当前位置:首页 >> 数学 >>

2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第二节圆的方程及点线圆的位置关系课件文


第二节 圆的方程及点、线、圆的位置关系

知识点一 圆的方程 1.圆的定义及其方程
(1)在平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫做圆. (2)确定一个圆的基本要素是: 圆心 和 半径 .

(3)圆的标准方程: ①两个条件:圆心(a,b),半径 r; ②标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. (4)圆的一般方程 ①一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0;
2 2 ②方程表示圆的充要条件为: D +E -4F>0 ; 1 2 2 ? D ? E D + E -4F 2 ? ? ③圆心坐标 - 2 ,- 2 ,半径 r= .

?

?

2.点与圆的位置关系 (1)理论依据: 点 与 圆心 的距离与半径的大小关系 (2)三个结论:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)
2 2 ① (x0-a) +(y0-b) =r2?点在圆上; 2+(y -b)2 ( x - a ) 0 0 ② >r2?点在圆外; 2+(y -b)2 ( x - a ) 0 0 ③ <r2?点在圆内.

?一个易错点:忽略二元二次方程表示圆的条件而致误.
(1)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范

围是________.
解析
2 ? a ?2 3 a 方程为?x+2? +(y+a)2=1-a- 4 表示圆,则 ? ?

1 -a

3a2 2 - 4 >0,解得-2<a<3.

答案

? 2? ?-2, ? 3? ?

(2)[一个必要转化:和圆有关的距离问题,注意将圆上动点到

定点,定直线的距离转化为圆心到它们的距离 ]已知直线l:x
-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到l的距 离的最小值为________.
解析 C 上各点到直线 l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到

|1-1+4| 直线 l 的距离减去半径,即 - 2= 2. 2

答案

2

知识点二

直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后 得到的一元二次方程的判别式为Δ.

方法 位置关系 相交 相切 相离

几何法 d < r d = r d > r

代数法 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0

2.圆与圆的位置关系

设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2(r2>0).
代数法:两圆方程 联立组成方程组的 解的情况 无解 一组实数解

方法 几何法:圆心距d与 位置关系 r1,r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2

相离 相外切

相交

|r1-r2|<d<r1+r2

两组不同的实数解

相内切

d=|r1-r2|(r1≠r2)

一组实数解

内含

0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

无解

?两个基本图形:直线与圆相交,相切的构图.
(3)[ 直线与圆相交 ,弦心距,半弦长,半径构成直角三角形 ] 直线y=2x+1被圆x2+y2=1截得的弦长为________.
解析 圆 x2+y2=1 的圆心 O(0, 0), 半径 r=1.圆心 O 到直线

1 5 y = 2x + 1 的 距 离 为 d = 2 2= 5 ,故弦长为 2 +(-1) 2 r -d =2
2 2

1 4 5 1-5= 5 .

4 5 答案 5

(4)[直线与圆相切,圆心与切点连线与切线互相垂直]过点(0,1)

且与圆(x-2)2+y2=1相切的直线方程是________.
解析 设切线方程为 y-1=kx, 即 kx-y+1=0.圆心坐标为(2,

|2k+1| 4 0),半径 r=1,则 2 =1 解得 k=0 或 k=- ,即切线方 3 k +1 程为 y=1 和 4x+3y-3=0.

答案 y=1和4x+3y-3=0

?一个易错点:两圆相切时,注意是内切还是外切. (5)已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1 相切,则(a+b)2=________. 解析 圆C1圆心坐标为(a,-2),半径r1=2,圆C2圆心坐标为

(-b,-2),半径r2=1,则圆心距为|a+b|,两圆外切时|a+b|
=2+1=3,两圆内切时|a+b|=2-1=1.所以(a+b)2=9或1. 答案 9或1

?四条常用性质. (6)[①圆心在过切点且垂直切线的直线上;

②圆心在任一弦的中垂线上;
③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. ④两圆方程相减得公共弦所在直线方程]已知点M(1,0)是圆C: x2 +y2 - 4x - 2y = 0 内的一点,那么过点 M 的最短弦所在直线 的方程是________.

解析

过点 M 的最短弦与 CM 垂直,圆 C:x2+y2-4x-2y

1-0 =0 的圆心为 C(2,1),∵kCM= =1,∴最短弦所在直线 2-1 的方程为 y-0=-(x-1),即 x+y-1=0.

答案 x+y-1=0

圆的方程突破方略

求圆的方程的几种方法 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,

进而写出方程;
(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则 设圆的标准方程,根据已知条件列出关于a、b、r的方程组, 从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半 径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于 D、E、 F 的方程组,进而求出D、E、F的值.

【例1】 (1)过点A(-2,4),B(3,-1)两点,并且在x轴上截得 的弦长等于6的圆的方程为________; (2) 经过点A( - 2,- 4),且与直线 l :x +3y-26 = 0 相切于点

B(8,6)的圆的方程为________.

解析

(1)设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,
? ?2D-4E-F=20, 两点的坐标代入得? 再令 ? 3 D - E + F =- 10 , ?

将 A,B

y=0,

得 x2+Dx+F=0.设 x1,x2 是方程的两根,由|x1-x2|=6 得, ?2D-4E-F=20, ? 2 D -4F=36,由?3D-E+F=-10,解得 ?D2-4F=36, ? ?D=-6, ? 或?E=-8, ?F=0. ?

因此,所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0 或x2+y2-6x-

8y=0.
(2) 法一 设圆心坐标为C(a,b),依题意得,

?b-6 ? =3, a - 8 ? 2 2 2 2 ? ?(a+2) +(b+4) =(a-8) +(b-6) , 11 ? ? a= 2 , 解得? 半径 r= 3 ?b=- , 2 ?
? 11?2 ? 3?2 5 ?8- ? +?6+ ? = 2? 2? ? ?

10 2 ,

? 11?2 ? 3?2 125 因此,所求圆的方程为?x- 2 ? +?y+2? = 2 . ? ? ? ?

法二

依题意得,圆心在 AB 的垂直平分线上,而 AB 的垂直

平分线方程为 x+y-4=0.又因为圆心也在过 B 且与直线 l 垂 直的直线上,而此直线方程为 3x - y - 18 = 0 ,解方程组 ? 11 ? ?x= 2 , ?x+y-4=0, ? 得? 以下同法一. ? 3 3 x - y - 18 = 0 , ? ?y=- , 2 ?

答案

(1)x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y=0

? 11?2 ? 3?2 125 (2)?x- 2 ? +?y+2? = 2 ? ? ? ?

[ 点评 ]

解决此类问题的关键是设出圆的方程利

用待定系数法求解,或利用圆的几何性质求出圆 心及半径.

直线与圆的位置关系求解方略

求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程
(1)几何方法:当斜率存在时,设为k,切线方程为 y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0. 由圆心到直线的距离等于半径,即可得出切线方程.

(2)代数方法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即
y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得一个关于x的一元二次 方程,由Δ=0,求得k,切线方程即可求出. 注:若以上方法只求出一条切线,则说明过圆外一点(x0, y0)的圆的切线不存在,应补充上x=x0.

圆的弦长的求法
(1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 =r2-d2. (2)代数法:设直线与圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
? ?y=kx+b, 解方程组? 2 2 2 ? ( x - x ) +( y - y ) = r , ? 0 0 ? l ?2 l,则?2? ? ?

消 y 后得关于 x 的一元二次方程,从而求得 x1+x2,x1x2,

则弦长为|AB|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2](k 为直线 斜率).

【例 2】 (1)(2016· 山东青岛质检)过点 P(1, 3)作圆 O:x2+y2 =1 的两条切线,切点分别为 A 和 B,则弦长|AB|=(
A. 3 C. 2 B.2 D.4

)

(2)已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0.若直 线 l 过 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程.

(1)解析

如图所示,∵PA,PB 分别为圆 O:x2+y2=1 的切线,

∴OA⊥AP,|AB|=2|AC|,∵P(1, 3),O(0,0), ∴|OP|= 1+3=2,又∵|OA|=1, ∴∠AOP=60°,∴|AB|=2|AC|=2|AO|sin∠AOP= 3, 故选 A.

答案 A

(2)解

法一

如图所示,AB=4 3,D 是 AB 的中点,CD

⊥AB,AD=2 3,圆 x2+y2+4x-12y+24=0 可化为 (x+2)2+(y-6)2=16,圆心 C(-2,6),半径 r=4,

故 AC=4,在 Rt△ACD 中,可得 CD=2.当直线 l 的斜率存在 时,设斜率为 k, 则直线的方程为 y-5=kx,即 kx-y+5=0. |-2k-6+5| 由点 C 到直线 AB 的距离公式得 2 2=2, k +(-1)

3 ∴k= .此时直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 4 当直线 l 的斜率不存在时,方程为 x=0. 则 y2-12y+24=0,∴y1=6+2 3,y2=6-2 3, ∴|y2-y1|=4 3,故 x=0 满足题意, ∴所求直线的方程为 3x-4y+20=0 或 x=0. 法二 当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k,则直线的方程为 y- 5=kx,即 y=kx+5,
? ?y=kx+5, 联立直线与圆的方程,得? 2 2 ? ?x +y +4x-12y+24=0,

消去 y,得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0. 设方程①的两根为 x1,x2, ? ?x +x =2k-4 , ? 1 2 1+k2 由根与系数的关系,得? ?x x =- 11 . 2 1 2 ? 1 + k ? 由弦长公式,得





1+k2|x1-x2|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4 3.

3 将②式代入,解得 k= , 4 此时直线的方程为 3x-4y+20=0. 当 k 不存在时也满足题意,此时直线方程为 x=0, ∴所求直线的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0.

[点评 ]

解决 (2) 题的关键是利用弦心距、半径、半弦长构

成的直角三角形求解,或将直线方程与圆的方程联立利用

弦长公式求解.

圆与圆的位置关系突破方略

圆与圆位置关系的判定及应用 (1)两圆位置关系的判断常用几何法,即利用两圆圆心之间

的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线方程可由两圆的方 程作差求得.并且两圆的连心线垂直平分公共弦.

【例3】 (2016· 四川资阳模拟)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1, 圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2的动点, P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )

A.5 2-4 C.6-2 2

B. 17-2 D. 17

解析

如图圆 C1 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标

A(2,-3),半径为1,圆C2的圆心,坐标(3,4), 半径为3,|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆

心距减去两个圆的半径和.
即 (3-2)2+(4+3)2-1-3=5 2-4,故选 A.

答案 A [点评] 解决本题关键是|PM|+|PN|最小值几何意义的分析.

与圆有关的轨迹问题

【示例】 已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点, P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程;

(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.



(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐

标为(2x-2,2y).

因为P点在圆x2+y2=4上,
所以(2x-2)2+(2y)2=4, 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中, |PN|=|BN|.

设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.

[方法点评] 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不

同常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列
出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法, 利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点 的关系,代入已知点满足的关系式等.


相关文章:
2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第4讲 直...
2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理_数学_高中教育_教育专区。2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解析...
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 ...
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 理_数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (江苏专用)2017 ...
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 ...
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 文_数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (江苏专用)2017 ...
2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第六节直线...
2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第六节直线与圆锥曲线的位置关系AB卷文_数学_高中教育_教育专区。【大高考】 2017 版高考数学一轮总复习 第 9 章 ...
2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第六节直线...
2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第六节直线与圆锥曲线的位置关系模拟...由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定 义知|PA|+|PB...
大高考2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第6...
大高考2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第6节直线与圆锥曲线的位置关系高考AB卷理_数学_高中教育_教育专区。【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 ...
2017届高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直...
2017高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆圆的位置关系课时跟踪检测理_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测(四十八) ?一抓基础,多练小...
江苏专用2018高考数学一轮复习第九章平面解析几何第46...
江苏专用2018高考数学一轮复习第九章平面解析几何第46课直线与圆圆圆的位置关系教师用书_数学_高中教育_教育专区。第 46 课 [最新考纲] 内容 直线与圆、圆与...
2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.4直线与...
2018 版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、 圆与圆的位置关系教师用书 文 新人教版 1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法...
2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线...
2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆圆圆的位置关系试题...答案 C 5.(2017·福州模拟)过点 P(1,-2)作圆 C:(x-1) +y =1 的...
更多相关标签: