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§3.1 综合法


§ 3.1 综合法 一、学习目标 1. 结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法之一:综合法; 2. 会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程. 3. 根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法. 二、问题导思:预习教材 P60—6 1 页,解决以下问题: 1. 从命题的条件出发,利用 通过 ,

,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明。

我们把这样的思维方法称为综合法。 2.综合法是“由因导果” ,即由 所以又叫顺推法。 三.自学检测 1. 求证:对于任意角θ , cos4 ? ? sin 4 ? ? cos 2? 出发,推证出要证的结论,

2. A, B 为锐角,且 tan A ? tan B ? 3 tan A tan B ? 3 , 求证: A ? B ? 60? . (提示:算 tan( A ? B) )

3.已知 a, b, c ? R ? , a ? b ? c ? 1 ,求证: 1 1 1 ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8 . a b c

4.设在四面体 P ? ABC 中, ?ABC ? 90?, PA ? PB ? PC , D 是 AC 的中点.求 证:PD 垂直于 ?ABC 所在的平面.

四.典例导学 例 1 已知 a, b, c ? R? , a ? b ? c ? 1 ,求证:

1 1 1 ? ? ?9 a b c

例 2 在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列,a、b、c 成等比数列. 求证:为△ABC 等边三角形.

五.当堂检测: 1. 已知 x, y ? R, 则" xy ? 1"是" x2 ? y 2 ? 1" 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 如果 a1 , a2 ,? ? ?a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( A. a1a8 ? a4 a5 B. a1a8 ? a4 a5 C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 3. 设 P ?
1 1 1 1 ? ? ? ,则( log 2 11 log 3 11 log 4 11 log 5 11



D. a1a8 ? a4 a5



B.1 ? P ? 2 C. 2 ? P ? 3 D. 3 ? P ? 4 3 3 1 4.若关于 x 的不等式 (k 2 ? 2k ? ) x ? (k 2 ? 2k ? )1? x 的解集为 ( , ??) ,则 k 2 2 2 的范围是____ . a? b , y ? a ? b ,则 x, y 的大小关系是 5.已知 a, b 是不相等的正数, x ? 2 _________. b ?c ?a a ?c ?b a ?b ?c 6.已知 a, c 是全不相等的正实数, b, 求证: ? ? ?3 a b c A. 0 ? P ? 1

7.在△ABC 中,证明:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b

8、设 a>0, b>0,且 a + b = 1,求证: ( a ?

1 2 1 25 ) ? (b ? ) 2 ? a b 2


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