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易失分点清零12


易失分点清零(十二) 推理证明、算 法、复数

易失分点1 忽视类比的对应关系致误

【示例1】? 已知圆的面积S(R)=πR2,显然S′(R)=2πR表示的
是圆的周长: c = 2πR. 把该结论类比到空间,写出球中的 类似结论:________.

解析 平面图形的面积应该和空间几何体的体积问题类比; 平面图形的周长应和空间几何体的表面积类比.所以半径为 4 4 3 R的球的体积为V(R)= 3 πR ,其导函数V′(R)= 3 ×3πR2= 4πR2,显然表示的是球的表面积. 4 3 所以结论是:以半径为R的球的体积为V(R)= 3 πR ,其导函数 表示的是球的表面积:S=4πR2.
答案 4 3 以半径为R的球的体积为V(R)= πR ,其导函数表示的 3

是球的表面积:S=4πR2

警示

该题易出现的问题是从平面圆类比到空间球的结论时

缺乏对应特点的分析,误以为是球的表面积的导数问题,而 无法得到正确的结论.

易失分点2 反证法中假设不准确导致证明错误 【示例2】? 用反证法证明:若f(x)在区间[a,b]上是增函数,

则方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根.
证明 假设方程f(x)=0在区间[a,b]上至少有两个实根α, β(且α<β),则f(α)=f(β)=0, ∵f(x)在[a,b]上为增函数, ∴f(α)<f(β),这与f(α)=f(β)矛盾,

故假设不成立,即方程 f(x) = 0 在 [a , b] 上至多有一个实
根.

警示

至多有一个实根的反面是“至少有两个实根”,而不

是“有两个实根”.

易失分点3 程序框图中执行次数判断错误

【示例3】? (2013·成都质检)如果执行下面的框图,输入N=
5,则输出的数等于 ( ).

5 A. 4 6 C. 5

4 B. 5 5 D. 6

1 1 1 1 1 1 解析 据框图可得S= + + + + =1-2 1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 +2-3+3-4+4-5+5-6=1-6=6.
答案 D

警示 心.

在判断执行次数时,算多一次或算少一次,这是最容

易犯错的地方,所以,做此类题时,判断执行次数一定要小

易失分点4 对复数的概念认识不清致误

1 1 【示例4】? 复数 + 的虚部是________. -2-i 1+2i

解析

-2+i 1-2i 1 1 1 1 + = 5 + 5 =- 5 - 5 i.∴复数 -2-i 1+2i

1 1 1 + 的虚部为-5. -2-i 1+2i

1 答案 -5

警示 复数中包含着较多的概念,并且每一个概念都包含着 一种解题的方法,忽视概念中的条件、对概念掌握不熟往往 1 是造成解题错误的主要原因.本题易错写为5.


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