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8.1椭圆及其标准方程10


新课引入 课堂练习 作业

讲解新课 新课小结

2015/10/22

新课导入
? 2003年10月15日是全中国人感到 骄傲和自豪的日子: ? 问题1:这一天在中国发生了什 么震惊世人的事件?中国人终于 实现了什么梦想?幻灯片 28

问题2:请问神州五号飞船绕着什 么飞行?它的运行轨道是什么?

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想一想
? 在我们实际生活中,同学们 见过椭圆吗?能举出一些实 例吗?

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椭圆的定义:
M

F1

F2

取一条一定长的细绳2a,把它的两端固定在画图板上的 F1和F2两点,当绳长大于F1和F2的距离2c时(2a>2c),用 铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动
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椭圆的定义:
? 请问:到点F1F2的距离为2a的点就一个吗?
M

F1

F2
no

? ye s
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椭圆的定义:
? 请问:到点F1F2的距离为2a的点就一个吗? M

F1

F2

? 对不起,你错 了 ? ye s
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no

椭圆的定义:
? 请问:到点F1F2的距离为2a的点就一个吗?
M

F1

F2

? 对,请继续! ? ye s
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no

椭圆的定义:
? 看来有无数多个
M M

F1

F2
哇:得到一个椭圆

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试一试吧:
? 请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端 下部,并将两脚固定,用笔蹦住细绳在纸上移动, 画出椭圆。改变圆规两脚的相对位置,再画出几个 这样的椭圆。

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反思:
? (1)在画出一个椭圆的过程中,圆规两脚末端 的位置是固定的还是运动的? ? (2)在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有? 说明了什么? ? (3)在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离 大小有怎样的关系?

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想一想
?
同学们已经亲手画出了椭圆,下面请大家 思考讨论一下 应该如何定义椭圆?它应该包含 几个要素? (1)在平面内
(2)到两定点F1,F2的距离等于定 长2a (3)定长2a﹥ |F1F2|

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? 椭圆的定 义: 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于 ? 常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两 个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦 距. M

F1

F2

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(二)椭圆标准方程的推导
y
? (1)建系设点 ? 以两定点F1、F2的直线 为x轴,线段F1F2的垂直 平分线为y轴,建立直角 坐标系(如图2-14) . ? 设|F1F2|=2c(c>0), o M(x,y)为椭圆上任意 一点,则有F1(-1,0), F2(c,0)
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M
o

F1

o

F2

x

(二)椭圆标准方程的推导
? (2)点的集合 ? 由定义不难得出椭圆集合为: ? P={M||MF1|+|MF2|=2a}. (3)代数方程

M

F1

o F2

(a 2 ? b 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 ( a 2 ? b 2 )
(a>b>0).
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2.椭圆标准方程分析
y

M
示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是F1(-c, F1 0)、F2(c,0).这里c2=a2-b2.

o

F2

x

如果椭圆的焦点在y轴上,焦点是F1(o,-c)、 F2(0,c).这里c2=a2-b2.方程是怎样呢?

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2.椭圆标准方程分析
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
只须将(1)方程的x、y互换即可得到

o
F1

F2
M

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2

2

这个也是椭圆的标准的方程
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o
F1

F2

2.椭圆标准方程分析
y
x 2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a 2b 2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
标准方程特点: 1,方程右边为常数1 2,方程左边为各的形式,分子 ,分母都为平方项。
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o
F1

y

F2
M

x

o
F1

x
F2

2.椭圆标准方程分析
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

? 同学们要掌握这两个椭圆的标准方程

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例题 1平面内两定点的距离是8,写出到这两定 点的距离的和是10的点的轨迹的方程 ? 解:这个轨迹是一个椭圆,两个定点是焦点, 用F1、F2表示.取过点F1和F2的直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标 系. ? ∵2a=10,2c=8. ? ∴a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9.∴b=3 ? 因此,这个椭圆的标准方程是
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课堂练习
2 2 X Y ? . 练习1 已知椭圆的标准方程 ? ?1 个椭圆的焦距为( ) 16 9 A 6 B 3 C 3 5 D 6 5

,则这

练习2

2 2 2 X ? 3 Y ? 6 的焦距为( 椭圆

)

A

2

B

2 5

C 2( 2 ? 3)
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D 2( 3 ? 2 )

课堂练习
? 1.如图2-17,在椭圆上的点中,A1与 焦点F1的距离最小,|A1F1|=2,A2 ? F1的距离最大,|A2F1|=14,求椭圆的标 准方程.
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程 ?1


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(四)小结
? 1.定义:椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹.

? 3.图形如图2-15、2-16.

? 4.焦点:F1(-c,0),F2(c,0).F1(0,-c),F2(0, c).3.图形如图2-15、2-16.
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课后作业

? 习题六:

P97 ? 98,1,2,3
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