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襄阳五中、孝感高中2014年高一上学期期中联考数学试题有答案


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数学试题
命题人:胡之亮 审题人:闫晓东 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题所给的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A ? ? x

? 3 ? ? 1, x ? N ? , B ?

? x log2 ( x ? 1) ? 1, x? N? , S ? A, S ? B? ? ,则集合 ? x ?
B.2 C.4 D.8

S 的个数为
A.0 2. 某班共 40 人,其中 24 人喜欢篮球运动,16 人喜欢乒乓球运动,6 人这二项运动都不喜欢, 则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为 A.17 B. 18 C.19 D.20

3. 已知 a ? log 2 0.3, b ? 2 0.3, c ? 0.30.2 ,则 a, b, c 三者的大小关系是 Ab ? a ? c. 4. 设函数 f ( x ) ? ? A. B. b ? c ? a C. a ? b ? c D. c ? b ? a

x ? ?2 ? 1, x ? 1 若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a 等于 2 x ? ax , x ? 1 ? ?

1 2

B.

4 5

C.2

D. 9

5. 化简 ? log 4 3 ? log 4 9 ??log 3 2 ?log 38 ? ? A. 6 B. ?6 C. 12 D. ?12

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7. 下列函数中在区间 A. y ? 3lg ? x ?

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? 3, 4 ? 内有零点的是
B. y ? ? x3 ? 3x ? 5 D. y ? 3? x ? 2?? x ? 3?? x ? 4? ? x

? ?

5? ? 2?

C. y ? e x?1 ? 4 x ? 4

8. 已知函数 f ( x) ? ln x ? 2x ,若 f ( x2 ? 4) ? 2 ,则实数 x 的取值范围是 A. (?2, 2) B. (2, 5) C. (? 5, ?2) D. (? 5, ?2) ? (2, 5)

9. 设奇函数 ( x ) 在 [?1,1] 上是增函数,且 f (?1) ? ?1 ,若函数 f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对所有的

x ?[?1,1], a ?[?1,1] 都成立,则 t 的取值范围是
A. ?2 ? t ? 2 B. ?

1 1 ?t ? 2 2

C. t ? 2或t ? ?2或t ? 0

D. t ?

1 1 或t ? ? 或t ? 0 2 2

10. 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x ? R 恒有 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,已知当

1 x ? [0,1] 时, f ( x) ? ( )1? x ,则: 2
① f ( x ? 2) ? f ( x) ; ②函数 f ( x ) 在 (1, 2) 上递减,在 (2,3) 上递增;

③函数 f ( x ) 的最大值是 1,最小值是 0; ④当 x ? (3, 4) 时, f ( x) ? ( ) 其中正确结论的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

1 2

x ?3

.

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请将各题的正确答案直接写在题目中 的横 线上) 11. 若函数 f ( x) ?

x 为奇函数,则 a ? ____________. (2 x ? 1)( x ? a)
2

12. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时 f ? x ? =x ? x ? 1,则 f ? ?1? = 13. 已知幂函数 y ? x 则m?
m? 3

.

(m ? N * ) 的图像关于 y 轴对称,且在
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? 0, ?? ? 上单调递减,

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14. 已知函数 f ? x ? ? ?

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.

?? a ? 3 ? x ? 3( x ? 1) ? 在 R 上单调递增, 则实数 a 的取值范围为 ? ? log a x( x ? 1)

15. 已知 x ? R ,符号 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,若函数 f ( x ) ? 个结论: ①函数 f ( x ) 的值域为[0,1] ; ③函数 f ( x ) 是(0, ?? )上的减函数;

[ x] ( x ? 0) ,则给出以下四 x

②函数 f ( x ) 的图象是一条曲线; ④函数 g ( x) ? f ( x)? a有且仅有 3 个零点时

3 4 ?a? . 4 5
其中正确的序号为_______________.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
2 16.(本题满分 12 分)设集合 A ? x , 2 x ? 1, ?4 , B ? ? x ? 5,1 ? x,9? ,若 A ? B ? ?9? ,

?

?

求 A? B .

17.(本题满分 12 分)若集合 M ? x ?3 ? x ? 4 ,集合 P ? x 2m ? 1 ? x ? m ? 1 . (1)是否存在实数 m,使得 M = P. 若存在求出 m,若不存在请说明理由. (2)若两个集合中其中一个集合是另一个集合的真子集,求实数 m 的取值范围.

?

?

?

?

18.(本题满分 12 分)若定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a , b 的值;

?2 x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

(2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

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19.(本题满分 12 分)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需 另投入成 本为 C ( x) ,当年产量不足 80 千件时, C ( x) ? 千件时,C ( x) ? 51x ?

1 2 x ? 10 x (万元). 当年产量不少于 80 3

10000 ? 1450(万元) , 每件商品售价为 0.05 万元. 通过市场分析, x

该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润 L( x) (万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一 商品的生产中所获利润最大?
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21.(本题满分 14 分)若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: ①对任意 x, y ? R ,都有: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1 ; ②当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 . (Ⅰ)试判断函数 f ( x) ? 1 的奇偶性; (Ⅱ)试判断函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)若不等式 f (a ? 2a ? 7) ?
2

1 ? 0 的解集为 ?a ?2 ? a ? 4? ,求 f (5) 的值. 2
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孝感高中 2014—2015 学年度高一上学期期中考试

数学参考答案

故 A ? B ? ??8, ?7, ?4,4,9? ;

??????????????8 分

当 x ? 5 时, A ? ?25, 9, ?4 , ? ? 0, ? 4, , A ? B ? ??4, 9 ?B ?9 此时 ? 与 A ? B ? ?9? 矛 盾,故舍去. 综上所述, A ? B ? ??8, ?7, ?4,4,9? . 17.解: (1) ?3 ? 2m ? 1 且 4 ? m ? 1 ??????????????10 分 ??????????????12 分

? m ? ?1 且 m ? 3

? 不存在.
?

??????????????4 分

??3 ? 2m ? 1 ? ? ?1 ? m ? 2 或 P ? ? ? m ? 2 ;?????8 分 (2)若 P ? M,则 ?m ? 1 ? 4 ? m ? 1 ? 2m ? 1 ?
? 若M? P,则 ?

??3 ? 2m ?1 ? m ?? , ?4 ? m ? 1

??????????????10 分 ??????????????12 分

综上: m ? 1 .

18.解: (1)因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即

?1 ? b ? 0 ,解得 b ? 1 ,从而有 2?a

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f ( x) ? ?2 x ? 1 . 2 x ?1 ? a

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1 ? ?1 ?2 ? 1 又由 f (1) ? ? f (?1)知 ,解得 a ? 2 . ?? 2 4?a 1? a
(2) 由 (1) 知 f ( x) ?

??? ?????6 分

?2 x ? 1 1 1 ?? ? x , 由上式知 f ( x ) 在 R 上为减函数, 又因 f ( x ) x ?1 2 ?2 2 2 ?1

是奇函数,从而不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 ,等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k )

? f (?2t 2 ? k ) .
因 f ( x ) 是 R 上的减函数,由上式推得 t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k , ?2 ? x ? 0 即对一切 t ? R 有

1 3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,从而 ? 4 ? 12k ? 0 ,解得 k ? ? . 3

????????12 分

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250, 0 ? x ? 80 ? ? 3 ? L( x) ? ? ?1200 ? ( x ? 10000 ), x ? 80 ? x ?
(2)当 0 ? x ? 80 时

????????? ???6 分

1 L( x) ? ? ( x ? 60) 2 ? 950 3
? x ? 60 时, L( x) max ? L(60) ? 950
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????????????8 分

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当 x ? 80 时. L ( x) ? 1200 ? ( x ?

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10000 ) ? 1200 ? 2 10000 ? 1000 x

????????????10 分 当 x ? 100 时取“=”. L max ? 10000 ? 950

? 当产量为 100 千件时,利润最大为 1000 万元.
w w .x k b 1.c o m

??????????12 分

w

20.解: (1)设 P(x, y ) 是函数 y ? g ( x) 图象上的任意一点,则 P 关于原点的对称点 Q 的坐标为

(? x, ? y) .
已知点 Q 在函数 f ( x ) 的图象上,

?? y ? f (? x) ,而 f ( x) ? loga ( x ? 1) ,

?? y ? loga (? x ? 1), ? y ? ? loga (? x ? 1),
而 P( x, y ) 是函数 y ? g ( x) 图象上的点,

? y ? g ( x) ? ? log a (? x ? 1) ? log a
(2)当 x ? [0,1) 时,

1 . 1? x

????????5 分

f ( x) ? g ( x) ? log a ( x ? 1) ? log a

1 1? x ? log a . 1? x 1? x

????????7 分

下面求当 x ? [0,1) 时 f ( x) ? g ( x) 的最小值.

1? x t ?1 ? t ,则 x ? . 1? x t ?1 t ?1 ? 1 ,解得 t ? 1 , x ? [0,1) ,即 0 ? t ?1 1? x ? ? 1. 1? x


??????????????10 分

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1? x ? log a 1 ? 0 , 又 a ? 1,? log a 1? x

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??????????????11 分

? f ( x) ? g ( x) ? 0 , ? x ? [0, 1) 时, f ( x) ? g ( x) 的最小值为 0. 1) 时,总有 f ( x) ? g ( x) ? m 成立, 当 x ? [0,
? m ? 0 ,即所求 m 的取值范围为 (??, 0] .
??????????????13 分

(Ⅱ)任取 x1 , x2 ? (??, ??) 且 x1 ? x2 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 )

? f(x x ) ? 1 ? f (1x )? f (2 x ? 1 x )? 1 2 ? x 1 ) ? f( 1

由(2)知

? [ f 1 ( x? 2 x ) ? 1]

x1 ? x2 ? 0 . 则 f ( x1 ? x2 ) ? 1,? f ( x1 ? x2 ) ?1 ? 0? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0
即: f ( x2 ) ? f ( x1 ) . ? f ( x) 在 (??, ?) 上单调递减. (Ⅲ) f ( a ? 2 ? 7) ? ?
2

????9 分

1 ? f (m) 由(Ⅱ)知: a 2 ? 2a ? 7 ? m 的解集为 (?2, 4) 2 1 ? m ? 1 . 即: f (1) ? ? . ? f (2) ? ?2 f ( 4 ) ?? 5 2 13 f (5) ? f (4) ? f (1) ? 1 ? ? ??????????????14 分 2

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孝感高中 2014—2015 学年度高一上学期期中考试

数学参考答案
1-5 CBBCA 11. 6-10 DADCC 12. ?3
2

1 2

13. 1

14. 3 ? a ? 6

15.④

16.解:由 9 ? A ,可得 x ? 9 ,或 2 x ? 1 ? 9 , 解得 x ? ?3 ,或 x ? 5 . ??????????????4 分 ??6 分

当 x ? 3 时, A ? ?9,5, ?4?, B ? ??2, ?2,9? ,B 中元素重复,故舍去; 当 x ? ?3 时, A ? ?9, ?7, ?4? , B ? ??8,4,9?, A ? B ? ?9? 满足题意, 故 A ? B ? ??8, ?7, ?4, 4,9? ;

??????????????8 分

当 x ? 5 时, A ? ?25, 9, ?4 , ? ? 0, ? 4, , A ? B ? ??4, 9 ?B ?9 此时 ? 与 A ? B ? ?9? 矛 盾,故舍去. 综上所述, A ? B ? ??8, ?7, ?4, 4,9? .
源:Z#xx#k.Com]

??????????????10 分 ??????????????12 分
[来

17.解: (1) ?3 ? 2m ? 1 且 4 ? m ? 1

? m ? ?1 且 m ? 3

? 不存在.
?

??????????????4 分

??3 ? 2m ? 1 ? ? ?1 ? m ? 2 或 P ? ? ? m ? 2 ;?????8 分 (2)若 P ? M,则 ?m ? 1 ? 4 ? m ? 1 ? 2m ? 1 ?
? 若M? P,则 ?

??3 ? 2m ?1 ? m ?? , ?4 ? m ? 1

??????????????10 分 ??????????????12 分

综上: m ? 1 .

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?1 ? b ? 0 ,解得 b ? 1 ,从而有 2?a

18.解: (1)因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即

f ( x) ?

?2 x ? 1 . 2 x ?1 ? a

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1 ? ?1 ?2 ? 1 又由 f (1) ? ? f (?1)知 ,解得 a ? 2 . ?? 2 4?a 1? a

????????6 分

?2 x ? 1 1 1 ?? ? x (2) 由 (1) 知 f ( x) ? x ?1 , 由上式知 f ( x ) 在 R 上为减函数, 又因 f ( x ) 2 ?2 2 2 ?1
是奇函数,从而不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 ,等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k )

? f (?2t 2 ? k ) .
因 f ( x ) 是 R 上的减函数,由上式推得 t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k , ?2 ? x ? 0 即对一切 t ? R 有

1 3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,从而 ? 4 ? 12k ? 0 ,解得 k ? ? . 3
19.解: (1)依题意 当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? (?

????????12 分

1 2 x ? 10 x ? 250) 3

1 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 . 3
当 x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? (?51x ?

10000 ? 1450 ? 250) x

? 1200 ? ( x ?

10000 ). x

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250, 0 ? x ? 80 ? ? 3 ? L( x) ? ? ?1200 ? ( x ? 10000 ), x ? 80 ? x ?
(2)当 0 ? x ? 80 时

????????????6 分

1 L( x) ? ? ( x ? 60) 2 ? 950 3
? x ? 60 时, L( x) max ? L(60) ? 950
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????????????8 分
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当 x ? 80 时. L ( x) ? 1200 ? ( x ?

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10000 ) ? 1200 ? 2 10000 ? 1000 x

????????????10 分 当 x ? 100 时取“=”. L max ? 10000 ? 950

? 当产量为 100 千件时,利润最大为 1000 万元.

??? ???????12 分

20.解: (1)设 P (x, y ) 是函数 y ? g ( x) 图象上的任意一点,则 P 关于原点的对称点 Q 的坐标为

(? x, ? y) .
已知点 Q 在函数 f ( x ) 的图象上,

?? y ? f (? x) ,而 f ( x) ? loga ( x ? 1) ,

?? y ? loga (? x ? 1), ? y ? ? loga (? x ? 1),
而 P ( x, y ) 是函数 y ? g ( x) 图象上的点,

? y ? g ( x) ? ? log a (? x ? 1) ? log a
(2)当 x ? [0,1) 时,

1 . 1? x

????????5 分

f ( x) ? g ( x) ? log a ( x ? 1) ? log a

1 1? x ? log a . 1? x 1? x

????????7 分

下面求当 x ? [0,1) 时 f ( x) ? g ( x) 的最小值.

1? x t ?1 ? t ,则 x ? . 1? x t ?1 t ?1 ? 1 ,解得 t ? 1 , x ? [0,1) ,即 0 ? t ?1 1? x ? ? 1. 1? x 1? x ? log a 1 ? 0 , 又 a ? 1,? log a 1? x

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??????????????10 分 ??????????????11 分

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? f ( x ) ? g ( x) ? 0 ,

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? x ? [0, 1) 时, f ( x) ? g ( x) 的最小值为 0. 1) 时,总有 f ( x) ? g ( x) ? m 成立, 当 x ?[0,
? m ? 0 ,即所求 m 的取值范围为 (??, 0] .
??????????????13 分

21.解: (Ⅰ)令 y ? ? x, f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 1

x ? y ? 0得f (0) ? 1
即 f (? x) ? 1 ? ?[ f ( x) ? 1]

? f ( x) ? 1 是奇函数.

????????????????4 分

(Ⅱ)任取 x1 , x2 ? (??, ??) 且 x1 ? x2 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 )

? f(x x ) ? 1 ? f (1x )? f (2 x ? 1 x )? 1 2 ? x 1 ) ? f( 1

由(2)知

? [ f 1( x? 2 x ) ? 1]

x1 ? x2 ? 0 . 则 f ( x1 ? x2 ) ? 1,? f ( x1 ? x2 ) ?1 ? 0? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0
即: f ( x2 ) ? f ( x1 ) . ? f ( x) 在 (??, ?) 上单调递减. (Ⅲ) f ( a ? 2 ? 7) ? ?
2

????9 分

1 ? f (m) 由(Ⅱ)知: a 2 ? 2a ? 7 ? m 的解集为 (?2, 4) 2 1 ? m ? 1 . 即: f (1) ? ? . ? f (2) ? ?2 f ( 4 ) ?? 5 2 13 f (5) ? f (4) ? f (1) ? 1 ? ? ??????????????14 分 2

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