当前位置:首页 >> 数学 >>

安徽省安庆市枞阳县浮山中学2015届高三下学期高考模拟最后一卷数学(理)试卷


2015 年安徽省安庆市枞阳县浮山中学高考数学模拟最后一卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中.只 有一项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 z(1+i)=1﹣i(i 是虚数单位) ,则 z 的共轭复数 =( A. ﹣i B. C. i D. ) )

2.某几何体的三视图如图,其中俯视图是半个圆,则该几何体的表面积为(

A.

B.

C.

D.

3.在极坐标系中,过点(2, A. ρ= sinθ B. ρ=

)且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( cosθ C. ρsinθ= D. ρcosθ=



4. 图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图, 第 1 次到 14 次的考试成绩依 次记为 A1, A2, …, A14. 图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图. 那 么算法流程图输出的结果是( )

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5.已知“命题 p:? x∈R,使得 ax +2x+1<0 成立”为真命题,则实数 a 满足(
2



A. 0,1) B. (﹣∞,1) C. 1,+∞) D. (﹣∞,1] 6.若函数 f(x)=(k﹣1)a ﹣a (a>0,a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g (x)=loga(x+k)的图象是( )
x ﹣x

A.

B.

C.

D.

7.等比数列{an}的首项为 1,公比为 q,前 n 项和记为 S,由原数列各项的倒数组成一个新 数列{ },则{ }的前 n 项之和 S′是( )

A.

B.

C.

D.

8.若实数 x,y 满足

,则 z=3

x+2y

的最大值是(



A. 0 B. 1 C.
n

D. 9
*

9.若二项式(2﹣x) (n∈N )的展开式中所有项的系数的绝对值之和是 a,所有项的二项 式系数之和是 b,则 A. 2 B. C. 的最小值是( D. )

10. 有 7 张卡片分别写有数字 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 从中任取 4 张, 可排出的四位数有 ( 个. A. 78 B. 102 C. 114 D. 120



二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置 11.设全集 U=R,A={x| <0},B={y=cosx,x∈A},则 A∩B= .

12.椭圆 标是

=1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m,则当 m 取最大值时,点 P 的坐 .
2

13.已知直线 AB:x+y﹣6=0 与抛物线 y=x 及 x 轴正半轴围成的阴影部分如图所示,若从 Rt △AOB 区域内任取一点 M(x,y) ,则点 M 取自阴影部分的概率为 .

14. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c, 若 则角 B 的值为 15.设 O 为△ABC 所在平面上一点,则下列说法中正确的有 序号) ①若 ②若 = ,则 O 为△ABC 的垂心; = ,则点 O 是△ABC 的内心;



(填上正确命题的

③若 O 在△ABC 内部,且 3

,则

= ;

④若 O 在△ABC 内部,且

= ,则 S△ABO:S△BCO:S△ACO=3:1;2.

三、解答题:本大题共 6 小题.共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡上的指定区域内. 16.已知 f(x)的定义域为[﹣π,π],且 f(x)为偶函数,且当 x∈[0,π]时,f(x) =2sin(x+ ) .

(1)求 f(x)的解析式及 f(x)的单调增区间; (2)若[f(x)] ﹣
2

f(x)=0,求 x 的所有可能取值. ,AB=AD= ,将

17.如图,四边形 ABCD 中(图 1) ,E 是 BC 的中点,DB=2,DC=1,BC= (图 1)沿直线 BD 折起,使二面角 A﹣BD﹣C 为 60°(如图 2) (1)求证:AE⊥平面 BDC; (2)求直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值.

18.已知数列{an}为等比数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4=﹣ Sn,Sn+2,Sn+1 成等差数列; (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)已知 bn=n(n∈N+) ,记 ﹣1)对于 n≥2 恒成立,求实数 m 的范围.

,且对于任意的 n∈N 有

*

,若(n﹣1) ≤m(Tn﹣n

2

19.如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而下落 A 或 B 或 C.已知小球从每个叉口落 入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动, 若投入的小球落 到 A,B,C,则分别设为 l,2,3 等奖. (I)已知获得 l,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%,90%.记随变量ξ为获得 k(k=1,2, 3)等奖的折扣率,求随机变量ξ的分布列及期望Εξ; (II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动,记随机变量η为获得 1 等奖或 2 等奖的人次,求 P(η=2) .

20.如图,过点 N(0,1)和 M(m,﹣1) (m≠0)的动直线 l 与抛物线 C:x =2py 交于 P、Q 两点(点 P 在 M、N 之间) ,O 为坐标原点. (1)若 p=2,m=2,求△OPQ 的面积 S; (2)对于任意的动直线 l,是否存在常数 p,总有∠MOP=∠PON?若存在,求出 p 的值;若 不存在,请说明理由.

2

21.已知函数 f(x)=lnx﹣mx ,g(x)=

2

+x,m∈R 令 F(x)=f(x)+g(x) .

(Ⅰ)当 m= 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 F(x)≤mx﹣1 恒成立,求整数 m 的最小值; (Ⅲ)若 m=﹣2,正实数 x1,x2 满足 F(x1)+F(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2 .

2015 年安徽省安庆市枞阳县浮山中学高考数学模拟最后 一卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中.只 有一项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 z(1+i)=1﹣i(i 是虚数单位) ,则 z 的共轭复数 =( A. ﹣i B. C. i D. )

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 由 z(1+i)=1﹣i,得到 z= 解答: 解:∵z(1+i)=1﹣i, ∴z= = =﹣i, =﹣i,由此能求出 z 的共轭复数 .

∴z 的共轭复数 =i. 故选 C. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,是基础题.解题时要认真审题,注意共轭复 数的概念的灵活运用. 2.某几何体的三视图如图,其中俯视图是半个圆,则该几何体的表面积为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答: 2.

由三视图求面积、体积. 空间位置关系与距离. 利用三视图判断几何体的形状,通过三视图是数据,求出几何体的表面积即可. 解:由三视图可知几何体底面半径为 1,高为 的圆锥的一半,圆锥的母线长为:

所以所求几何体的表面积为: S 表=S 侧+S 底= π? 1? 1+

+

=



故选 C. 点评: 本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情 况,同时考查空间想象能力.

3.在极坐标系中,过点(2, A. ρ= sinθ B. ρ=

)且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( cosθ C. ρsinθ= D. ρcosθ=



考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 根据直线上的任意一点(ρ,θ)满足ρcosθ=2×cos 坐标方程. 解答: 解:由题意可得,直线上的任意一点(ρ,θ)满足ρcosθ=2×cos 化简可得 ρcosθ= , 故选:D. 点评: 本题主要考查求简单曲线的极坐标方程,属于基础题. 4. 图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图, 第 1 次到 14 次的考试成绩依 次记为 A1, A2, …, A14. 图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图. 那 么算法流程图输出的结果是( ) , ,化简可得所求直线的极

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 考点: 茎叶图;循环结构. 专题: 阅读型. 分析: 根据流程图可知该算法表示统计 14 次考试成绩中大于等于 90 的人数,结合茎叶图 可得答案. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加 14 次考试成绩超过 90 分的人数; 根据茎叶图的含义可得超过 90 分的人数为 10 个 故选 D

点评: 本题主要考查了循环结构,以及茎叶图的认识,解题的关键是弄清算法流程图的含 义,属于基础题. 5.已知“命题 p:? x∈R,使得 ax +2x+1<0 成立”为真命题,则实数 a 满足( A. 0,1) B. (﹣∞,1) C. 1,+∞) D. (﹣∞,1] 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 计算题. 分析: q 为真命题,通过对二次项系数的讨论求出 a 的范围化简命题. 解答: 解:由题意,p 为真命题. (1)当 a=0 时成立; (2)a<0 时恒成立; (3)a>0 时,有 ,解得 0<a<1
2



综上,a<1, 故选 B. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,解决二次函数注意对二次项系数的讨论、复合命 题的真假与构成其简单命题的真假关系. 6.若函数 f(x)=(k﹣1)a ﹣a (a>0,a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g (x)=loga(x+k)的图象是( )
x ﹣x

A.

B.

C.

D. 考点: 奇偶性与单调性的综合;对数函数的图像与性质. 专题: 数形结合. 分析: 根据函数是一个奇函数,函数在原点出有定义,得到函数的图象一定过原点,求出 k 的值,根据函数是一个减函数,看出底数的范围,得到结果. 解答: 解:∵函数 f(x)=(k﹣1)a ﹣a (a>0,a≠1)在 R 上是奇函数, ∴f(0)=0 ∴k=2, 又∵f(x)=a ﹣a 为减函数, 所以 1>a>0, 所以 g(x)=loga(x+2)
x ﹣x x ﹣x

定义域为 x>﹣2,且递减, 故选:A 点评: 本题考查函数奇偶性和单调性,即对数函数的性质,本题解题的关键是看出题目中 所出现的两个函数性质的应用. 7.等比数列{an}的首项为 1,公比为 q,前 n 项和记为 S,由原数列各项的倒数组成一个新 数列{ },则{ }的前 n 项之和 S′是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 对 q 分类讨论,利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式计算出即可. 解答: 解:q=1 时,an=1,S=n, =1,S′=n,∴S′= .

当 q≠1 时,an=q

n﹣1



.

=

,∴S′=

=

=



综上可知:S′=



故选:D. 点评: 本题考查了分类讨论方法、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

8.若实数 x,y 满足

,则 z=3

x+2y

的最大值是(



A. 0 B. 1 C.

D. 9

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,设 m=x+3y,利用 m 的几何意义,利用数形结合,先 求出 m 的最大值,即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 设 m=x+2y,则 z=3
x+2y

=3 ,

m

由 m=x+2y 得 y=﹣ x+ m,

平移直线 y=﹣ x+ m,由图象可知当直线 y=﹣ x+ m 经过点 B(0,1)时, 直线的截距最大,此时 m 最大. 此时 mmax=0+2=2, 2 即 zmax=3 =9, 故选:D.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.先求出指数幂 m=x+3y 的最值是解决本题的关键. 9.若二项式(2﹣x) (n∈N )的展开式中所有项的系数的绝对值之和是 a,所有项的二项 式系数之和是 b,则 A. 2 B. C. 的最小值是( D. )
n *

考点: 二项式系数的性质;二项式定理的应用. 专题: 不等式的解法及应用;二项式定理. 分析: 取 x=﹣1 求得 a,由二项式系数的性质求得 b,然后利用函数的单调性求得 最小值. 解答: 解:取 x=﹣1,得 a=3 , 又 b=2 ,∴
n n







=





故选:B. 点评: 本题考查了二项式定理、函数的单调性,考查了计算能力,属于基础题. 10. 有 7 张卡片分别写有数字 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 从中任取 4 张, 可排出的四位数有 ( 个. A. 78 B. 102 C. 114 D. 120 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题;排列组合. )

分析: 根据题意,分四种情况讨论:①、取出的 4 张卡片种没有重复数字,即取出的 4 张 卡片中的数字为 1、2、3、4,②、取出的 4 张卡片种有 2 个重复数字,则 2 个重复的数字 为 1 或 2,③若取出的 4 张卡片为 2 张 1 和 2 张 2,④、取出的 4 张卡片种有 3 个重复数字, 则重复的数字为 1,分别求出每种情况下可以排出四位数的个数,由分类计数原理计算可得 答案. 解答: 解:根据题意,分四种情况讨论: ①、取出的 4 张卡片种没有重复数字,即取出的 4 张卡片中的数字为 1、2、3、4, 此时有 A4 =24 种顺序,可以排出 24 个四位数; ②、取出的 4 张卡片种有 2 个重复数字,则 2 个重复的数字为 1 或 2, 若重复的数字为 1,在 2、3、4 中取出 2 个,有 C3 =3 种取法,安排在四个位置中,有 A4 =12 种情况,剩余位置安排数字 1, 可以排出 3×12=36 个四位数, 同理,若重复的数字为 1,也可以排出 36 个重复数字; ③、若取出的 4 张卡片为 2 张 1 和 2 张 2, 在 4 个位置安排两个 1,有 C4 =6 种情况,剩余位置安排两个 2, 则可以排出 6×1=6 个四位数; ④、取出的 4 张卡片种有 3 个重复数字,则重复的数字为 1, 在 2、3、4 中取出 1 个卡片,有 C3 =3 种取法,安排在四个位置中,有 C4 =4 种情况,剩余 位置安排 1, 可以排出 3×4=12 个四位数; 则一共有 24+36+36+6+12=114 个四位数; 故选 C. 点评: 本题考查排列组合的运用,解题时注意其中重复的数字,要结合题意,进行分类讨 论. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置 11.设全集 U=R,A={x| <0},B={y=cosx,x∈A},则 A∩B= (cos2,1] .
1 1 2 2 2 4

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,找出 A 与 B 的交集即 可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得: (x﹣2) (x+1)<0, 解得:﹣1<x<2,即 A=(﹣1,2) , 由 B 中 y=cosx,x∈A,得到 cos2<cosx≤1,即 B=(cos2,1], 则 A∩B=(cos2,1], 故答案为: (cos2,1] 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

12.椭圆

=1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m,则当 m 取最大值时,点 P 的坐

标是 (﹣3,0)或(3,0) .

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据|PF1|? |PF2|≤ 的坐标. 解答: 解:记椭圆的二焦点为 F1,F2, 有|PF1|+|PF2|=2a=10 则知 m=|PF1|? |PF2|≤ =25 ,当|PF1|=|PF2|时 m 最大,进而求出点 p

当且仅当|PF1|=|PF2|=5,即点 P 位于椭圆的短轴的顶点处时, m 取得最大值 25. ∴点 p 的坐标为(﹣3,0)或(3,0) 故答案为: (﹣3,0)或(3,0) 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程的性质.灵活运用椭圆的第一定义是解这道题的关 键. 13.已知直线 AB:x+y﹣6=0 与抛物线 y=x 及 x 轴正半轴围成的阴影部分如图所示,若从 Rt △AOB 区域内任取一点 M(x,y) ,则点 M 取自阴影部分的概率为 .
2

考点: 几何概型;定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题;图表型. 分析: 欲求所投的点落在阴影内部的概率,利用几何概型解决,只须利用定积分求出阴影 图的面积,最后利用它们的面积比求得即可概率. 解答: 解:由定积分可求得阴影部分的面积为 S=∫0 x dx+∫2 (6﹣x)dx = = ,
2 2 6

又 Rt△AOB 的面积为:

所以 p=

=

. .

故答案为:

点评: 本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识,考查运算求解能力,考查数形结 合思想、化归与转化思想.属于基础题.

14. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c, 若 则角 B 的值为 或



考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据余弦定理进行化简,进而得到 sinB 的值,再由正弦函数的性质可得到最后答 案. 解答: 解:∵ ∴B= 或 ,∴cosB×tanB=sinB=

故选 B. 点评: 本题主要考查余弦定理的应用.考查计算能力. 15.设 O 为△ABC 所在平面上一点,则下列说法中正确的有 ①③④ (填上正确命题的序 号) ①若 ②若 = ,则 O 为△ABC 的垂心; = ,则点 O 是△ABC 的内心;

③若 O 在△ABC 内部,且 3

,则

= ;

④若 O 在△ABC 内部,且

= ,则 S△ABO:S△BCO:S△ACO=3:1;2.

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 综合题;平面向量及应用. 分析: ①将已知向量等式变形,利用向量的运算法则化简,再利用向量垂直的充要条件判 断出两个向量垂直得到两条线垂直,判断出 O 为垂心. ②根据向量的减法,利用数量积运算和题意代入式子进行化简,证出 OC⊥AB,同理可得 OB ⊥AC,OA⊥BC,即证出 O 是△ABC 的垂心. ③取 BC 的中点 O,若 O 在△ABC 内部,且 3 ,OD= AD,可得 = ;

④延长 OB 到点 E, 使得 利用
△BOC

=2

, 分别以 =3



为邻边作平行四边形 OAFE, 则

+2

=



= , 可得

, 从而可得 S△ABC=2S△AOB. 同理可得: S△ABC=3S△AOC, S△ABC=6S

. ,则( ﹣ ) ? =0,∴ ⊥ ,∴CA⊥OB,

解答: 解:①若

同理 OA⊥BC,∴O 是△ABC 的垂心,正确; ②设 = , = , = ,则 =
2 2 2

= ﹣ ,

= ﹣ , = = ?

= ﹣ . , ,即( ﹣ ) ? =0,

由题可知,
2

∴| | +| ﹣ | =| | +| ﹣ | ,化简可得 ? ∴ 不正确; ③取 BC 的中点 O,若 O 在△ABC 内部,且 3 ,∴ ⊥

,即 OC⊥AB.同理可得 OB⊥AC,OA⊥BC.∴O 是△ABC 的垂心,

,OD= AD,则

= ,正确;

④延长 OB 到点 E,使得 则 ∵ 又 =2 ,∴ +2 = , = ,∴ =2

=2

,分别以



为邻边作平行四边形 OAFE.

=3 =

. ,∴S△ABC=2S△AOB.

.∴

同理可得:S△ABC=3S△AOC,S△ABC=6S△BOC. ∴S△ABO:S△BCO:S△ACO=3:1;2 故答案为:①③④.

点评: 本题考查了向量在几何中应用, 主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明, 特别证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明. 三、解答题:本大题共 6 小题.共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡上的指定区域内.

16.已知 f(x)的定义域为[﹣π,π],且 f(x)为偶函数,且当 x∈[0,π]时,f(x) =2sin(x+ ) .

(1)求 f(x)的解析式及 f(x)的单调增区间; (2)若[f(x)] ﹣
2

f(x)=0,求 x 的所有可能取值.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数的零点与方程根的关系. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据偶函数满足 f(﹣x)=f(x) ,求出当 x∈[﹣π,0]时的解析式,即可得 到 f(x)的解析式,画出函数图象,易得 f(x)的单调增区间; (2)若[f(x)] ﹣ f(x)=0,则 f(x)=0 或 f(x)= 解答: 解: (1)当 x∈[﹣π,0]时,﹣x∈[0,π], f(﹣x)=2sin(﹣x+ )
2

,进而可得 x 的取值

由于 f(x)为偶函数,则 f(﹣x)=f(x) , 故 f(x)=2sin(﹣x+ )x∈[﹣π,0]

即 f(x)=



画出 f(x)的图象

由图象可以易得 f(x)的单调增区间为[﹣π,﹣ 分) (2)方程等价于 f(x)=0 或 f(x)= 当 x= 当0或 时 f(x)=0; 时 f(x)= ,

]和[0,

].﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6



综上可知 x 的所有可能取值为 0,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质,函数的图象,熟练掌握正弦型函数 的图象和性质,是解答的关键.

17.如图,四边形 ABCD 中(图 1) ,E 是 BC 的中点,DB=2,DC=1,BC= (图 1)沿直线 BD 折起,使二面角 A﹣BD﹣C 为 60°(如图 2) (1)求证:AE⊥平面 BDC; (2)求直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值.

,AB=AD=

,将

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)先根据条件得到 BD⊥平面 AEM;进而通过求边长得到 AE⊥ME;即可得到结论; (2)先建立空间直角坐标系,求出平面 ADC 的法向量的坐标,再代入向量的夹角计算公式 即可. 解答: (1)证明:如图 1 取 BD 中点 M,连接 AM,ME. ∵AB=AD= , ∴AM⊥BD ∵DB=2,DC=1,BC= , 2 2 2 DB +DC =BC , ∴△BCD 是 BC 为斜边的直角三角形,BD⊥DC, ∵E 是 BC 的中点,∴ME 为△BCD 的中位线 ∴ME∥CD,ME= CD, ∴ME⊥BD,ME= , ∴∠AME 是二面角 A﹣BD﹣C 的平面角, ∴∠AME=60°…(3 分) ∵AM⊥BD,ME⊥BD 且 AM、ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线, ∴BD⊥平面 AEM∵AE? 平面 AEM, ∴BD⊥AE ∵AB=AD= ,DB=2, ∴△ABD 为等腰直角三角形, ∴AM= BD=1, ∴AAE =AM +ME ﹣2AM? ME? cos∠AME= , ∴AE=
2 2 2 2


2 2

∴AE +ME =1=AM , ∴AE⊥ME=M,

∴BD∩ME,BD? 平面 BDC,ME? 面 BDC, ∴AE⊥平面 BDC …(6 分) (2)解:如图 2,以 M 为原点 MB 为 x 轴,ME 为 y 轴,建立空间直角坐标系 M﹣xyz, 则由(1)及已知条件可知 B(1,0,0) ,E(0, ,0) ,A(0, , C(﹣1,1,0) , ∴ =(1, , ) , =(0,1,0) , =(0,0,﹣ ) ,…(8 分) ) ,D(﹣1,0,0) ,

设平面 ACD 的法向量为 =(x,y,z)



,∴ =(

,0,﹣2) ,

设直线 AE 与平面 ADC 所成角为α,则 sinα=

=

…(10 分)

∴直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值为

…(12 分)

点评: 本题主要考察线面垂直的证明以及二面角的求法.一般在证明线面垂直时,先转化 为证明线线垂直.进而得到线面垂直.
*

18.已知数列{an}为等比数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4=﹣ Sn,Sn+2,Sn+1 成等差数列; (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)已知 bn=n(n∈N+) ,记 ﹣1)对于 n≥2 恒成立,求实数 m 的范围. 考点: 等比数列的通项公式;数列的求和;数列与函数的综合. 专题: 等差数列与等比数列.

,且对于任意的 n∈N 有

,若(n﹣1) ≤m(Tn﹣n

2

分析:(Ⅰ) 设出等比数列的公比, 利用对于任意的 n∈N+有 Sn, Sn+2, Sn+1 成等差得 2S3=S1+S2, 代入首项和公比后即可求得公比,再由已知 列{an}的通项公式可求; (Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的 an 和已知 bn=n 代入
2

,代入公比后可求得首项,则数

整理,然后利用错位相减法求 Tn,把 Tn

代入(n﹣1) ≤m(Tn﹣n﹣1)后分离变量 m,使问题转化为求函数的最大值问题,分析函 数的单调性时可用作差法. 解答: 解: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q, ∵对于任意的 n∈N+有 Sn,Sn+2,Sn+1 成等差, ∴2 整理得: ∵a1≠0,∴,2+2q+2q =2+q. ∴2q +q=0,又 q≠0,∴q= 又 把 q= 所以, (Ⅱ)∵bn=n, ,∴ 代入后可得 . ; ,
2 2

. .

. ,



. .



=


2



若(n﹣1) ≤m(Tn﹣n﹣1)对于 n≥2 恒成立, 2 n+1 则(n﹣1) ≤m[(n﹣1) ? 2 +2﹣n﹣1]对于 n≥2 恒成立, 2 n+1 也就是(n﹣1) ≤m(n﹣1) ?(2 ﹣1)对于 n≥2 恒成立, ∴m≥ 对于 n≥2 恒成立,







=

∴f(n)为减函数,∴f(n)≤f(2)=



∴m


2

所以, (n﹣1) ≤m(Tn﹣n﹣1)对于 n≥2 恒成立的实数 m 的范围是[

) .

点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了错位相减法求数列的前 n 项和,考查了数 列的函数特性, 训练了利用分离变量法求参数的取值范围, 解答此题的关键在于判断分离变 量后的函数的单调性,利用了比较大小的基本方法﹣作差法. 此题属中高档题. 19.如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而下落 A 或 B 或 C.已知小球从每个叉口落 入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动, 若投入的小球落 到 A,B,C,则分别设为 l,2,3 等奖. (I)已知获得 l,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%,90%.记随变量ξ为获得 k(k=1,2, 3)等奖的折扣率,求随机变量ξ的分布列及期望Εξ; (II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动,记随机变量η为获得 1 等奖或 2 等奖的人次,求 P(η=2) .

考点: 离散型随机变量的期望与方差;二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)解:由题意知随变量ξ为获得 k 等奖的折扣,则ξ的可能取值是 50%,70%, 90%,结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式写出变量的分布列,做出期望. (2)根据第一问可以得到获得一等奖或二等奖的概率,根据小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等的. 可以把获得一等奖或二等奖的人次看做符合二项分布, 根据二项分 布的概率公式得到结果.

解答: 解: (Ⅰ)解:随变量量ξ为获得 k(k=1,2,3)等奖的折扣,则ξ的可能取值是 50%,70%,90% P(ξ=50%)= ,P(ξ=70%)= ,P(ξ=90%)=

∴ξ的分布列为 ξ 50% 70% 90% P ∴Εξ= ×50%+ ×70%+ 90%= . + = .

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 由题意得η~(3, 则 P(η=2)=C3 (
2

) ) (1﹣
2

)=



点评: 本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念, 同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识,是一个综合题. 20.如图,过点 N(0,1)和 M(m,﹣1) (m≠0)的动直线 l 与抛物线 C:x =2py 交于 P、Q 两点(点 P 在 M、N 之间) ,O 为坐标原点. (1)若 p=2,m=2,求△OPQ 的面积 S; (2)对于任意的动直线 l,是否存在常数 p,总有∠MOP=∠PON?若存在,求出 p 的值;若 不存在,请说明理由.
2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由直线 l 的方程与抛物线方程组成方程组,表示出点 P、Q 的坐标,计算△OPQ 的面积 S 的值; (2)假设存在点 P 满足条件,根据 M、P、N 三点共线以及∠MOP=∠PON, 得出点 P 到 y 轴距离与到直线 OM 的距离相等,求出 p 的值是常数. 解答: 解: (1)由题意,直线 l 的方程为 y=﹣x+1.设点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 由 ,得 x +4x﹣4=0,
2

则 x1+x2=﹣4,x1x2=﹣4,

∴S= |ON|? |x1﹣x2| = = =2 ;﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ;

(2)设点 P(x0,y0) ,则 y0=

由 M、P、N 三点共线,得 m=

;﹣﹣﹣(7 分)

由∠MOP=∠PON, 得点 P 到 y 轴距离与到直线 OM:x+my=0 距离相等, 即|x0|=
2


2

∴ 即m

+m

=

+m

+2mx0y0,

=m

+2x0y0;﹣﹣﹣﹣(9 分)

把 y0=

,m=

=

代入,



=

?

+




2

=

+ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

∴4p =

+2p﹣



解得 p= ; 故存在常数 p= ,总有∠MOP=∠PON.﹣﹣﹣(13 分) 点评: 本题考查了直线方程与抛物线方程的综合应用问题,也考查了角平分线的应用问题 以及根与系数的应用问题,考查了运算能力与推理证明的能力,是综合性题目.
2

21.已知函数 f(x)=lnx﹣mx ,g(x)=

+x,m∈R 令 F(x)=f(x)+g(x) .

(Ⅰ)当 m= 时,求函数 f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)若关于 x 的不等式 F(x)≤mx﹣1 恒成立,求整数 m 的最小值; (Ⅲ)若 m=﹣2,正实数 x1,x2 满足 F(x1)+F(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2 .

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)先求函数的定义域,然后求导,通过导数大于零得到增区间; (2)不等式恒成立问题转化为函数的最值问题,应先求导数,研究函数的单调性,然后求 函数的最值; (3)联系函数的 F(x)的单调性,然后证明即可.注意对函数的构造. 解答: 解: (1)
2



由 f′(x)>0 得 1﹣x >0 又 x>0,所以 0<x<1.所以 f(x)的单增区间为(0,1) . (2)令 x+1.

所以

=



当 m≤0 时,因为 x>0,所以 G′(x)>0 所以 G(x)在(0,+∞)上是递增函数, 又因为 G(1)=﹣ .

所以关于 x 的不等式 G(x)≤mx﹣1 不能恒成立. 当 m>0 时, 令 G′(x)=0 得 x= ,所以当 (x)<0. 因此函数 G(x)在 故函数 G(x)的最大值为 令 h(m)= ,因为 h(1)= 是增函数,在 . ,h(2)= . 是减函数. . 时,G′(x)>0;当 时,G′

又因为 h(m)在 m∈(0,+∞)上是减函数,所以当 m≥2 时,h(m)<0. 所以整数 m 的最小值为 2. (3)当 m=﹣2 时,F(x)=lnx+x +x,x>0. 由 F(x1)+F(x2)+x1x2=0,即 化简得 令 t=x1x2,则由φ(t)=t﹣lnt 得φ′(t)= . . .
2

可知φ′(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.所以φ(t)≥ φ(1)=1. 所以 ,即 成立.

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路,不等式恒成立问题转化为函数 最值问题来解的方法.属于中档题,难度不大.


赞助商链接
相关文章:
安徽省安庆市枞阳县浮山中学2015届高三下学期高考模拟...
安徽省安庆市枞阳县浮山中学2015届高三下学期高考模拟最后一卷数学(理)试卷_高二..., A14. 图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图. ...
安徽省浮山中学2015届高考模拟试卷最后一卷(英语)(含答案)
安徽省浮山中学2015届高考模拟试卷最后一卷(英语)(含答案)_高考_高中教育_教育专区。浮山中学 2015 届高考模拟试卷 英语第I卷 第一部分 听力(共两节,满分 30 ...
安徽省浮山中学2015届高考模拟试卷最后一卷(理综化学)
安徽省浮山中学2015届高考模拟试卷最后一卷(理综化学)_理化生_高中教育_教育专区...浮山中学 2015 届高考模拟试卷理综试题命题:高三理综备课组 本试卷分第Ⅰ卷(...
...最新 安徽省浮山中学2015届高考模拟数学理科试卷及...
2014~2015学年度 最新 安徽省浮山中学2015届高考模拟数学理科试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。浮山中学 2015 届高考模拟试卷 数学试题(理科) 本试卷分第 I 卷...
安徽省浮山中学2015届高考模拟试卷最后一卷(英语)
安徽省浮山中学2015届高考模拟试卷最后一卷(英语)_英语_高中教育_教育专区。浮山中学 2015 届高考模拟试卷 英语试题 命题:胡立新 李小娇 本试卷分第 I 卷(选择题...
浮山中学2015届高三最后一卷理综化学
浮山中学 2015 届高三最后一卷理科综合 化学试题可能用到的相对的原子质量: H 1 C 12 O 16 S2 Cl 35.5 Fe 56 Cu 64 7、羰基硫(OCS)是一种有臭鸡蛋...
枞阳县浮山中学2017-2018学年高二数学期中(理)试题
浮山中学 2017 ~ 2018 学年度第一学期期中考试 高二数学(理)试题命题:方龙祥 审题:高二数学备课组 本试卷分第Ⅰ(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两部分.满分 ...
...2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含...
山西省浮山中学2014-2015高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。山西省浮山中学2014-2015高二下学期期中考试数学(理)试题...
安徽省枞阳县浮山中学2017-2018年高二上学期期中考试地...
安徽省枞阳县浮山中学2017-2018年高二上学期期中考试地理试卷_数学_高中教育_教育专区。浮山中学 2017-2018 学年度第一学期期中考试高二地理试卷(考试内容:地球地图和...
...学年山西省临汾市浮山中学高二(下)期中数学试卷(理...
2014-2015山西省临汾市浮山中学高二(下)期中数学试卷(理科)一.选择题 1. (5 分) (2012 秋?房山区期末)设 a,b∈R,a+bi=(1﹣i) (2+i) (为...
更多相关文章: