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【高优指导】2016届高考数学二轮复习 专题能力训练9 三角变换、平面向量与解三角形 文


专题能力训练 9
一、选择题 2 1.已知 sin2α =,则 cos =( )

三角变换、平面向量与解三角形

A. B.C. D.2.若平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(6,0),|b|=1,则|a+2b|=( ) A. B.2 C.4 D.12 3.已知锐角 A,B 满足 2tan A=tan(A+B),则 tan B 的最大值为( ) A.2 B. C. D. 4.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且,则 B=( ) A. B. C. D. 5.已知 A(-3,0),B(0,),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=60°,设=λ ,则实数 λ =( ) A. B. C. D.3 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且满足 csin A=acos C,则 sin A+sin B 的最大值 为( ) A.1 B. C. D.3 二、填空题 7.在△ABC 中,若 sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC 的形状为 . 8.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)∥(a-2b),则等于 . 2 2 9.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,已知 a =2b+c ,且 tan A=3tan C,则

b=

.

三、解答题 10.(2014 江苏高考,15)已知 α ∈,sinα =. (1)求 sin 的值; (2)求 cos 的值.

11.已知 a=(sinθ ,1),b=(1,cosθ ),c=(0,3),-<θ <. (1)若(4a-c)∥b,求 θ ; (2)求|a+b|的取值范围.

1

12.已知函数 f(x)=sincos+sin ,其图象的两个相邻对称中心的距离为,且过点. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a=,S△ABC=2,角 C 为锐角,且满足 f,求 c 的值.

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答案与解析 专题能力训练 9
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三角变换、平面向量与解三角形

1.C 解析:cos =,故选 C. 2.B 解析:由题意知|a|=6, 2 2 2 ∵|a+2b| =a +4a·b+4b =36+4×6×1×cos60°+4=52, ∴|a+2b|=2. 3.D 解析:由 2tan A=tan(A+B)可得 2tan A=, 2 ∴2tan Atan B-tan A+tan B=0. ∴tan B=, 又 A 为锐角,∴2tan A+≥2, ∴tan B≤,故选 D. 2 2 2 2 2 2 4.C 解析:由 sin A=,sin B=,sin C=,代入整理得? c -b =ac-a ,所以 a +c -b =ac,即 cos B=, 所以 B=,故答案为 C. 5.C 解析:由=λ ,得 λ ,因此共线. 设 C 点坐标为(x,)(x<0), ∵∠AOC=60°,∴∠BOC=30°. ∴=tan30°=. ∴x=-1,∴=(-1,0). ∵=(-3,0),∴λ =. 6.C 解析:∵csin A=acos C, ∴sin Csin A=sin Acos C,即 sin C=cos C. ∴tan C=,C=,A=-B. ∴sin A+sin B=sin+sin B=sin. ∵0<B<,∴<B+. 故当 B+,即 B=时,sin A+sin B 的最大值为,应选 C. 7.直角三角形 解析:sin(A-B)=1+2cos(B+C)·sin(A+C)=1-2cos Asin B, ∴sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B, ∴sin Acos B+cos Asin B=1, 即 sin(A+B)=sin C=1,∴∠C=.

2

故△ABC 为直角三角形. 8.- 解析:ma+nb=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n),a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1). 由(ma+nb)∥(a-2b)? -(2m-n)=4(3m+2n),整理得 14m=-7n,则=-. 9.4 解析:(方法一)在△ABC 中, ∵tan A=3tan C, ∴sin Acos C=3cos Asin C,则由正弦定理及余弦定理有 a·=3·c, 2 2 2 化简并整理得 2(a -c )=b . 2 2 又由已知得 a -c =2b, 2 ∴4b=b ,解得 b=4 或 b=0(舍). 2 2 2 (方法二)由余弦定理得 a -c =b -2bccos A. 2 2 又 a -c =2b,b≠0,∴b=4ccos A+2.① ∵tan A=3tan C, ∴sin Acos C=3cos Asin C. ∴sin Acos C+cos Asin C=4cos Asin C, 即 sin(A+C)=4cos Asin C,也即 sin B=4cos Asin C. 由正弦定理得 sin B=sin C,故 b=4ccos A.② 由①②解得 b=4. 10.解:(1)因为 α ∈,sinα =, 所以 cosα =-=-. 故 sin=sincosα +cossinα

==-.
(2)由(1)知 sin2α =2sinα cosα =2×=-, 2 cos2α =1-2sin α =1-2×, 所以 cos=coscos2α +sinsin2α ==-. 11.解:(1)4a-c=(4sinθ ,4)-(0,3)=(4sinθ ,1). ∵(4a-c)∥b,∴4sinθ cosθ -1=0. ∴sin2θ =. ∵θ ∈,∴2θ ∈(-π ,π ). ∴2θ =或 2θ =,即 θ =或 θ =. (2)a+b=(sinθ +1,1+cosθ ),

|a+b|= =,
由(1)知-<θ +, ∴sin. ∴2sin∈(-2,2]. ∴|a+b|∈(1,+1]. 12.解:(1)f(x)=sin(ω x+φ )+[1-cos(ω x+φ )] =sin. ∵其图象的两个相邻对称中心的距离为, 则 T=π ,∴=π . ∵ω >0,∴ω =2. 又 f(x)的图象过点, ∴sin=1, 即 sin.∴cosφ =. ∵0<φ <,∴φ =. ∴f(x)=sin. (2)∵f=sin =sin C+, ∴sin C=. ∵0<C<,∴cos C=.

3

又 a=,S△ABC=absin C=×b×=2, ∴b=6. 2 2 2 由余弦定理得 c =a +b -2abcos C=21,∴c=.

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