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2.2.2 高二数学 反证法学习


反证法
1.概念.
不成立 , 经 过 正 确 的 推 理 , 最 后 得 出 假 设 原 命 题 ________ 矛盾 原命题成立 ________ ,因此说明假设错误,从而证明了________ ,这种证

明方法叫做反证法. 2. 反证法常见矛盾类型. 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以
已知条件、假设、定义、定理、事实 是与__________________________________ 等矛盾.

反证法的一般步骤: (1)分清命题的条件和结论; (2)做出与命题结论相矛盾的假设; (3)由假设出发,应用正确的推理,推出矛盾的结果; (4)判定出现矛盾的原因是因为假设不成立,从而原命题成 立.

常用正面词语与其否定形式 用反证法证明问题时,常用正面词语的否定形式如下表:
正面词语 等于 小于 大于 是 否定 不等于 不小于(大于或等于) 不大于(小于或等于) 不是 正面词语 都是 至多有一个 至少有一个 否定 不都是(至少 有一个不是) 至少有两个 一个也没有

例1

已知 a,b,c 是互不相等的非零实数.求证:三个

方程 ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0 至少 有一个方程有两个相异实根.

解:假设三个方程都没有两个相异实根, 则 Δ1=4b2-4ac≤0, Δ2=4c2-4ab≤0, Δ3=4a2-4bc≤0. 相加有 a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0, 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,(*) 由题意 a,b,c 互不相等,所以(*)式不能成立. 所以假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个 相异实根.

例2

求证:若函数 f(x)在区间[a,b]上是增函数,那么

方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至多有一个实根.

证明:假设方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至少有两个实根,设 α、β 为其中的两个实根. 因为 α≠β ,不妨设 α<β, 又因为函数 f(x)在[a,b]上是增函数,所以 f(α)<f(β). 这与假设 f(α)=0=f(β)矛盾,所以方程 f(x)=0 在 区间[a,b]上至多有一个实根.

例 3

求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是

平行四边形.

已知:如图所示,A,B,C,D 是抛物线 y2=2px(p>0)上的 任意四点,其坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4).连 接 AB,BC,CD,DA.

y2-y1 2p 证明:由题意,kAB= = , x2-x1 y1+y2 2p 2p 2p 同理 kBC= ,k = ,k = . y3+y2 CD y4+y3 DA y1+y4 假设四边形 ABCD 为平行四边形, 则有 kAB=kCD, kBC=kDA.
? ?y2+y1=y3+y4,① 即有? ? ?y3+y2=y1+y4,②

由①-②,得 y1-y3=y3-y1,

2 y2 y 1 3 ∴y1=y3.从而有 y2=y4,则 x1=2p=2p=x3.

同理 x2=x4.∵x1=x3,x2=x4,y1=y3,y2=y4, ∴A,C 点重合,B,D 点重合,

这与 A,B,C,D 为抛物线上任意四点矛盾,故假设不成立. ∴四边形 ABCD 不可能是平行四边形.

练习 已知 a、b 均为有理数,且 a和 b都是无理数, 求证: a+ b是无理数.
证明:假设 a+ b为有理数, ∵a、b 为有理数,且 a+ b为有理数, a-b ∴ a- b= 为有理数, a+ b ∴( a+ b)+( a- b)=2 a为有理数, 则 a也应为有理数,这与已知 a为无理数矛盾. ∴ a+ b一定为无理数.


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