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第二章 2.3对数函数


2. 3
[学习目标]

幂函数

1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.结合幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y

1 1 = ,y=x 的图象,掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小. x 2

[知识链接] 1 函数 y=x,y=x2,y= (x≠0)的图象

和性质 x 函数 y=x 图象 定义域 R 值域 R 单调性 增 在(-∞,0]上减 在[0,+∞)上增 在(-∞,0)上减 在(0,+∞)上减 奇偶性 奇

y=x2 1 y= x

R

[0,+∞)



{x|x≠0}

{y|y≠0}



[预习导引] 1.幂函数的概念 一般地,函数 y=xα 叫做幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 2.幂函数的图象与性质 幂函数 y=x y=x2 y=x3
1

y=x 2

y=x

-1

图象 (-∞,0)∪ (0,+∞) {y|y∈R,且 y≠0} 奇 x∈(0,+∞)减 x∈(-∞,0)减

定义域

R

R

R

[0,+∞)

值域 奇偶性 单调性

R 奇 增

[0,+∞) 偶 x∈[0, +∞)增

R 奇 增

[0,+∞) 非奇非偶 增

x∈(-∞, 0]减 定点 (1,1)

要点一 幂函数的概念 例 1 函数 f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3 是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求 f(x)的解析式. 解 根据幂函数定义得, m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1, 当 m=2 时,f(x)=x3 在(0,+∞)上是增函数, 当 m=-1 时,f(x)=x 3,在(0,+∞)上是减函数,不合要求.


∴f(x)的解析式为 f(x)=x3. 规律方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2-m-1=1”这一等量关

系,导致解题受阻. 2.幂函数 y=xα(α∈R)中,α 为常数,系数为 1,底数为单一的 x.这是判断一个函数是否为幂 函数的重要依据和唯一标准.幂函数与指数函数的解析式形同而实异,解题时一定要分清, 以防出错. 跟踪演练 1 已知幂函数 f(x)=xα 的图象经过点(9,3),则 f(100)=________. 答案 10 解析 由题意可知 f(9)=3,即 9α=3, 1 1 ∴α= ,∴f(x)=x , 2 2 1 ∴f(100)=100 =10. 2 要点二 幂函数的图象 1 例 2 如图所示,图中的曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象,已知 n 取± 2,± 四个值,则 2 相应于 c1,c2,c3,c4 的 n 依次为( )

1 1 1 1 A.-2,- , ,2B.2, ,- ,-2 2 2 2 2 1 1 1 1 C.- ,-2,2, D.2, ,-2,- 2 2 2 2 答案 B 解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.注意当 n>0 时,对于 y=xn,n 越大,y=xn 增幅 越快,n<0 时看|n|的大小.根据幂函数 y=xn 的性质,在第一象限内的图象当 n>0 时,n 越 1 大,y=xn 递增速度越快,故 c1 的 n=2,c2 的 n= ,当 n<0 时,|n|越大,曲线越陡峭,所以 2 1 曲线 c3 的 n=- ,曲线 c4 的 n=-2,故选 B. 2 规律方法 幂函数图象的特征:(1)在第一象限内,直线 x=1 的右侧,y=xα 的图象由上到下, 指数 α 由大变小;在第一象限内,直线 x=1 的左侧,y=xα 的图象由上到下,指数 α 由小变 大.(2)当 α>0 时,幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点,在第一象限内,当 0<α<1 时,曲 线上凸;当 α>1 时,曲线下凸;当 α<0 时,幂函数的图象都经过(1,1)点,在第一象限内, 曲线下凸. 跟踪演练 2 如图是幂函数 y=xm 与 y=xn 在第一象限内的图象,则( )

A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 答案 B 解析 在(0,1)内取同一值 x0,作直线 x=x0,与各图象有交点,如图所示.根据点低指数大, 有 0<m<1,n<-1.

要点三 比较幂的大小 例 3 比较下列各组数中两个数的大小: 1? 2 ?1? 2 ? 2?-1 ? 3?-1 (1)? ?3? 与?4? ;(2)?-3? 与?-5? ;
1 1

(3)0.25

?

1 4

1

与 6.25 4 ;(4)0.20.6 与 0.30.4.
1

1 1 解 (1)∵y=x 2 是[0,+∞)上的增函数,且 > , 3 4 1? 2 ?1? 2 ∴? ?3? >?4? . (2)∵y=x
-1

1

1

2 3 是(-∞,0)上的减函数,且- <- , 3 5

2?-1 ? 3?-1 ∴? ?-3? >?-5? . (3)0.25
? 1 4

1? ? 4 2 4 2 =? ?4? =2 ,6.25 =2.5

1

1

1

1

1

∵y=x 2 是[0,+∞)上的增函数,且 2<2.5, ∴2 <2.5 ,即 0.25
1 2 1 2 ? 1 4

<6.25 .

1 4

(4)由幂函数的单调性,知 0.20.6<0.30.6, 又 y=0.3x 是减函数, ∴0.30.4>0.30.6,从而 0.20.6<0.30.4. 规律方法 1.比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数:(1)若指数相同而底数不同,则构 造幂函数;(2)若指数不同而底数相同,则构造指数函数. 2.若指数与底数都不同,需考虑是否能把指数或底数化为相同,是否可以引入中间量. 跟踪演练 3 比较下列各组数的大小: 2?0.5 ?3?0.5 3 3 (1)? ?3? 与?5? ;(2)-3.14 与-π ; 1? 4 ?3? 2 (3)? ?2? 与?4? . 2 3 解 (1)∵y=x0.5 在[0,+∞)上是增函数且 > , 3 5 2?0.5 ?3?0.5 ∴? ?3? >?5? . (2)∵y=x3 是 R 上的增函数,且 3.14<π, ∴3.143<π3,∴-3.143>-π3. 1?x ?1? 4 ?1? 2 (3)∵y=? ?2? 是减函数,∴?2? <?2? .
1 3 1 3 1

y=x 2 是[0,+∞)上的增函数, 3? 2 ?1? 2 ∴? ?4? >?2? .
1 1

3? 2 ?1? 4 ∴? ?4? >?2? .

1

3

1.下列函数是幂函数的是( A.y=5xB.y=x5 C.y=5xD.y=(x+1)3 答案 B

)

解析 函数 y=5x 是指数函数,不是幂函数;函数 y=5x 是正比例函数,不是幂函数;函数 y =(x+1)3 的底数不是自变量 x,不是幂函数;函数 y=x5 是幂函数. 2.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 答案 D 3 解析 y=x 3 = x2,其定义域为 R,值域为[0,+∞),故定义域与值域不同. 1 ? ? 3.设 α∈?-1,1,2,3?,则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为(
? ?
2

)

1 3

?

1 2

5 3

2 3

)

A.1,3B.-1,1 C.-1,3D.-1,1,3 答案 A 解析 可知当 α=-1,1,3 时,y=xα 为奇函数,又∵y=xα 的定义域为 R,则 α=1,3. 1 1 4.若 a=( ) 5 ,b=( ) 5 ,c=(-2)3,则 a、b、c 的大小关系为________. 2 5 答案 a>b>c
3 3 3

解析 ∵y=x 5 在(0,+∞)上为增函数. 1 1 ∴( ) 5 >( ) 5 ,即 a>b>0. 2 5 而 c=(-2)3=-23<0,∴a>b>c. 5.幂函数 f(x)=(m2-m-1)· xm2-2m-3 在(0,+∞)上是减函数,则实数 m=________. 答案 2 解析 ∵f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3 为幂函数, ∴m2-m-1=1,∴m=2 或 m=-1.
3 3

当 m=2 时,f(x)=x

-3

在(0,+∞)上是减函数,

当 m=-1 时,f(x)=x0=1 不符合题意. 综上可知 m=2.

1.幂函数 y=xα 的底数是自变量,指数是常数,而指数函数正好相反,底数是常数,指数是 自变量. 2.幂函数在第一象限内指数变化规律 在第一象限内直线 x=1 的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线 x=1 的左侧, 图象从下到上,相应的指数由大变小. 3.简单幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且当自变量为 1 时,函数值为 1,即 f(1)=1. (2)如果 α>0,幂函数在[0,+∞)上有意义,且是增函数. (3)如果 α<0,幂函数在 x=0 处无意义,在(0,+∞)上是减函数.

一、基础达标 1.已知幂函数 f(x)的图象经过点?2,

?

2? ,则 f(4)的值为( 2?

)

1 1 A.16B. C. D.2 16 2 答案 C
? ? 2 1 1 解析 设 f(x)=x ,则有 2 = ,解得 a=- ,即 f(x)=x 2 ,所以 f(4)=4 2 = . 2 2 2 1 1

a

a

2.下列命题中正确的是(
α

)

A.当 α=0 时,函数 y=x 的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)(1,1)两点 C.若幂函数 y=xα 的图象关于原点对称,则 y=xα 在定义域上是增函数 D.幂函数的图象不可能在第四象限 答案 D 解析 当 α=0 时,函数 y=xα 的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图象为两条射线,故 A 选项不 正确;当 α<0 时,函数 y=xα 的图象不过(0,0)点,故选项 B 不正确;幂函数 y=x
-1

的图象关

于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故选项 C 不正确;当 x>0,α∈R 时,y=xα>0, 则幂函数的图象都不在第四象限,故选项 D 正确.

1

3.下列幂函数中①y=x 1;②y=x 2 ;③y=x;④y=x2;⑤y=x3,其中在定义域内为增函数


的个数为(

)

A.2B.3C.4D.5 答案 B 解析 由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数. 4.当 0<x<1 时,f(x)=x ,g(x)=x ,h(x)=x A.h(x)<g(x)<f(x) B.h(x)<f(x)<g(x) C.g(x)<h(x)<f(x) D.f(x)<g(x)<h(x) 答案 D 解析
2
1 2
-2

的大小关系是(

)

在同一坐标系中,画出当 0<x<1 时,函数 y=x ,y=x ,y=x ∴当 0<x<1 时, 有 x >x >x2, 即 f(x)<g(x)<h(x).
-2

2

1 2

-2

的图象,如图所示.

1 2

5.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( A.y=x 2B.y=x
- -1

)

1 C.y=x2D.y=x 3 答案 A 解析 由于 y=x
-1

和 y=x 都是奇函数,故 B、D 不合题意.又 y=x2 虽为偶函数,但在(0,

1 3

1 - +∞)上为增函数,故 C 不合题意.y=x 2= 2在(0,+∞)上为减函数,且为偶函数,故 A 满 x 足题意. 1 6.幂函数 y=f(x)的图象经过点(2, ),则满足 f(x)=-27 的 x 值等于________. 8

1 答案 - 3 1 1 - - 解析 设 f(x)=xα,由题意可知 2α= ,α=-3,即 f(x)=x 3.由 x 3=-27 可知 x=- . 8 3 7.比较下列各组中两个值的大小:
3 3

(1)1.5 5 与 1.6 5 ;(2)0.61.3 与 0.71.3; (2)3.5
? 2 3

与 5.3

?

2 3

;(4)0.18
3 5

-0.3

与 0.15

-0.3

.
3 5 3 5

解 (1)∵幂函数 y=x 在(0,+∞)上单调递增,且 1.5<1.6,∴1.5 <1.6 . (2)∵幂函数 y=x1.3 在(0,+∞)上单调递增,且 0.6<0.7,∴0.61.3<0.71.3. (3)∵幂函数 y=x (4)∵幂函数 y=x 二、能力提升 2? 5 ?2? 5 ?3? 5 8.设 a=? ?5? ,b=?5? ,c=?5? ,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>cB.c>a>b C.a<b<cD.b>c>a 答案 C 2?x 3 2 解析 ∵函数 y=? ?5? 在 R 上是减函数,又5>5, 2? 5 ?2? 5 ∴? ?5? <?5? ,即 a<b. 3 2 又∵函数 y=x 5 在 R 上是增函数,且 > , 5 5 3? 5 ?2? 5 ∴? ?5? >?5? ,即 c>b, ∴a<b<c. x-2 9.函数 y= 的图象是( x-1 )
2 2 2 3 2 ? 2 3

在(0,+∞)上单调递减,且 3.5<5.3,∴3.5

?

2 3

>5.3
-0.3

?

2 3

.
-0.3

-0.3

在(0,+∞)上单调递减,且 0.18>0.15,∴0.18

<0.15

3

2

2

)

答案 B 解析 方法一 代入选项验证即可. x-2 x-1-1 1 方法二 y= = =- +1,利用函数图象的变换可知选 B. x-1 x-1 x-1 10.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函 数”.那么函数解析式为 f(x)=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有( A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.无数个 答案 C 解析 值域为{1,4},∴其定义域由 1,-1,2,-2 组成,∴有{1,2},{1,-2},{-1,2}{-1, -2},{1,-1,-2},{1,-1,2},{1,2,-2},{-1,2,-2},{1,-1,2,-2},共有 9 种情况. 11.已知幂函数 f(x)的图象过点(25,5). (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(2-lgx),求 g(x)的定义域、值域. 解 (1)设 f(x)=xa,则由题意可知 25a=5, 1 ∴a= ,∴f(x)=x 2 . 2 (2)∵g(x)=f(2-lgx)= 2-lgx, ∴要使 g(x)有意义,只需 2-lgx≥0, 即 lgx≤2,解得 0<x≤100. ∴g(x)的定义域为(0,100], 又 2-lgx≥0, ∴g(x)的值域为[0,+∞). 三、探究与创新 12.已知幂函数 y=f(x)=x
-2m2 ? m ? 3
1

)

,其中 m∈{x|-2<x<2,x∈Z},满足:

(1)是区间(0,+∞)上的增函数; (2)对任意的 x∈R,都有 f(-x)+f(x)=0. 求同时满足(1),(2)的幂函数 f(x)的解析式,并求 x∈[0,3]时 f(x)的值域. 解 因为 m∈{x|-2<x<2,x∈Z}, 所以 m=-1,0,1. 因为对任意 x∈R,都有 f(-x)+f(x)=0, 即 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 当 m=-1 时,f(x)=x2 只满足条件(1)而不满足条件(2); 当 m=1 时,f(x)=x0 条件(1)、(2)都不满足. 当 m=0 时,f(x)=x3 条件(1)、(2)都满足,且在区间[0,3]上是增函数. 所以 x∈[0,3]时,函数 f(x)的值域为[0,27]. 13.已知幂函数 f(x)=x
m2 ? 2 m ? 3

(m∈N)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上函数值随着 x <(3-2a)
? m 3

的增大而减小,求满足(a+1)

?

m 3

的 a 的取值范围.

解 ∵函数 f(x)在(0,+∞)上的函数值随着 x 的增大而减小,∴m2-2m-3<0, 利用二次函数的图象可得-1<m<3. 又∵m∈N,∴m=0,1,2. 又∵函数的图象关于 y 轴对称, ∴m2-2m-3 是偶数,故 m=1, ∴(a+1)
? 1 3
1 3

<(3-2a)

?

1 3

.

又∵y=x

?

在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减,

∴有以下三种情况:
?a+1<0, ? ①当? 即 a<-1 时,不等式的左边为负数,右边为正数,不等式成立; ? ?3-2a>0, ? ?a+1>0, ②当? 时,必有 a+1>3-2a, ?3-2a>0 ?

a+1>0, ? ? 即?3-2a>0, ? ?a+1>3-2a,

2 3 解得 <a< ; 3 2

?a+1<0, ? ③当? 时,必有 a+1>3-2a, ?3-2a<0 ?

a+1<0, ? ? 即?3-2a<0, ? ?a+1>3-2a,

此不等式组无解,

2 3? 综上可得 a 的取值范围是(-∞,-1)∪? ?3,2?.


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