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2015届高三年级第四次四校联考理科数学试题


试题类型:A

2015 届 高 三 年 级 第 四 次 四 校 联 考

数学试题(理)
命题:忻州一中 临汾一中 康杰中学 长治二中
(满分 150 分,考试时间 120 分)

第Ⅰ卷(选择题 60 分)
一、选择题(5× 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的,请 将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1. 设全集 U ? R, 集合 A ? {x |

1 ? 2 ? x ? 1, x ? Z } , B ? {x | ( x ? 3)(x ? 1) ? 0, x ? Z} ,则 16
D. {1, 2}

(CU B) A ? A . {0, B . {1, 2, C . {0, 1, 2, 3, 4} 3} 1, 2} 2. 复数 z 为纯虚数,若 (3 ? i ) z ? a ? i ( i 为虚数单位),则实数 a 的值为 1 A . ?3 B.3 C. ? 3 2 2 y x 3. 已知双曲线 ? 2 ? 1 过点 (?1,2) ,则该双曲线的渐近线方程为 2 a 5 2 A. y ? ? B. y ? ? x x 2 2 C. y ? ? 2 x D. y ? ? x 2
4. 执行如图所示的算法,则输出的结果是 A.1 B.2 C.3

D.

1 3

? ? 5. 把函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? ) (| ? |? ) 的图象向左平移 个 6 2 ? 单位,得到函数 g ( x) 的图象,若 g ( x) 的图象关于 (? ,0) 对 3 ? 称,则 f (? ) ? 2 1 1 3 A. ? B. C. ? 2 2 2
中的概率是
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D.4

D.

3 2

6. 从 4 名男生和 6 名女生中各选 2 人参加跳绳比赛,则男生甲和女生乙至少有一个被选

A.

1 6

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

7. 在三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC ? 面 ABC , SC ? 2 ,则三 棱锥 S ? ABC 外接球的表面积为 A. 6? 8. 已知 ? ? (? B.

?
2

,0), ? ? (0,

?

A. 2 ? ? ? ?

?
2

C. 2 ? ? ? ? ?

?
2

1 ? tan ? ,则有 ? sin 2 ? 4 2 2 1 ? tan2 ? ? B. 2 ? ? ? ? 2 ? D. 2 ? ? ? ? ? 2
),

16? 3

C.

40? 9

D.

8? 3

9. 某四面体的三视图如图所示,该四面体的六条棱长中 长度最长的是 A. C.

5 7

B.

6

D. 2 2

10. 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1、F2 ,点 P(a, b)满足 F1F2 ? PF2 , a 2 b2

设直线 PF2 与椭圆交于 M、N 两点,若 MN =16,则椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 144 108 x2 y2 C. ? ?1 36 27
A.

x2 y2 ? ?1 100 75 x2 y2 D. ? ?1 16 12
B.

11. 已知定义在 [0,??) 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f ( x ? 2) ,当 x ? [0, 2) 时,

f ( x) ? ?2 x 2 ? 4 x ,设 f ( x) 在 [2n ? 2, 2n) 上的最大值为 an (n ? N * ) ,且 {an } 的前 n
项和为 S n ,则 S n = A. 2 ?

1 2
n ?1

B. 4 ?

1 2
n?2

C. 2 ?

1 2n

D. 4 ?

1 2 n ?1

2 12. 设函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ?

x 2 ,若存在 x1 ?[e, e ] , x2 ? [1, 2] ,使得 x e

,则正实数 k 的取值范围是 e3 (k 2 ? 2) g ( x2 ) ? kf ( x1 ) 成立(其中 e 为自然对数的底数) A. k ? 2 B. 0?k ?2
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C. k ?

e3 ? e6 ? 8 2

D. 0 ? k ?

e3 ? e6 ? 8 2

第Ⅱ卷(非选择题
6

90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上)

1? ? 13. ?1 ? x ?? x 2 ? ? 的展开式中 x 4 的系数是 x? ?

.

?2 x ? y ? 4 ? 0 ? x? y?3? 0 14. 已知实数 x, y 满足 ? , 则目标函数 z ? 3 y ? 2 x 的最大值为 ? x ? 0 ? ? ?y?0
15. 已知 AB ? BC ? 0, 且 AB ? 3, BC ? 4, M 为线段 BC 上一点,且

.

AM ? ?

AB | AB |

??

AC | AC |

(? , ? ? R ) , 则 ?? 的最大值为

.

16. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , a(4 ? 2 7 cos B)

? b(2 7 cos A ? 5) , 则 cos C 的最小值为

.

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解 答写在答卷纸的相应位置上) 17.(本题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差 d ?

?

?
2

?? 2

2 2 cos xdx , a4 ? a2 ? 56 ;等比数列 {bn } 满足:

b1 ? 1 , b2b4b6 ? 512, n ? N *
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

?2 ? , n为奇数 (2)设 {an } 的前 n 项和为 S n ,令 c n ? ? S n ,求 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? c2n . ? ? bn , n为偶数
2015 届第四次四校联考数学(理)试题 A 卷 第 3 页 共 13 页

18.(本题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧棱 AA1 ? 平面 ABC ,?ABC 为等腰直角三角形,

?BAC ? 90 ,且 AB ? AA1 , E, F 分别是 CC1 , BC 的中点
(1)求证: B1F ? 平面 AEF ; (2)求锐二面角 B1 ? AE ? F 的余弦值.

C1 A1 E C A

B1

F

B

19.(本题满分 12 分) 某工厂生产某种零件,每天生产成本为 1000 元,此零件每天的批发价和产量均具有 随机性,且互不影响.其具体情况如下表: 日产量 概 率 400 0.4 500 0.6 批发价 概 率 8 0.5 10 0.5

(1)设随机变量 X 表示生产这种零件的日利润,求 X 的分布列及期望; (2) 若该厂连续 3 天按此情况生产和销售, 设随机变量 Y 表示这 3 天中利润不少于 3000 的天数,求 Y 的数学期望和方差,并求至少有 2 天利润不少于 3000 的概率. (注:以上计算所得概率值用小数表示)

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20. (本题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) , 过焦点且斜率为 1 的直线 m 交抛物线 C 于 A, B 两点,以线段 AB 为直径的圆在 y 轴上截得的弦长为 2 7 . (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 P(0,2) 的直线 l 交抛物线 C 于 F、G 两点,交 x 轴于点 D,设

PF ? ?1 FD, PG ? ?2 GD, 试问 ?1 ? ?2 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,
说明理由. 21. (本题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?
(1)当 a ?

1? a ?1 x

1 时,求函数 y ? f ( x) 的极值; 4 1 ( ,1) 时,若对任意实数 b ? [2, 3] ,当 x ? (0, b] 时,函数 f ( x) 的最小值为 (2)当 a ? 3

f (b) ,求实数 a 的取值范围.

请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 已知 PA 与圆 O 相切于点 A, 经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B. C,?APC 的平分线分别交 AB.AC 于点 D.E. (1)证明: ?ADE ? ?AED .
E D B O C P A

PC (2)若 AC=AP,求 的值. PA

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23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? (?为参数) ,直线 l 的 ? y ? sin ?

3 ? x ? t ? 5 参数方程为 ? (t为参数) .以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 4 ?y ? 4 ? t 5 ?
标系. (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的极坐标方程; (2)若 P( x, y ) 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离 d 的最大值和最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 m ? | x ? 2 |? 1 的解集是 [0, 4] (1)求 m 的值; (2)若 a, b 均为正实数,且 a ? b ? m ,求 a 2 ? b 2 的最小值.

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2015 届 高 三 年 级 第 四 次 四 校 联 考

数学试题答案(理)A 卷
一、选择题 1-5: DDCAC 二、填空题: 13.-20 14.9 15. 6-10: CBADB 11-12: BA

15 4

16. ?

1 2

17.解: (1)公差 d ?

?

?
2

?? 2

cos xdx ? 2 ,

2 2 a4 ? a2 ? (a4 ? a2 )(a4 ? a2 ) ? 2a3 ? 2d ? 56 ∴ a1 ? 2d ? 7 ∴ a1 ? 3 ∴ an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1

a3 ? 7

………2 分 ………4 分

设等比数列 {bn } 的公比为 q
3 ∵ b2b4b6 ? b4 ? 512

∴ b4 ? 8

即 b1 q 3 ? 8

∴q ? 2 ………6 分

?2 (2)由 a1 ? 3, an ? 2n ? 1 得: S n ? n(n ? 2)

即 bn ? b1q

n?1

n?1

1 ? 2 ?1 , n为奇数 , n为奇数 ? ? ? ∴ c n ? ? n(n ? 2) 即 cn ? ? n n ? 2 ………8 分 n ?1 n ?1 ? ? 2 , n 为偶数 ? ?2 , n为偶数 ∴ c1 ? c2 ? c3 ? ?c2n = (c1 ? c3 ? ?c2n?1 ) ? (c2 ? c4 ? ?c2n ) ………10 分 1 1 1 1 1 ? )] ? (2 ? 2 3 ? ? 2 2 n ?1 ) = [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 n 1 2(1 ? 4 ) 2n 2 ? ? ? (4 n ? 1) =1 ? ………12 分 2n ? 1 1? 4 2n ? 1 3 18.(1)连结 AF ,∵ F 是等腰直角三角形 ?ABC 斜边 BC 的中点,∴ AF ? BC . 又? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, ∴面 ABC ? 面 BB1C1C ,
∴ AF ? 面 BB1C1C , AF ? B1F . ……… 2 分

6 3 3 , EF ? , B1E ? . 2 2 2 2 2 2 ∴ B1F ? EF ? B1E ,∴ B1F ? EF . 又 AF EF ? F ,∴ B1F ? 平面 AEF .
设 AB ? AA 1 ? 1 ,则 B1 F ?
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………4 分 ………6 分

(2)以 F 为坐标原点, FA, FB 分别为 x, y 轴建立直角坐标系如图,设 AB ? AA 1 ?1, 则 F (0, 0, 0), A(

2 2 2 1 , 0, 0), B1 (0, ,1), E (0, ? , ), 2 2 2 2 2 2 1 2 2 AE ? (? ,? , ) , AB1 ? (? , ,1) . 2 2 2 2 2

z C1 A1 E C B F y B1

………8 分 由(Ⅰ)知, B1F ? 平面 AEF , ∴可取平面 AEF 的法向量 m ? FB1 ? (0, 设平面 B1 AE 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 由

2 ,1) . 2

?n ? ? ? ?n

? ?? AE ? 0, ? ?? AB1 ? 0 ? ? ? ?

2 2 1 A x? y ? z ? 0, ? ? 2 x ? 2 y ? z ? 0, x 2 2 2 ?? 2 2 ? ? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, x? y ?z?0 2 2
………10 分

∴可取 n ? (3, ?1, 2 2) . 设锐二面角 B1 ? AE ? F 的大小为 ? ,则

2 2 2 ) ? 1 ? 32 ? (?1) 2 ? (2 2) 2 2 6 ∴所求锐二面角 B1 ? AE ? F 的余弦值为 . ………12 分 6 02 ? (?
随机变量 X 可以取:4000,3000.,2200 P(X=4000)=0.6×0.5=0.3 P(X=2200)=0.4×0.5=0.2 ………4 分 4000 0.3 3000 0.5 2200 0.2 ………6 分 ………8 分 ………10 分 ………12 分
第 8 页 共 13 页

mn cos ? ?| cos ? m, n ?|? ? | m || n |

0?3 ?

2 ? (?1) ? 1? 2 2 2

?

6 . 6

19.解: (1)∵500×10-1000=4000,400×10-1000=500×8-1000=3000,400×8-1000=2200 ………1 分

P(X=3000)=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5 ∴X 的分布列为: X P

EX=4000×0.3+3000×0.5+2200×0.2=3140 (2) 由(1)知:该厂生产 1 天利润不少于 3000 的概率为:P=0.8 ∴ Y ~ B(3,0.8) ∴EY=3=2.4 DY=3×0.8×0.2=0.48 至少有 2 天利润不少于 3000 的概率为:
3 2 P ? C3 ? 0.83 ? C3 ? 0.82 ? 0.2 ? 0.896

2015 届第四次四校联考数学(理)试题 A 卷

20.解: (1)由已知:直线 m 的方程为 y ? x ? 1 ,代入 y 2 ? 2 px 得: x 2 ? 2(1 ? p) x ? 1 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则 x1 ? x2 ? 2(1? p),

| AB |? x1 ? x2 ? p ? 3 p ? 2 且线段 AB 的中点为 (1 ? p, p) , ………3 分 3p ? 2 2 2 2 ( 7) ? ( 1 ? p) ?( ) , 由已知 2 14 解得 p ? 2 或 p ? ? (舍去) 5 所以抛物线 C 的方程为: y 2 ? 4 x ………6 分 2 (2)设直线 l :y=kx+2(k ? 0),则 D(? ,0) ,与 y 2 ? 4 x. 联立得 k 2 2 k x ? 4(k ?1) x ? 4 ? 0 1 由 ? ? 0 得 k ? ,设 F ( x3 , y3 ),G( x4 , y4 ) 2 4 - 4k 2 4 , x3 x 4 ? 2 则 x3 ? x 4 ? ………8 分 2 k k 2 PF ? ?1 FD ? ( x3 , y 3 ? 2) ? ?1 (? ? x3 ,? y 3 ); k 2 PG ? ? 2 GD ? ( x 4 , y 4 ? 2) ? ? 2 (? ? x 4 ,? y 4 ); k x3 kx3 kx4 ?? , ?2 ? ? 所以 ?1 ? ………10 分 2 kx3 ? 2 kx4 ? 2 ? ? x3 k kx3 2k 2 x3 x4 ? 2k ( x3 ? x4 ) kx4 则 ?1 ? ?2 ? ? ? ?? 2 kx3 ? 2 kx4 ? 2 k x3 x4 ? 2k ( x3 ? x4) ?4
将 x3 ? x 4 ?

即 ?1 ? ?2 为定值 ? 1

4 - 4k 2 4 , x3 x4 ? 2 代入上式得 ?1 ? ?2 ? ?1. 2 k k
………12 分

21.解: (1)由已知 f ( x) ? ln x ?

1 3 x? ?1, 4 4x 1 1 3 ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 则 f ' ( x) ? ? ? 2 x 4 4x 4x 2 所以当 x ? (0,1) 和 x ? (3,??) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减; 当 x ? (0, 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递增; 1,) 3 所以当 x ? 1 时, f ( x) 有极小值为 , 2 1 当 x ? 3 时, f ( x) 有极大值为 ln 3 ? . 2
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………1 分

………2 分

………4 分

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1 1? a (2)由已知 f ' ( x) ? ? a ? 2 ? ? x x

a( x ? 1)(x ? x2

1? a ) a .

( , ) 时, ①当 a?

1 1 3 2

1? a 1 ? 2a 1? a ?1 ? ? 0 , 于 是 x ? (0,1) 和 x ? ( , ??) 时 , a a a

f '( x) ? 0, f ( x ) 单 调 递 减 ; x ? (1,

1? a ) 时 , f '( x) ? 0, f ( x ) 单 调 递 增 ; 又 因 为 a

1? a ? 2 ,要对任意实数 b ? [2,3] ,当 x ? (0, b] 时,函数 f ( x) 的最小值为 f (b) ,只需 a
要 f (2) ? f (1) , 即 ln 2 ? 2a ? 所以 2 ln 2 ? 1 ? a ?

1? a 1 ? 1 ? 2 ? 2a , 解得 a ? 2 ln 2 ? 1 , 因为 ? 2 ln 2 ? 1 2 2
………7 分

1 ; 2

1 1? a ②当 a ? 时, ? 1 , f '( x) ? 2 a

1 ? ( x ? 1) 2 2 ,在 x ? (0, ??) 上,恒有 f '( x) ? 0 ,且 x2
………8 分

仅有 f '(1) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减.显然成立.

③当

1 1? a 1? a 1 ? 2a 1? a 于是 x ? (0, ? a ? 1 时, ? 0, ?1 ? ?0 , ) 和 x ? (1, ??) 时, 2 a a a a

1? a ,1) 时, f '( x) ? 0, f ( x) 单调递增; f '( x) ? 0, f ( x) 单调递减; x ? ( a
要 对 任 意 实 数 b ? [2,3] , 当 x ? (0, b] 时 , 函 数 f ( x) 的 最 小 值 为 f (b) , 只 需 要

1? a 1? a 1? a 即 ln f (2) ? f ( ), ? (1 ? a) ? a ? 1 ? ?2a ? ln ? 4a ? 2 ? 0; a a a

……10 分

令 g (a ) ? ln

1 (2a ? 1) 2 1? a 1 ?4? ? 0 ,所以 g (a ) ? 4a ? 2, a ? ( ,1) , g '(a) ? a (a ? 1) a (a ? 1) a 2
1 2 1 2

在 ( ,1) 上单调递减, g (a ) ? g ( ) ? 0 ,所以此时 a ? ( ,1)

1 2

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综上所述: a ? [2 ln 2 ? 1,1) 22.解:(1)∵ PA 是切线,AB 是弦, ∴ ∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APD=∠CPE, ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE, ∴ ∠ADE=∠AED. (2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴

………12 分

………2 分

………5 分

PC CA ? , PA AB

………7 分

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP, 由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180° , ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ∠BAC=90° , ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180° -90° =90° , ∴ ∠C=∠APC=∠BAP= 在 Rt△ABC 中,

1 × 90° =30° . 3
………10 分 ………2 分

CA PC CA ? = 3, ∴ = 3. AB PA AB x2 23.解:(1)曲线 C 的直角坐标方程为 ? y2 ? 1 4
直线 l 的直角坐标方程为 4x-3y+12=0 则其极坐标方程为 4? cos? ? 3? sin ? ? 12 ? 0 (2) 设P(2 cos? , sin ? ), 直线l为4 x ? 3 y ? 12 ? 0 则d ?

………5 分

8 cos? ? 3 sin ? ? 12

5 5 12 ? 73 12 ? 73 所以最大值为 ,最小值为 。 5 5 24.解: (1)不等式 m ? | x ? 2 |? 1 可化为 | x ? 2 |? m ? 1
所以 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1

?

73 cos(? ? ? ) ? 12

………10 分 ………1 分 …………2 分

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又因为原不等式解集为 [0, 4] ,所以 ?

?3 ? m ? 0 ,解得 m ? 3 . ?m ? 1 ? 4

…………5 分

(2)由(1)可知 a ? b ? 3 (方法一:利用基本不等式)

因为 (a ? b) ? a ? 2ab ? b ? 2(a ? b ) ,所以 a 2 ? b 2 ?
2 2 2 2 2

9 2

………8 分

所以当且仅当 a ? b ?

3 9 时, a 2 ? b 2 的最小值是 . 2 2

………10 分

(方法二:利用柯西不等式)

因为 (a ? b ) ? (1 ? 1 ) ? ( a ? 1 ? b ? 1) ? ( a ? b) ? 9 ,所以 a 2 ? b 2 ?
2 2 2 2 2 2

9 ………10 分 2

(方法三:消元法求二次函数的最值) 因为 a ? b ? 3 ,

所以 b ? 3 ? a, a 2 ? b 2 ? a 2 ? (3 ? a ) 2 ? 2a 2 ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) 2 ?

3 2

9 9 ? ,………8 分 2 2

所以当且仅当 a ? b ?

3 9 时, a 2 ? b 2 的最小值是 . 2 2

………10 分

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