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2015届高三数学(理)湘教版一轮复习解答题规范专练1 函数与导数


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解答题规范专练(一) 函数与导数 a 1 1.(2013· 北京东城模拟)已知函数:f(x)=x-(a+1)ln x- (a∈R),g(x)= x2+ex-xex. x 2 (1)当 x∈[1,e]时,求 f(x)的最小值; (2)当 a<1 时,若存在 x1∈[e,e2],使得对任意的 x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求 a 的取值范围.

1 1 2.已知函数 f(x)=ax+xln x,且图像在点 ,f 处的切线斜率为 1(e 为自然对数的底数). e e (1)求实数 a 的值; f?x?-x (2)设 g(x)= ,求 g(x)的单调区间; x-1 (3)当 m>n>1(m,n∈Z)时,证明: n n > . m n m m

3.(2013· 河北模拟)设函数 f(x)=x 1ex 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).


(1)求函数 f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值; 0?x=0?, ? ? (2)设函数 g(x)=? 1 若 x1≠x2, ?f?x??x≠0?, ? 且 g(x1)=g(x2),证明:x1+x2>2.

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1.解:(1)依题意得,f(x)的定义域为(0,+∞), ?x-1??x-a? ∵f′(x)= (a∈R), x2 ∴①当 a≤1 时,x∈[1,e],f′(x)≥0,f(x)为增函数,f(x)min=f(1)=1-a. ②当 1<a<e 时,x∈[1,a],f′(x)≤0, f(x)为减函数,x∈[a,e],f′(x)≥0, f(x)为增函数,f(x)min=f(a) =a-(a+1)ln a-1. ③当 a≥e 时,x∈[1,e],f′(x)≤0,f(x)为减函数, a f(x)min=f(e)=e-(a+1)- . e 综上,当 a≤1 时,f(x)min=1-a; 当 1<a<e 时,f(x)min=a-(a+1)ln a-1; a 当 a≥e 时,f(x)min=e-(a+1)- . e (2)若存在 x1∈[e,e2],使得对任意的 x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立, 即 f(x1)min<g(x2)min. 当 a<1 时,x1∈[e,e2],由(1)可知, f′(x)>0,f(x)为增函数, a ∴f(x1)min=f(e)=e-(a+1)- , e g′(x)=x+ex-xex-ex=x(1-ex), 当 x2∈[-2,0]时 g′(x)≤0, g(x)为减函数,g(x2)min=g(0)=1, e2-2e a ∴e-(a+1)- <1,即 a> , e e+1 ∴a 的取值范围为?

?e -2e,1?. ? ? e+1 ?

2

2.解:(1)f(x)=ax+xln x, f′(x)=a+1+ln x, 1? 依题意 f′? ?e?=a=1,所以 a=1. f?x?-x xln x (2)因为 g(x)= = , x-1 x-1 x-1-ln x 所以 g′(x)= . ?x-1?2
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1 设 φ(x)=x-1-ln x,则 φ′(x)=1- . x 1 当 x>1 时,φ′(x)=1- >0, x φ(x)是增函数, 对任意 x>1,φ(x)>φ(1)=0, 即当 x>1 时,g′(x)>0, 故 g(x)在(1,+∞)上为增函数. 1 当 0<x<1 时,φ′(x)=1- <0,φ(x)是减函数,对任意 x∈(0,1),φ(x)>φ(1)=0, x 即当 0<x<1 时, g′(x)>0,故 g(x)在(0,1)上为增函数. 所以 g(x)的递增区间为(0,1),(1,+∞). m (3)证明:要证 n n > , m n m

ln n ln m 即证 - >ln n-ln m, m n 即 n-1 m-1 mln m nln n ln m> ln n, > .(*) n m m-1 n-1 n n > . m n m m

因为 m>n>1,由(2)知,g(m)>g(n),故(*)式成立,所以 xex-ex , x2

3.解:(1)由题意得 f′(x)= 则当 x>1 时,f′(x)>0;

0<x<1 时,f′(x)<0.由此可知函数 f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数. em 当 m≥1 时,函数 f(x)在[m,m+1]上是增函数,此时 f(x)min=f(m)= . m 当 0<m<1 时,函数 f(x)在[m,1]上是减函数, 在[1,m+1]上是增函数, 此时 f(x)min=f(1)=e. (2)证明:由题意可得 g(x)=xe x(x∈R),


g′(x)=(1-x)e x.


所以 g(x)在(-∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.① 设函数 F(x)=g(x)-g(2-x), 即 F(x)=xe x+(x-2)ex 2,
- -

于是 F′(x)=(x-1)(e2x 2-1)e x,
- -

当 x>1 时,2x-2>0,从而 e2x 2-1>0,


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又 e >0,所以 F′(x)>0, 从而函数 F(x)在[1,+∞)上是增函数. 又 F(1)=e 1-e 1=0,所以 x>1 时,
- -

-x

有 F(x)>F(1)=0,即 g(x)>g(2-x).② 由①及 g(x1)=g(x2)知 x1 与 x2 只能在 1 的两侧. 不妨设 0<x1<1,x2>1, 由结论②可知,g(x2)>g(2-x2), 所以 g(x1)=g(x2)>g(2-x2). 因为 x2>1,所以 2-x2<1, 又由结论①可知函数 g(x)在(-∞,1)上是增函数,所以 x1>2-x2,即 x1+x2>2.

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