k 到 n=k+1 2 -1 时,左边增加了( A.1 项 ) B.k 项

C.2k-1 项 D.2k 项 答案:D 1 解 析 : ∵ f(k + 1) - f(k) = 2k +

1 1 + k +?+ k 2 +1 2 +2

1 k . ∴增加了 2 项. 2k+2k-1
第六章 第7讲
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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

1 1 1 5. [2013· 长春模拟]用数学归纳法证明: 1-2+3-4+? 1 1 1 1 1 + -2n= + +?+2n(n∈N*),则从 k 到 k+1 2n-1 n+1 n+2 时,左边所要添加的项是( 1 A. 2k+1 1 1 C. - 2k+1 2k+2 )

1 1 B. - 2k+2 2k+4 1 D.- 2k+2

第六章 第7讲

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答案:C
1 1 1 1 解析:添加的项是 - = - . 2?k+1?-1 2?k+1? 2k+1 2k+2

第六章 第7讲

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限时规范特训

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