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江苏省常州市武进区2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析


江苏省常州市武进区 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷 (文 科)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应的位置 上) 1. (5 分)已知集合 A={1,2},B={﹣1,1,4},则 A∩B=. 2. (5 分)命题“?x∈R,x +x+1≥0”的否定是. 3. (5 分)已知复数 Z=3+ai,若|Z|=5,则实数 a=. 4. (5 分)已知关于变量 x 的函数 f(x)=ln(x ﹣x+m)﹣ 则实数 m 的取值范围是. 5. (5 分)将函数 y=2sin(x﹣ 象对应的函数是. 6. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣x﹣2≤0},B={x||x﹣a|≤1},若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围是. 7. (5 分)已知 a>0,b>0 且 a+b=1,则(a+2) +(b+2) 的最小值是. 8. (5 分)若函数 f(x)= |x+a|+b(x∈R)有两个零点分别为 x1=0,x2=4,则 a+b 的值为.
2 2 2 2 2

,其定义域为 A,若 2∈A,

)图象上所有的点沿 x 轴向左平移

个单位,则平移后的图

9. (5 分)已知函数 f(x)=λsinx+cosx 图象的一条对称轴方程为 x=

,则此函数的最大值为.

10. (5 分)在△ ABC 中,锐角 B 所对的边长 b=3,△ ABC 的面积为 6,外接圆半径 R= ,则 △ ABC 的周长为. 11. (5 分)若函数 f(x)=﹣2x+sinx,则满足不等式 f(2m ﹣m+π﹣1)≥﹣2π 的 m 的取值范 围为. 12. (5 分)在△ ABC 中, 则实数 m 的取值范围是. 的终点 M 在△ ABC 的内部(不含边界) ,
2

=

+m?

,向量

13. (5 分)已知函数 y=f(x)为 R 上可导函数,且对?x∈R 都有 f(x)=﹣x f′(1)﹣8x 成 立,则函数 y=f(x) ,x∈[﹣1,1]的值域为. 14. (5 分)若方程 x ﹣x +ax﹣a=0 恰有唯一解,则实数 a 的取值范围为.
3 2

3

二、解答题(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 sinA,sinB,sinC 成等差 数列, (1)若 c=2a,证明△ ABC 为钝角三角形; (2)若 acosB﹣bcosA=c,且△ ABC 的外接圆半径为 5,求△ ABC 的面积. 16. (14 分)已知命题 p:函数 f(x)=x +2mx+2+m 在区间[2,+∞)上是增函数, x x+1 2 命题 q:函数 g(x)=4 ﹣2 +m ﹣m+3 的最小值大于 4, 2 2 命题 r:函数 h(x)=(m ﹣m﹣2)x +2mx+1 的函数值恒大于 0, (1)若“非 r”为假命题,求实数 m 的取值范围; (2)若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 m 的取值范围.
2 2

17. (14 分)已知 =(sinωx,﹣1) , =(1,﹣

cosωx) (其中 x∈R,ω>0) ,f(x)= ? ,

且函数 f(x)图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为 5, (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若 f( )= (其中 θ∈(﹣ , ) ,则求 f( +1)的取值.

18. (16 分)在△ AOB 中,OA=OB=2, (1)如图①:若 AO⊥OB,点 P 为△ AOB 所在平面上的一个动点,且满足 PO=3,求 的取值范围; (2)如图②:若| + |≤ | |,求 与 所成夹角的取值范围. ?

19. (16 分)如图:在边长为 6 米的等边△ ABC 钢板内,作一个△ DEF,使得△ DEF 的三边 到△ ABC 所对应的三边之间的距离均 x(0<x< )米,过点 D 分别向 AB,AC 边作垂线,

垂足依次为 G,H;过点 E 分别向 AB,BC 边作垂线,垂足依次为 M,N;过点 F 分别向 BC,

AC 边作垂线,垂足依次为 R,S.接着在△ ABC 的三个内角处,分别沿 DG,DH、EM,EN、 FR,FS 进行切割,割去的三个全等的小四边形分别为 AGDH、BMEN、CRFS.然后把矩形 GDEM、NEFR、SFDH 分别沿 DE、EF、FD 向上垂直翻折,并对翻折后的钢板进行无缝焊接 (注: 切割和无缝焊接过程中的损耗和费用忽略不计) , 从而构成一个无盖的正三棱柱蓄水池. 2 (1)若此无盖的正三棱柱蓄水池的侧面和底面造价均为 a(a>0)万元/米 ,求此无盖的正 三棱柱蓄水池总造价的最小值; (2)若此无盖的正三棱柱蓄水池的体积为 V 米 ,求体积 V 的最大值.
3

20. (16 分)已知函数 f(x)=lnx,g(x)=(x﹣1)e ,其中 e 是自然对数的底数. (1)若函数 f(x)在点 P(m,f(m) )处的切线在 y 轴上的截距为 2,求实数 m 的取值; (2)求函数 h(x)=g(x)+g′(x)的极值; (3)求函数 r(x)=g(x)+e|f(x)﹣a|(a 为常数)的单调区间.

x

江苏省常州市武进区 2014-2015 学年高二下学期期末数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应的位置 上) 1. (5 分)已知集合 A={1,2},B={﹣1,1,4},则 A∩B={1}. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据 A 与 B,求出两集合的交集即可. 解答: 解:∵A={1,2},B={﹣1,1,4}, ∴A∩B={1}, 故答案为:{1} 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)命题“?x∈R,x +x+1≥0”的否定是?x∈R,x +x+1<0. 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑.
2 2

分析: 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题, 所以命题“?x∈R,x +x+1≥0”的否定是:?x∈R,x +x+1<0; 2 故答案为:?x∈R,x +x+1<0. 点评: 本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系,基本知识的考查. 3. (5 分)已知复数 Z=3+ai,若|Z|=5,则实数 a=±4. 考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 根据复数的模的运算得到关于 a 的等式解之. 解答: 解:因为 Z=3+ai,若|Z|=5,所以 3 +a =5 ,解得 a=±4; 故答案为:±4. 点评: 本题考查了复数的模的计算;复数 a+bi,a,b 是实数,它的模为 .
2 2 2 2 2

4. (5 分)已知关于变量 x 的函数 f(x)=ln(x ﹣x+m)﹣ 则实数 m 的取值范围是﹣2<m≤2.

2

,其定义域为 A,若 2∈A,

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用. 分析: 讨论 m 的取值,求出 f(x)的定义域 A,由 2∈A,求出 m 的取值范围. 解答: 解:关于变量 x 的函数 f(x)=ln(x ﹣x+m)﹣
2

,其定义域为 A,



对于①,令△ =1﹣4m=0,解得 m= ; ∴当 m> 时,△ <0,①的解集为 R, ∴A={x|x≥m}; 又 2∈A,∴ <m≤2; 当 m≤ 时,△ ≥0,①的解集为{x|x< ∴A={x|x> ∴ <2, }, ,或 x> };

解得 m>﹣2, ∴﹣2<m≤ ;

综上,实数 m 的取值范围是﹣2<m≤2. 故答案为:﹣2<m≤2. 点评: 本题考查了求函数的定义域的应用问题,也考查了分类讨论思想的应用问题,是综 合性题目.

5. (5 分)将函数 y=2sin(x﹣ 象对应的函数是 y=2sinx.

)图象上所有的点沿 x 轴向左平移

个单位,则平移后的图

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 祝玲钰三角函数的图象的平移方法,求解即可. 解答: 解:将函数 y=2sin(x﹣ 可得函数 y=2sin(x+ ﹣ )图象上所有的点沿 x 轴向左平移 个单位,

)=2sinx 的图象,

平移后的图象对应的函数是:y=2sinx, 故答案为:y=2sinx. 点评: 本题考查三角函数的图象的平移,基本知识的考查. 6. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣x﹣2≤0},B={x||x﹣a|≤1},若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围是[0,1]. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义,结合不等式之间的关系即可得到结论. 2 解答: 解:∵集合 A={x|x ﹣x﹣2≤0}=[﹣1,2],B={x||x﹣a|≤1}=[a﹣1,a+1], 若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件, 则 B?A, 则 ,
2

解得 0≤a≤1, 故答案为:[0,1]. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据不等式的关系是解决本题的关键.
2 2

7. (5 分)已知 a>0,b>0 且 a+b=1,则(a+2) +(b+2) 的最小值是



考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: 利用几何意义,转化求解即可. 2 2 解答: 解:a>0,b>0 且 a+b=1,则(a+2) +(b+2) 的最小值就是(﹣2,﹣2)到直线 a+b=1 的距离的平方,

依题意可得: 故答案为: .

=



点评: 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,转化思想的应用.考查计算能力. 8. (5 分)若函数 f(x)= |x+a|+b(x∈R)有两个零点分别为 x1=0,x2=4,则 a+b 的值为﹣3.

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据方程根与函数零点之间的关系进行求解. 解答: 解:若函数 f(x)= |x+a|+b(x∈R)有两个零点分别为 x1=0,x2=4, 即 0,4 是方程 |x+a|+b=0 的两个根, 即 |a|+b=0, |4+a|+b=0, 即 2b=﹣|a|,且 2b=﹣|4+a|, 即|a|=|4+a|, 解得 a=﹣2,b=﹣1, 则 a+b=﹣3, 故答案为:﹣3, 点评: 本题主要考查函数和方程之间的关系,将函数零点转化为方程关系是解决本题的关 键.

9. (5 分)已知函数 f(x)=λsinx+cosx 图象的一条对称轴方程为 x= .

,则此函数的最大值为

考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由于函数 f(x)=λsinx+cosx= 可得 解出即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=λsinx+cosx= ∴ 解得 λ= + . = , sin(x+φ)图象的一条对称轴方程为 x= , + = , sin(x+φ)图象的一条对称轴方程为 x= ,

∴此函数的最大值为 故答案为: .

=



点评: 本题考查了三角函数的图象与性质、两角和差公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 10. (5 分)在△ ABC 中,锐角 B 所对的边长 b=3,△ ABC 的面积为 6,外接圆半径 R= ,则 △ ABC 的周长为 12. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理,由 b 和外接圆半径 R 的值即可求出 sinB 的值,根据三角形的面积公 式得到 a 与 c 的关系式,根据大边对大角判断 B 是锐角,利用同角三角函数间的基本关系求 出 cosB 的值,利用余弦定理表示出 cosB,也得到关于 a 与 c 的关系式,利用完全平方公式化 简后即可求出 a+c 的值,进而求出三角形 ABC 的周长. 解答: 解:由正弦定理得, ∴sinB= = . ,

又∵△ABC 的面积为 6, ∴S= acsinB=6. ∴ac=20>b . ∴a,c 有一个比 b 大, 即∠B 是锐角, ∴cosB= 由余弦定理得, cosB=
2 2 2

= ,

= ,

∴a +c =41, 2 ∴(a+c) =81, ∴a+c=9, ∴△ABC 的周长为 a+b+c=9+3=12. 故答案为:12. 点评: 本题考查正弦定理和余弦定理的应用,三角形面积公式和大边对大角的应用,属于 难题. 11. (5 分)若函数 f(x)=﹣2x+sinx,则满足不等式 f(2m ﹣m+π﹣1)≥﹣2π 的 m 的取值范 围为[ ].
2

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: f(﹣x)=2x﹣sinx=﹣f(x) ,所以 f(x)为奇函数,f′(x)=﹣2+cosx≤0,所以 f(x) 在定义域 R 为减函数,根据函数的单调性将函数转化为不等式求解. 解答: 解:f(﹣x)=2x﹣sinx=﹣f(x) ,所以 f(x)为奇函数,f′(x)=﹣2+cosx≤0,所以 f(x)在定义域 R 为减函数. 又f (π) =﹣2π+sinπ=﹣2π, 所以 f (2m ﹣m+π﹣1) ≥﹣2π 可转化为 f (2m ﹣m+π﹣1) ≥f (π) . 2 根据函数的单调性可知,2m ﹣m+π﹣1≤π 2 即 2m ﹣m+﹣1≤0 解得 故答案为:[ ]
2 2

点评: 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的性质应用,属于中档题型. 12. (5 分)在△ ABC 中, 的终点 M 在△ ABC 的内部(不含边界) ,

=

+m?

,向量

则实数 m 的取值范围是 0<m< .

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 如图所示,设 ,过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于点 E.由 = +m? ,可

知点 M 在线段 DE 上(不含点 D,E) ,借助于点 D,E 即可得出. 解答: 解:如图所示,设 ∵ = +m? ,过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于点 E.

,可知点 M 在线段 DE 上(不含点 D,E) ,可得 m=0,而 M 在△ ABC 的内部(不含边界) ,因此 m>0. ,此时可得 m= ,而 M 在△ ABC 的内部(不含边界) ,因

当点 M 取点 D 时, 当点 M 取点 E 时, 此m ∴ 故答案为: . . .

点评: 本题考查了向量的平行四边形法则、共面向量的基本定理,考查了推理能力和计算 能力,属于中档题. 13. (5 分)已知函数 y=f(x)为 R 上可导函数,且对?x∈R 都有 f(x)=﹣x f′(1)﹣8x 成 立,则函数 y=f(x) ,x∈[﹣1,1]的值域为[﹣6,6]. 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 设 t=2x 则 x= t,代入 f(2x)=x f′(1)﹣10x 化简,把 t 换成 x 求出 f(x)的解析 式,由求导公式求出 f′(x) ,令 x=1 代入列出方程求出 f′(1) ,代入 f′(x)并判断符号,从而 得到函数 f(x)在[﹣1,1]上的单调性,求出函数的最值,即可求出函数的值域. 解答: 解:设 t=2x,则 x= t,代入 f(2x)=x f′(1)﹣10x 得, y= t f′(1)﹣5t,则 f(x)= t f′(1)﹣5x, 所以 f′(x)= x f′(1)﹣5, 令 x=1 代入上式可得,f′(1)=f′(1)﹣5,解得 f′(1)=﹣8, 3 2 所以 f(x)=﹣x ﹣5x,则 f′(x)=﹣3x ﹣5<0, 则函数 f(x)在[﹣1,1]上是减函数, 当 x=﹣1 时,函数 f(x)取到最大值 f(﹣1)=6, 当 x=1 时,函数 f(x)取到最小值 f(1)=﹣6, 所以所求的函数值域是[﹣6,6]. 点评: 本题考查求导公式,导数与函数的单调性的关系,以及换元法求函数的解析式,属 于中档题.
3 2 2 3 3 3 3 3

14. (5 分)若方程 x ﹣x +ax﹣a=0 恰有唯一解,则实数 a 的取值范围为(0,+∞) .

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由题意设 f(x)= x ﹣x +ax﹣a 并求出 f′(x) ,求出△ 的式子并根据△ 的符号进行 分类讨论,由导数的符号判断出函数的单调性,求出函数的极值,列出 f(x)存在唯一的零 点的等价条件,求出 a 的范围即可.
3 2

解答: 解:由题意设 f(x)= x ﹣x +ax﹣a,∴f′(x)=x ﹣2x+a, △ =4﹣4a=4(1﹣a) , ①当 a≥1 时,△ ≤0,f′(x)≥0, ∴f(x)在 R 上是增函数,且 f(0)=﹣a<0, ∴f(x)存在唯一的零点,则方程 x ﹣x +ax﹣a=0 恰有唯一解; ②当 a<1 时,△ >0,由 x ﹣2x+a=0 得, 当 x> 当 或 x< <x< 时,f′(x)>0; 时,f′(x)<0, ) 、 ( )上单调递减, 时,f(x)取极大值 f( ) ﹣a = 时,f(x)取极小值 f( ) ﹣a = , 或 , , ,+∞)上单调递增,
2 3 2

3

2

2





∴函数 f(x)在(﹣∞, 在( ∴当 x= = = 当 x= = = ∵( f x) 存在唯一的零点, ∴ ,

解得 0<a<1, 综上所述,实数 a 的取值范围是(0,+∞) , 点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,利用函数的导数研究函数的零点问题, 考查分类讨论思想,转化思想,以及化简计算能力,属于中档题. 二、解答题(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 sinA,sinB,sinC 成等差 数列, (1)若 c=2a,证明△ ABC 为钝角三角形; (2)若 acosB﹣bcosA=c,且△ ABC 的外接圆半径为 5,求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 等差数列与等比数列;解三角形.

分析: (1)由等差数列的性质及正弦定理可得 2b=a+c,又 c=2a,可解得△ ABC 中的最大 边为 c,最大角为∠C,由余弦定理可得 cos∠C<0,即可求得△ ABC 为钝角三角形. (2) 由正弦定理化简可得 2cosAsinB=0, 结合 A, B 的范围可求 由勾股定理及已知可求 b,c,从而可求三角形面积. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (1)∵sinA,sinB,sinC 成等差数列, ∴2sinB=sinA+sinC,即 2b=a+c…(2 分) 又 c=2a,则由 解得: ,…(4 分) , 由题意可得斜边 a=10,

即△ ABC 中的最大边为 c,最大角为∠C

又∵cos∠C=

,…(6 分)

且∠C∈(0,π) ,∴∠C 为钝角,即△ ABC 为钝角三角形 …(7 分) (2)∵acosB﹣bcosA=c,∴sinAcosB﹣cosAsinB=sinC, 即 sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A+B) ,…(9 分) 也即 sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB, 则 2cosAsinB=0, 又在△ ABC 中,sinB≠0 所以 cosA=0,又 A∈(0,π) ,则 ,…(11 分)

在 RT△ ABC 中,∵△ABC 的外接圆半径为 5,∴斜边 a=10 又 ,解之得 ,



…(14 分)

点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换的应用,属于基本知识的 考查. 16. (14 分)已知命题 p:函数 f(x)=x +2mx+2+m 在区间[2,+∞)上是增函数, x x+1 2 命题 q:函数 g(x)=4 ﹣2 +m ﹣m+3 的最小值大于 4, 2 2 命题 r:函数 h(x)=(m ﹣m﹣2)x +2mx+1 的函数值恒大于 0, (1)若“非 r”为假命题,求实数 m 的取值范围; (2)若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 m 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用;复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 2 2 分析: (1) 由“非 r”为假命题, 得出命题 r 为真命题, 即函数 h (x) = (m ﹣m﹣2) x +2mx+1 的函数值恒大于 0,讨论得到 m 的范围. (2)求出命题 p 和命题 q 的真假,命题“p 或 q”为真;命题“p 且 q”为假,求出 m 的取值范围.
2 2

解答: 解: (1)∵“非 r”为假命题,∴命题 r 为真命题, 即函数 h(x)=(m ﹣m﹣2)x +2mx+1 的函数值恒大于 0,…(1 分) 2 ①当 m ﹣m﹣2=0 时,即 m=﹣1 或 m=2m=﹣1 时,h(x)=﹣2x+1 不满足函数值恒大于 0, m=2 时,h(x)=4x+1 也不满足函数值恒大于 0, 即 m=﹣1 或 m=2 不合题意,…(2 分) 2 ②当 m ﹣m﹣2≠0 时, 则 ,…(4 分)
2 2

解之得:m<﹣2 综上所述可知所求实数 m 的取值范围为(﹣∞,﹣2)…(6 分) (2)f(x)=x +2mx+2+m =(x+m) +2 若命题 p 是真命题,则﹣m≤2,即 m≥﹣2 若命题 p 是假命题,则﹣m>2,即 m<﹣2…(8 分) x x+1 2 x 2 2 又 g(x)=4 ﹣2 +m ﹣m+3=(2 ﹣1) +(m ﹣m+2) , 即当 x=0 时,
2 2 2 2



若命题 q 是真命题,则 m ﹣m+2>4,即 m>2 或 m<﹣1, 2 若命题 q 是假命题,则 m ﹣m+2≤4,即﹣1≤m≤2,…(10 分) ∵命题“p 或 q”为真;命题“p 且 q”为假, ∴命题 p 和命题 q 必为一真一假 即 或 …(12 分)







解之得:﹣1≤m≤2 或 m<﹣2 则所求实数 m 的取值范围是[﹣1,2]∪(﹣∞,﹣2)…(14 分) 点评: 本题主要考查命题真假在大题中的应用,要注意真假命题的判断,属于中档题型.

17. (14 分)已知 =(sinωx,﹣1) , =(1,﹣

cosωx) (其中 x∈R,ω>0) ,f(x)= ? ,

且函数 f(x)图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为 5, (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若 f( )= (其中 θ∈(﹣ , ) ,则求 f( +1)的取值.

考点: 两角和与差的正弦函数;平面向量数量积的运算;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用 ,结合两角和与差的三角函数化简函数的解析式,求解函数

的周期,得到函数的解析式,利用子线盒的单调性求解单调增区间.

(2)利用条件求出 解答: (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ , ∴ ,

,得到

,通过二倍角公式求解即可.

(其中 x∈R,ω>0) ,

,…(2 分)

又∵函数 f(x)图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为 5, ∴ ,解之得:T=6,…(4 分) ,则 ,即 , , …(8 分) , , …(10 分) ,∴ ,则 ,…(12 分) ,…(6 分)

又 则 即

即所求函数 f(x)的单调递增区间为 (2)由(1)可知 则 即 ∵ 即 也即

= …(14 分) 点评: 本题考查三角函数的化简求值,斜率的数量积的应用,两角和与差的三角函数,考 查计算能力. 18. (16 分)在△ AOB 中,OA=OB=2, (1)如图①:若 AO⊥OB,点 P 为△ AOB 所在平面上的一个动点,且满足 PO=3,求 的取值范围; ?

(2)如图②:若|

+

|≤

|

|,求



所成夹角的取值范围.

考点: 三角形中的几何计算;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1) , 而 ,很容易算出 ? 的取值范围; ,再根据条件知 ,即

(2)过点 O 作直线 AB 的垂线,垂足为 C,则垂足 C 必为线段 AB 的中点,再根据条件 | ∠ 的取值范围为 + |≤ | |,得 ,而在 RT△ OCB 中,cos∠ ,又∠AOB=2∠BOC,则∠ . , ,即 与 所成夹角

解答: (本小题满分 16 分) 解: (1)∵ ∴ , …(2 分)

又∵在△ AOB 中,OA=OB=2,PO=3,AO⊥OB ∴ 即 当点 P 在△ AOB 所在平面上运动时,则 即 也即所求 ? , 的取值范围为[﹣6,6]…(8 分) ,且 , ,…(4 分) , ,…(6 分)

(2)过点 O 作直线 AB 的垂线,垂足为 C, 则垂足 C 必为线段 AB 的中点, 且 ,…(10 分)

又在 RT△ OCB 中, 又∵ 即 ,…(12 分) ,∴∠ , ,∴

, ,

在 RT△ OCB 中,∵cos∠ 又∠AOB=2∠BOC,则∠ 即 与 所成夹角的取值范围为

,…(14 分)

…(16 分)

点评: 本题考查了平面向量在三角形中的应用,对学生综合应用知识的能力有较高要求, 属于中档题. 19. (16 分)如图:在边长为 6 米的等边△ ABC 钢板内,作一个△ DEF,使得△ DEF 的三边 到△ ABC 所对应的三边之间的距离均 x(0<x< )米,过点 D 分别向 AB,AC 边作垂线,

垂足依次为 G,H;过点 E 分别向 AB,BC 边作垂线,垂足依次为 M,N;过点 F 分别向 BC, AC 边作垂线,垂足依次为 R,S.接着在△ ABC 的三个内角处,分别沿 DG,DH、EM,EN、 FR,FS 进行切割,割去的三个全等的小四边形分别为 AGDH、BMEN、CRFS.然后把矩形 GDEM、NEFR、SFDH 分别沿 DE、EF、FD 向上垂直翻折,并对翻折后的钢板进行无缝焊接 (注: 切割和无缝焊接过程中的损耗和费用忽略不计) , 从而构成一个无盖的正三棱柱蓄水池. (1)若此无盖的正三棱柱蓄水池的侧面和底面造价均为 a(a>0)万元/米 ,求此无盖的正 三棱柱蓄水池总造价的最小值; 3 (2)若此无盖的正三棱柱蓄水池的体积为 V 米 ,求体积 V 的最大值.
2

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 函数的性质及应用.

分析: (1)连接 BE,求出 EN,设此无盖长方体蓄水池的总造价为 y(万元) ,写出 y 的表 达式,然后求解最小值. (2)写出无盖长方体蓄水池的体积,利用公式的导数,判断函数的单 调性求解最值即可. 解答: (本小题满分 16 分) 解: (1)连接 BE,由题意可知,在 RT△ BEN 中, ∵EN=x(米) ,∠EBN=30° ∴ ,即 ,…(2 分)

即正△ DEF 的边长为 ,…(3 分) 若设此无盖长方体蓄水池的总造价为 y(万元) , 则 =[ 当 ]?a 时, (万元) ( )…(5 分)

即此无盖长方体蓄水池总造价的最小值为 (万元)…(8 分) (2)由题意可知,此无盖长方体蓄水池的体积为: ( 则 V'= 令 V'=0,并解之得 当 当 则当 时,V'>0,即函数 V(x)在 时,V'<0,即函数 V(x)在 时, ,…(15 分)
3

) ,…(10 分) ,

,…(12 分) 为单调递增函数, 为单调递减函数,

即此无盖长方体蓄水池的体积 V 的最大值为 4(m ) . …(16 分)

点评: 本题考查函数与方程的应用,函数的最值,函数的导数与函数的单调性的应用,考 查分析问题解决问题的能力. 20. (16 分)已知函数 f(x)=lnx,g(x)=(x﹣1)e ,其中 e 是自然对数的底数. (1)若函数 f(x)在点 P(m,f(m) )处的切线在 y 轴上的截距为 2,求实数 m 的取值; (2)求函数 h(x)=g(x)+g′(x)的极值;
x

(3)求函数 r(x)=g(x)+e|f(x)﹣a|(a 为常数)的单调区间. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点 切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)∵f(x)=lnx,∴切点 P 的坐标为(m,lnm) ,求出函数 f(x)在点 P(m,f (m) )处的切线方程即可. (2)对 h(x)求导 h'(x)=2e +(2x﹣1)e =(2x+1)e ,利用导数函数的性质得到极值. x (3)函数 r(x)=g(x)+e|f(x)﹣a|=(x﹣)e +e|lnx﹣a|(a 为常数) ,求导,利用导数的 性质求得单调区间. 解答: 解: (1)∵f(x)=lnx,∴切点 P 的坐标为(m,lnm) , 又∵ ,∴过切点 P 的切线的斜率为 , …(2 分)
x x x

则函数 f(x)在点 P(m,f(m) )处的切线方程为 即 ,
3

又切线在 y 轴上的截距为 2,则 lnm﹣1=2,即 m=e ,…(4 分) x x x (2)∵h(x)=g(x)+g'(x)=(x﹣1)e +[(x﹣1)e ]′=(2x﹣1)e , x x x ∴h'(x)=2e +(2x﹣1)e =(2x+1)e …(6 分) 令 h'(x)=(2x+1)e >0,解得 则函数 h(x)=g(x)+g'(x)在 在 当 上为单调递减函数, 时,函数 h(x)的极小值为
x x

,令 h'(x)=(2x+1)e <0,解得 上为单调递增函数,

x



,无极大值存在 …(8 分)

(3)∵函数 r(x)=g(x)+e|f(x)﹣a|=(x﹣)e +e|lnx﹣a|(a 为常数) , ∴函数
a

,…(9 分)

①当 x≥e 时,
a

恒成立,

则函数 r(x)在[e ,+∞)上为单调递增函数,…(10 分) ②当 0<x<e 时, 又∵ ∴函数 在(0,e )上为单调递增函数,
a 0 a a

, 恒成立,

又∵r'(1)=0,∴函数 r'(x)在(0,1)上恒小于 0,在(1,e )上恒大于 0…(12 分)1 、 a a 当 a≤0 时,e ≤1,则此时 r'(x)在(0,e )上恒小于 0

即函数 r(x)在(0,e )上为单调递减函数,…(13 分)2 、当 a>0 时,e >1,则此时 r' a (x)在(0,1)上恒小于 0,在(1,e )上恒大于 0, 即函数 r(x)在(0,1)上为单调递减函数, a 在(1,e )上为单调递增函数,…(15 分) a a 综上可知:当 a≤0 时,函数 r(x)递减区间为(0,e ) ,递增区间为[e ,+∞) , 当 a>0 时,函数 r(x)递减区间为(0,1) ,递增区间为[1,+∞) ,…(16 分) 点评: 本题主要考查函数导数在求函数切线方程、极值、单调区间中的应用,属于中档题 型.

a

0

a


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