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商丘市一高2013-2014学年度第一学期期末考试高三数学(理科)试卷


商丘市一高 2013-2014 学年度第一学期期末考试

高三数学(理科)试卷
命题人:张志华 审题人:郭永 考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求. 1.已知复数 z1 ?

3i 和复数 z 2 ?

1 3 ? i ,则复数 z1 ? z 2 的值为 2 6
C.
2





A. ?

1 3 ? i 2 2
2

B.

1 3 ? i 2 2

3 1 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

2. 已知集合 M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,N ? {x | x ? ax ? b ? 0} , 若 M ?N ? R ,M ? N ? (3, 4] , 则 ( ) A. a ? 3 , b ? ?4 B. a ? ?3 , b ? 4 C. a ? 3 , b ? 4 D. a ? ?3 , b ? ?4 3. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如下:

根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论 中,不正确 的是( ) ... A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C.甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 4. 如图,该程序运行后输出的结果为 ( A.14 B.16 C.18 ) D.64 )
4 3

开始 A=10,S=0 A≤2? 否 S=S+2 结束 A=A-1 是 输出 S

1 ? sin ? ? cos ? 1 5.已知 ? ,则 tan ? 的值为 ( 1 ? sin ? ? cos? 2

3 3 4 B. C. ? 3 4 3 6.下面四个命题中正确的是

A.

D.





A. “直线 a 平行于平面 ? 内无数条直线”是“直线 a // 平面 ? ”的必要非充分条件 B. “ l ? 平面 ? ”是“直线 l 垂直于平面 ? 内无数条直线”的充要条件 C. “ a 垂直于 b 在平面 ? 内的射影”是“直线 a ? b ”的充分非必要条件

D. “直线 a、b 不相交”是“直线 a、b 为异面直线”的充分非必要条件 7. 已知函数 f ? x ? ? x sin x , 若 x1 , x2 ? ? ? A. x1 ? x2 B. x1 ? x2

? ? ?? 且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 则下列不等式中正确的是 , ? 2 2? ?
C. x1 ? x2 ? 0 D. x1 ? x2
2 2

8.如图是函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 在一个周期内的图象, M 、 N 分别是最
y

???? ? ???? 大、最小值点,且 OM ? ON ,则 A ? ? 的值为( 2? ? A. B. 6 6 7? 7? C. D. 6 12



M
5? 6

O

?
12

x

9.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,点 M 在棱 AB 上,且 AM ?

1 ,点 P 是平面 ABCD 上的动 3


N

点,且点 P 到直线 A1 D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1,则点 P 的轨迹应当是(

A.直线 B. 圆 C. 抛物线 D. 双曲线 10.半径为 4 的球面上有 A、B、C、D 四点,AB,AC,AD 两两互相垂直,则△ABC、△ACD、 △ADB 面积之和 S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ADB 的最大值为 A.8 11.定义 max ?a, b? ? ? 则 z 的取值范围为 A. [?6,0] B. [?7,8] B.16 C.32 D.64 ( )

? ?a(a ? b), ? x ? 2, 设实数 x 、 y 满足约束条件 ? 且 z ? max?4 x ? y,3x ? y?, y ? 2 , ? ?b(a ? b), ?
( ) D. [?7,10] C. [?6,8]

12.已知定义在 (0,1) 上的函数 f ( x) ,对任意的 m, n ? (1, ??) 且 m ? n 时,都有 f (

m?n 1 =f ( ). 记 an ? f ( 2 ) , n ? N * ,则在数列 {an } 中, a1 ? a2 ? ... ? a8 的值为 ( 1 ? mn n ? 5n ? 5 1 1 1 1 A. f ( ) B. f ( ) C. f ( ) D. f ( ) 2 3 4 5
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 某厂共有 64 名员工,准备选择 4 人参加 2014 年春节晚会,现将 这 64 名员工编号, 准备运用系统抽样的方法抽取 , 已知 8 号, 24 号, 56 号在样本中,那么样本中还有一个员工的编号是 . 14.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 . 15. 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 对 应 的 边 分 别 为 a、b、c , 若

1 1 )? f ( ) m n


???? ???? ???? ???? A B? A C? B A ? BC ? 1 ,那么 c=
16. 根据下面一组等式

.

S1 ? 1 S2 ? 2 ? 3 ? 5 S3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 15 S 4 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 34 S5 ? 11 ? 12 ? 13 ? 14 ? 15 ? 65 S6 ? 16 ? 17 ? 18 ? 19 ? 20 ? 21 ? 111 S7 ? 22 ? 23 ? 24 ? 25 ? 26 ? 27 ? 28 ? 175 ????????
可得 s1 ? s3 ? s5

? ... ? s2 n?1 ?

.

三、解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤).

17. (本小题满分 10 分)
如图,在四边形 ABCD 中, AB ? 3 , AD ? BC ? CD ? 2 , A ? 60 . (Ⅰ)求 sin ?ABD 的值; (Ⅱ)求 ?BCD 的面积. D
?

C

A 18.(本小题满分 12 分)

B

* an ? a , bn ? (a ? 1)n ? b , 在数列 {an } 和 {bn } 中, 其中 a ? 2 且 a ? N , n ? 1, 2,3,? , b?R .
n

(Ⅰ)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和; (Ⅱ)证明:当 a ? 2, b ?

2 时,数列 {bn } 中的任意三项都不能构成等比数列.

19. (本小题满分12分) 如图,正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面相交于 CD , 线段 CD 为圆 O 的弦, AE 垂直于圆 O 所在平面,垂足 E 是 圆 O 上异于 C 、 D 的点, AE ? 3 ,圆 O 的直径为 9. (Ⅰ)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE ; (Ⅱ)求二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值.

20. (本题满分 12 分) 已知点 P(a, ?1)( a ? R ) ,过点 P 作抛物线 C : y ? x 的切线, 切点分别为 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 )
2

(其中 x1 ? x2 ) . (Ⅰ)求 x1 与 x2 的值(用 a 表示) ; (Ⅱ)若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 AB 相切,求圆 E 面积的最小值.

21. (本小题满分12分) 已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q ,

QF ? FP?FQ . 且 QP?
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)已知圆 M 过定点 D ? 0, 2 ? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B 两点, 设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

l1 l2 ? 的最大值. l2 l1

22.(本题满分 12 分)

x3 ? x 2 ? 2ax(a ? R). 已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ? 3
(Ⅰ)若 x ? 2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (II)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (III)当 a ? ?

(1 ? x)3 b 1 ? 有实根,求实数 b 的最大值. 时,方程 f (1 ? x) ? 3 x 2

高三理科答案
ADDB DADC CCDC 13.40 14.

5 3 3

15. 2

16. n 4

17. 解: (Ⅰ)已知 A ? 60? ,由余弦定理得

BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos A ? 7 ,解得 BD ? 7 , ??3 分
由正弦定理,

2 3 21 AD BD AD ? ? ,所以 sin ?ABD ? .?5 分 ? sin A ? 7 sin ?ABD sin A BD 7 2
2 2 2

(Ⅱ)在 ?BCD 中, BD ? BC ? CD ? 2BC ? CD cos C , 所以 7 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 ? 2cos C , cos C ? 因为 C ? (0, ?) ,所以 sin C ?

1 , 8

????6 分

3 7 , 8

????8 分

所以, ?BCD 的面积 S ?

1 3 7 BC ? CD ? sin C ? . 2 4

?10 分 ?????1 分 ?????3 分 ???????4 分

18.解: (Ⅰ)因为 a1 ? b1 ,所以 a ? a ? 1 ? b , b ? ?1 ,
2

由 a2 ? b2 ,得 a ? 2a ? 1 ? 0 ,所以 1 ? 2 ? a ? 1 ? 2 , 因为 a ? 2 且 a ? N ,所以 a ? 2 ,
*

所以 bn ? 3n ? 1 , {bn } 是等差数列, 所以数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ?

n 3 1 (b1 ? bn ) ? n 2 ? n . 2 2 2

???????6 分

* (Ⅱ)由已知 bn ? 3n ? 2 ,假设 3m ? 2 , 3n ? 2 , 3t ? 2 成等比数列,其中 m, n, t ? N ,

且彼此不等,则 (3n ? 2) ? (3m ? 2)(3t ? 2) ,?????7 分
2

所以 9n ? 6 2n ? 2 ? 9mt ? 3 2m ? 3 2t ? 2 ,所以 3n ? 3mt ? (m ? t ? 2n) 2 ,
2
2

若 m ? t ? 2n ? 0 ,则 3n ? 3mt ? 0 ,可得 m ? t ,与 m ? t 矛盾; ???8 分
2

若 m ? t ? 2n ? 0 ,则 m ? t ? 2n 为非零整数, (m ? t ? 2n) 2 为无理数, 所以 3n ? 3mt 为无理数,与 3n ? 3mt 是整数矛盾.
2 2

?????11 分 ??????12 分

19. (Ⅰ)证明:∵ AE 垂直于圆 O 所在平面, CD 在圆 O 所在平面上,∴ AE ? CD . 在正方形 ABCD 中, CD ? AD ,∵ AD ? AE ? A ,∴ CD ? 平面 ADE .∵ CD ? 平面 ABCD ,∴平面

所以数列 {bn } 中的任意三项都不能构成等比数列.

ABCD ? 平面 ADE . (Ⅱ)解法 1:∵ CD ? 平面 ADE , DE ? 平面 ADE ,∴ CD ? DE . ∴ CE 为圆 O 的直径,即

CE ? 9 .设正方形 ABCD 的边长为 a ,在 Rt △ CDE 中, DE 2 ? CE 2 ? CD2 ? 81 ? a 2 ,
在 Rt △ ADE 中, DE 2 ? AD2 ? AE 2 ? a 2 ? 9 ,由

81 ? a 2 ? a 2 ? 9 ,解得, a ? 3 5 .
∴ DE ?

G F

AD ? AE ? 6 . 过点 E 作 EF ? AD 于点 F ,
2 2

作 FG ? AB 交 BC 于点 G ,连结 GE ,由于 AB ? 平面 ADE , EF ? 平面 ADE , ∴ EF ? AB .∵ AD ? AB ? A ,∴ EF ? 平面 ABCD . ∵ BC ? 平面 ABCD ,∴ BC ? EF .∵ BC ? FG , EF ? FG ? F ,∴ BC ? 平面 EFG .∵ EG ? 平面 EFG ,∴ BC ? EG . ∴ ?FGE 是二面角 D ? BC ? E 的平面角. 在 Rt △ ADE 中, AD ? 3 5 , AE ? 3 , DE ? 6 , ∵ AD ? EF ? AE ? DE ,∴ EF ?

AE ? DE 3 ? 6 6 5 ? ? . AD 5 3 5

在 Rt △ EFG 中, FG ? AB ? 3 5 , ∴ tan ?EGF ? 故二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值为

EF 2 ? . FG 5

2 . 5 解法 2:∵ CD ? 平面 ADE , DE ? 平面 ADE ,∴ CD ? DE . ∴ CE 为圆 O 的直径,即 CE ? 9 .设正方形 ABCD 的边长为 a ,
在 Rt △ CDE 中, DE ? CE ? CD ? 81 ? a ,
2 2 2 2

z

在 Rt △ ADE 中, DE ? AD ? AE ? a ? 9 ,
2 2 2 2 2 2 由 81 ? a ? a ? 9 ,解得, a ? 3 5 .∴ DE ?

x

y

AD 2 ? AE 2 ? 6 .

以 D 为坐标原点,分别以 ED 、CD 所在的直线为 x 轴、 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 D ? 0, 0, 0 ? , E ? ?6, 0, 0 ? , C 0, ?3 5, 0 ,

?

?

A ? ?6, 0,3? , B ?6, ?3 5,3 . 设平面 ABCD 的法向量

?

?

??? ? ?n1 ?DA ? 0, ? ? ?6 x1 ? 3 z1 ? 0, ? 为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? , 则 ? ???? 即? ? ?3 5 y1 ? 0. ? ?n1 ?DC ? 0. ?
取 x1 ? 1 ,则 n1 ? ?1, 0, 2 ? 是平面 ABCD 的一个法向量.

??? ? ? ?n2 ?EB ? 0, ? ??3 5 y2 ? 3z2 ? 0, 设平面 BCE 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 ? ??? 即? ? ? ?n2 ?EC ? 0. ? ?6 x2 ? 3 5 y2 ? 0.

取 y2 ? 2 ,则 n2 ? ∵ cos n1 , n2 ? ∴ tan n1 , n2 ?

?

5, 2, 2 5 是平面 ABCD 的一个法向量.

?

?1,0, 2?? 5, 2, 2 5 2 n1 ?n2 5 ,∴ sin n1 , n2 ? . ? ? n1 ? n2 29 1 ? 0 ? 4 ? 5 ? 4 ? 20 29

?

?

2 2 .故二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值为 . 5 5 2 20. 解: (Ⅰ)由 y ? x 可得, y? ? 2 x . ???1 分
x12 ? 1 2 ∵直线 PA 与曲线 C 相切,且过点 P(a, ?1) ,∴ 2 x1 ? ,即 x1 ? 2ax1 ? 1 ? 0 , x1 ? a
∴ x1 ? ?3 分

2a ? 4a 2 ? 4 ? a ? a 2 ? 1 ,或 x1 ? a ? a 2 ? 1 , 2

???4 分

2 2 同理可得: x2 ? a ? a ? 1 ,或 x2 ? a ? a ? 1
2 2 ∵ x1 ? x2 ,∴ x1 ? a ? a ? 1 , x2 ? a ? a ? 1 .

?????5 分 ????????6 分 ??????7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, x1 ? x2 ? 2a , x1 ? x2 ? ?1 , 则直线 AB 的斜率 k ?
2 y1 ? y2 x12 ? x2 ? ? x1 ? x2 , x1 ? x2 x1 ? x2

????????8 分
2

∴直线 AB 的方程为: y ? y1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,又 y1 ? x1 , ∴ y ? x1 ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 ? x1 x2 ,即 2ax ? y ? 1 ? 0 .
2 2

∵点 P 到直线 AB 的距离即为圆 E 的半径,即 r ?

2a 2 ? 2 4a 2 ? 1



???10 分

1 3 1 9 1 3 (a 2 ? ? ) 2 (a 2 ? ) 2 ? (a 2 ? ) ? 4(a ? 1) (a ? 1) 4 2 4 16 4 4 ? ∴ r2 ? ? ? 2 1 1 1 4a ? 1 a2 ? a2 ? a2 ? 4 4 4
2 2 2 2

1 9 3 9 3 1 3 1 9 2 ,即 a ? ? , ? (a 2 ? ) ? ? ?2 ? ? 3 , 当 且 仅 当 a2 ? ? 4 16(a 2 ? 1 ) 2 16 2 4 4 4 16(a 2 ? 1 ) 4 4
2 2 时取等号.故圆 E 面积的最小值 S ? ? r ? 3? . ?????12 分 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? QF ? FP?FQ , 21.解: (Ⅰ)设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? ,∵ QP? a??
∴ ? 0, y ? 1?? ? ? x, 2 ? ? ? x, y ? 1??? x, ?2 ? . 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ? 1? ,即 x 2 ? 4 y ,
2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x ? 4 y .
2

2 (Ⅱ)设圆 M 的圆心坐标为 M ? a, b ? ,则 a ? 4b .


2 2 2 2

圆 M 的半径为 MD ? a 2 ? ? b ? 2? . 圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? ? b ? 2 ? .
2
2 令 y ? 0 ,则 ? x ? a ? ? b ? a ? ? b ? 2 ? ,整理得, x ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 .
2 2 2 2



由①、②解得, x ? a ? 2 . 不妨设 A ? a ? 2, 0 ? , B ? a ? 2, 0 ? , ∴ l1 ?

? a ? 2?

2

? 4 , l2 ?

? a ? 2?

2

?4 .

l1 l2 l12 ? l2 2 2a 2 ? 16 ? ∴ ? ? l2 l1 l1l2 a 4 ? 64
当 a ? 0 时,由③得,

?2

?a

16a 2 , ? 2 1? 4 a 4 ? 64 a ? 64

2

? 8?

2



l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤2 1 ? ?2 2. 64 l2 l1 2 ? 8 2 a ? 2 a

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立.当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 ? ?2. l2 l1

故当 a ? ?2 2 时,

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 . l2 l1
= ,解得 a=0.………… 3 分 .… 1 分

22.解: (1)

因为 x=2 为 f(x)的极值点,所以 f'(2)=0.即

又当 a=0 时,f'(x)=x(x﹣2) ,从而 x=2 为 f(x)的极值点成立.………… 4 分 (2)因为 f(x)在区间[3,+∞)上为增函数,所以 在区间[3,+∞)上恒成立.…5 分 ①当 a=0 时,f'(x)=x(x﹣2)≥0 在 ?3, ?? ? 上恒成立,所以 f(x)在 ?3, ?? ? 上为增函数,故 a=0 符合题意.…6 分 ②当 a≠0 时,由函数 f(x)的定义域可知,必须有 2ax+1>0 对 x≥3 恒成立,故只能 a>0, 2 2 所以 2ax +(1﹣4a)x﹣(4a +2)≥0 对 x∈[3,+∞0 上恒成立. 令 g(x)=2ax +(1﹣4a)x﹣(4a +2) ,其对称轴为
2 2



因为 a>0 所以 =﹣4a +6a+1≥0,解得 因为 a>0,所以
2

,从而 g(x)≥0 在[3,+∞)上恒成立,只要 g(3)≥0 即可,因为 g(3) .……… 7 分 . .………… 8 分

综上所述,a 的取值范围为

(3)若

时,方程 .

x>0 可化为,

问题转化为 b=xlnx﹣x(1﹣x) +x(1﹣x)=xlnx+x ﹣x 在(0,+∞)上有解, 2 3 即求函数 g(x)=xlnx+x ﹣x 的值域.………… 9 分 以下给出两种求函数 g(x)值域的方法: 2 2 方法 1:因为 g(x)=x(lnx+x﹣x ) ,令 h(x)=lnx+x﹣x (x>0) , 则


2

2

3

,………… 10 分

所以当 0<x<1,h (x)>0,从而 h(x)在(0,1)上为增函数, ′ 当 x>1,h (x)<0,从而 h(x')在(1,+∞上为减函数,………… 11 分 因此 h(x)≤h(1)=0.而,故 b=x?h(x)≤0, 因此当 x=1 时,b 取得最大值 0.………… 12 分 2 2 方法 2:因为 g(x)=x(lnx+x﹣x ) ,所以 g'(x)=lnx+1+2x﹣3x . 设 p(x)=lnx+1+2x﹣3x ,则 当 当 时,p'(x)>0,所以 p(x)在 时,p'(x)<0,所以 p(x)在 ,又
2



上单调递增; 上单调递减;

因为 p(1)=0,故必有



因此必存在实数

使得 g'(x0)=0,

∴当 0<x<x0 时,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,x0)上单调递减; 当 x0<x<1,g′(x)>0,所以,g(x)在(1,+∞)上单调递减; 又因为 当 x→0 时,lnx+ <0,则 g(x)<0,又 g(1)=0. 因此当 x=1 时,b 取得最大值 0. ,


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