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【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 热点专题突破二 三角函数与平面向量的综合问题课件 理


热点专题突破二 三角函数与平面向量的 综合问题

考点1 平面向量与三角函数的求值、化简的结合

以平面向量为载体考查三角函数的求值、化简是高考中常考的题型,向量起桥梁作用,旨 在考查三角函数的公式:如诱导公式,同角三角函数关系,两角和与差的三角函数公式及倍 角公式或由其产生的变形公式等.

典例 1

(2015· 福建莆田一中模拟) 如图所示:设点 A 是单位圆与 x
3 4 5 5

轴正半轴的交点,B - ,

.

(1)若∠AOB=α,求 cos α+sin α 的值; (2)设点 P 为单位圆上的一个动点,点 Q 满足 = + ,若∠ π π AOP=2θ, ≤θ≤ ,试用 θ 表示| |,并求| |的最大值.
6 2

【解题思路】(1)直接利用三角函数的定义求出正弦函数以及余弦 函数值,即可求 cos α+sin α 的值;(2)设 P(cos 2θ,sin 2θ),再表示出 | |, 然后由三角函数的值域求||的最大值.
【参考答案】(1)由 B - ,
4 5 5 3 4 5 5 3 1 5

得 sin = , cos = ? ,
5 5

4

3

所以 sin α+ cos α= ? = .

(2)由∠AOP=2θ,可设 P(cos 2θ,sin 2θ),A(1,0), 所以 = + =(1+cos 2θ,sin 2θ), 故| | = (1 + cos2 )2 + (sin2 )2 = 2 + 2cos2 =

4cos2 =|2cos θ|, π π 因为 ≤ ≤ ,
6 2

所以| | = 2cos ∈ [0, 3], 故| |的最大值为 3.

平面向量在三角函数化简、求值中的应用步骤 (1)通过向量的关系(主要是平行、垂直、数量积等)转化为一个三角函数关系; (2)利用三角函数的有关公式进行恒等变换或进行化简、求值. 注意:容易因公式不熟悉而导致错误,因此记清公式是解题的前提条件.

【变式训练】 (2015· 广东高考) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=
2 2 2 2

,-

,n=(sin x,cos x),x∈ 0,

π 2

.

(1)若 m⊥n,求 tan x 的值; π (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值.

【解析】(1)由 m⊥n,得 m· n=0, 即
2 2

3

sin ?
sin

2 2

cos x= 0.

于是,有 sin x= cos x, 故 tan x=
cos

=1.

(2)由 m 与 n 的夹角为 , 可知 m· n=|m||n| cos 而 m· n= |m|=
2 2 2 2 π π 3 3

π

= |m||n|.
2 π 4

1

sin ?
2

2 2 2

cos = sin -

,

+ , ?

2 π 4

2 π

= 1, || = sin2 + cos2 =1.
2 π π 4 4

综合上式可得 sin 又 x∈ 0,
π 4

= . ,

1

故 x- = , 即 =
6

2 π

4 5π 12

∈ - , .

考点2 平面向量与三角函数的图象、性质的结合

以平面向量为载体考查三角函数的图象与性质是高考中必考的题型,通常是利用向量关 系转化为三角函数关系,然后通过三角函数恒等变换化为一个角的三角函数形式(如 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)),从而重点考查最值、周期性、单调性、取值范围以及函数 图象的变换等.

典例2 (2016· 江西新余一中等三校联考)已知向量a=(cos x,2cos x),b=(2cos x,sin x),函数 f(x)=a· b. π (1)把函数f(x)的图象向右平移 6 个单位得到函数g(x),求g(x)的单调递增区间; (2)当a≠0,a与b共线时,求f(x)的值. 【解题思路】首先利用数量积公式转化为三角函数关系式;利用三角函数恒等式进行等 价变形并进行平移变换;利用倍角公式进行求值计算.

【参考答案】由 a=(cos x,2cos x),b=(2cos x,sin x), 得 a· b=(cos x,2cos x)· (2cos x ,sin x)=2cos2x+ 2sin x· cos x=cos 2x+sin 2x+1= 2sin 2 +
π 4

+1,
π 4

因此 f(x)= 2sin 2 +

+1,

(1)函数 f(x)的图象向右平移 个单位得到 ( ) = 2sin 2 π 6

π 6

+
π

π 4

+ 1 = 2sin 2π 12 7π 24

π

令- + 2π ≤ 2 ? 即2 5π 24

≤ +2kπ,
2 5π 24

12 π

+1,

+ π ≤ ≤

+kπ,k∈ Z. + π,
7π 24

即函数 g(x)单调递增区间为 -

+ π ,k∈ Z.

(2)由 a=(cos x,2cos x),b=(2cos x,sin x), 当 a≠0,a 与 b 共线时 ,有 tan x=4, 因此 f(x)=cos 2x+sin 2x+1=
1-ta n 2 1+ta n 2

+

2tan 1+ta n 2

+1=

1-16+8 1+16

+1=

10 17

.

平面向量与三角函数的图象与性质结合的求解策略 (1)利用平面向量的数量积公式将向量问题转化为三角函数问题; (2)利用三角函数恒等变换关系(特别是辅助角公式)化简函数解析式; (3)利用化简后的函数解析式(如y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0))研究函数的有关性质.

【变式训练】 1.(2015· 威海二模) 已知向量 m=(2cos ωx,-1),n=(sin ωx- cos ωx,2)(ω> 0),函数 f(x)=m· n+3,若函数 f(x)的图象的两个相邻对称中 π 心的距离为 . (1)求函数 f(x)的单调增区间; π (2)若将函数 f(x)的图象先向左平移 个单位,然后纵坐标不变,横坐 标缩短为原来的 倍,得到函数 g(x)的图象,当 x∈
2 1 4 π π 6 2 2

, 时,求函数

g(x)的值域.

1.【解析】(1)f(x)=m· n+3=2cos ωx(sin ωx-cos ωx)-2+3 =sin 2ωx-2cos2ωx+1=sin 2ωx- cos 2ωx π = 2sin 2- , 由题意知,T=
π 2 4 2π 2

=π,得 ω=1,
π π 4 π 2

∴f(x)= 2sin 2- 4 .
解得 kπ- ≤ ≤ π +
8 π 3π 8

由 2kπ- ≤ 2 ? ≤ 2π + ,k∈ Z, ,k∈ Z,
π 3π 8

∴f(x)的单调增区间为 π- 8 ,π +

,k∈ Z.

(2)由题意,若 f(x)的图象向左平移 个单位, 得到 = 2sin 2 +
4 1 2 π 4

π

π 4

,

再由纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍, 得到 () = 2sin 4 + ,
π π π 11π 9π 12

∵x∈ 6 , 2 , ∴4x+ 4 ∈

,

∴-1≤sin 4 + 4 ≤

4 π

,
2 2

,

∴函数 g(x)的值域为[- 2,1].

2.(2016· 甘肃天水一中月考) 设向量 m=(sin 2ωx,cos 2ωx),n=(cos π φ,sin φ),其中|φ|< ,ω>0,函数 f(x)=m· n 的图象在 y 轴右侧的第一个
2

最高点(即函数取得最大值的点)为 P 一个交点为 Q
5π 12

π 6

,1 ,在原点右侧与 x 轴的第

,0 .

(1)求函数 f(x)的表达式; 3 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,若 f(C)=-1, · =- ,
2

且 a+b=2 3,求边长 c.

2.【解析】(1)∵f(x)=m· n=sin(2ωx+φ), 5π π 由题意 = ? ,

∴T=π,ω=1,
将点 P
π π 6

4

12

6

,1 代入 = sin(2 + ), 得 sin 2 × + =1,
6 π 6

π

∴φ= 6 +2kπ(k∈ Z),
π 2

又∵|φ|< , ∴ = . 即函数的表达式为 f(x)=sin 2 +
π 6

(x∈R).

(2)由 f(C)=-1,即 sin 2 + 又∵0<C<π,∴C= 3 .
3 2π

π 6

=-1.
3

由 · = ? 2 , 知cos = ? 2,

∴ab=3.

由余弦定理知 c2=a2+b2-2abcos C =(a+b)2-2ab-2abcos C 1 2 =(2 3) ?2 × 3 ? 2 × 3 × - 2 =9,

∴c=3.

考点3 平面向量与三角形中计算的综合应用

以平面向量的线性运算为载体,结合三角形中的正、余弦定理及三角形的面积公式等,通 过恒等变换来解决三角形中的求边、求角及三角形面积等问题.

命题角度 1:三角形中的边和角的计算 典例 3 (2015· 珠海二模) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 8 a,b,c,sin 2A= sin A,b= 3,m=(c-a,b+c),n=(a,b-c),m⊥n.
5

(1)求 sin A; (2)求角 B 与 c.

【解题思路】利用向量垂直则其数量积为 0 将两向量的关系转化 成边的关系,然后应用余弦定理求解.

【参考答案】 (1)在△ABC 中,由 sin 2A= sin A, 即 2sin A cos A= sin A , 解得 cos A= ,
4 5 5 8 5

8

∵A∈(0,π), 3 ∴sin A= 5.

(2)由于 m⊥n,且 m=(c-a,b+c),n=(a,b-c), ∴m· n=(c-a,b+c)· (a,b-c)=ac-a2+b2-c2=0, 又由余弦定理可知 cos B=
2 + 2 - 2 2

= ,
2

1

∵0<B<π,∴B= 3 ,
故 A+C= .
3 2π

π

∴sin C=sin
又∵


2π 3

- = ,

3 2

cos + sin =
2

1

3 2

× + × =
5 2 5

4

1

3

3+4 3 10

,

∴c= sin =

sin sin

=

sin 3+4 3 5

.

命题角度 2:三角形中的边、角范围 典例 4 (2016· 合肥八中测试) 已知角 A,B,C 为△ABC 的三个内角, 其对边分别为 a,b,c,若 m= -cos ,sin m· n= . (1)若△ABC 的面积 S= 3,求 b+c 的值; (2)求 b+c 的取值范围. 【解题思路】(1)利用向量的数量积构建表达式,再利用面积公式、 余弦定理求值;(2)利用角的范围,借助于三角函数值的有界性求范 围.
2 1 2 2

,n= cos ,sin
2



2

,a=2 3,且

【参考答案】(1)∵m= -cos ,sin
1 2 2



2 1

, = cos , sin
2



2

, 且 · =


.
2 2

∴-cos 2 + sin 2 = 2 , 即 cos = ? 2 , 又 ∈ (0, π), 得 = 3 .
又由 S△ABC=2 ·sin = 3,∴bc=4.
2 2 2

1

1

由余弦定理得 a =b +c -2bc· cos 3 =b +c +bc,



2

2

∴16=(b+c) ,故 b+c=4.

2

(2)由正弦定理得 又 B+C=π-A= ,
3 π

sin

=

sin

=

sin

=
π 3

2 3
2π sin 3

=4,
π 3

∴b+c=4sin B+4sin C=4sin B+4sin ∵0<B< 3 , 则 3 < + 3 <

3 2 π π π 2π 3

- = 4sin +

.

.

< sin +

π 3

≤1,

即 b+c 的取值范围是(2 3,4].

命题角度 3:三角不等式的相关问题 典例 5 (2016· 哈尔滨六中模拟) 在△ABC 中,记∠BAC=x(角的单位 是弧度制),△ABC 的面积为 S,且 · =8,4≤S≤4 3. (1)求 x 的取值范围; (2)根据(1)中 x 的取值范围,求函数 f(x)=2 3sin 的最大值和最小值.
2

x+

π 4

+2cos2x- 3

【解题思路】(1)利用数量积的公式及面积公式构建表达式,利用 4≤S≤4 3构建不等式求解;(2)利用三角恒等变形转化为条件下三 角函数值的范围求法.

【参考答案】 (1)因为∠BAC=x, · =8, 所以 bc cos x= 8, 1 又 S= bcsin x, 所以 S=4tan x , 又 4≤S≤ 4 3, 所以 1≤tan x≤ 3,x∈(0,π), π π 所以 x 的取值范围是 ≤ ≤ .
4 3 2

(2)f(x)=2 3sin2 + 因为 ≤ ≤ , 即
4 3 π π 2π 3

π 4

+ 2cos2 ? 3 = 2sin 2 +
π 6 5π 1 6 2

π 6

+1.
3 2

≤ 2 + ≤

, ≤ sin 2 +
π 3

π 6



,

所以 f(x)max=f

π 4

= 3 + 1, ()min =

=2.

平面向量与解三角形综合的求解策略 (1)利用平面向量数量积的计算公式,结合三角形中正、余弦定理,面积公式,将其转化为三 角形中的边角计算问题. (2)借助三角形中角的范围限制,构建限制条件下的三角函数来求范围,或利用三角不等式 求解. 注意:向量与三角形结合易错于角的限制条件的确定,训练中要注意.

【变式训练】 1.(2016· 山东实验中学诊断) 设函数 f(x)=m· n,其中向量 m=(2cos x,1),n=(cos x, 3sin 2x). (1)求函数 f(x)的最小正周期与单调递减区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 f(A)=2,b=1,△ABC 的面积为 ,求△ABC 外接圆半径 R.
2 3

1.【解析】(1)由题意得: f(x)=2cos x+ 3sin 2 = cos 2 + 3sin 2 + 1 = 2sin 2 +
2

π 6

+1,

∴函数 f(x)的最小正周期为 T=π,
由 + 2π ≤ 2 + ≤
2 6 π π 3π 2

+ 2π, ∈ 得函数 ( )
2π 3

的单调递减区间是

π 6

+ π,

+ π ,k∈Z.

(2)∵f(A)=2,

∴2sin 2 + 6 +1=2,
解得 A= ,
3 π

π

又∵△ABC 的面积为 ,b= 1, 得 sin =
1 2 3 2 2

3

,

∴c=2.

再由余弦定理 a 2=b2+c2-2bc cos A, 解得 a= 3. ∴c2=a2+b2,即△ABC 为直角三角形. ∴R= =1.
2

2.已知向量 a=

2 sin ,cos 3 3



,b= cos ,- ,实数 k 为大于零的常数,
3 2-1 2



函数 f(x)=a· b,x∈R,且函数 f(x)的最大值为

.

(1)求 k 的值; π (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,若 <A<π,f(A)=0,
2

且 a=2 10,求 · 的最小值.

2.【解析】(1)由已知 f(x)=a· b= ksin3 , cos 3 · cos 3 ,- =ksin cos ? cos = sin ? =
2 2 3 2 2 3
2



2



1 2

2 3

2 1+cos 3

sin 3 - 2 cos
2

2

2

3

2

∴f(x)的最大值为

3 ( 2-1)

?2 = =
2-1 2



2 2

sin

2 2 2 π 3

=



sin -cos
3

2

2 3

? ,
2



- 4 ? 2,x∈R,

,则 k=1.

(2)由(1)知 f(x)=

2

∴f(A)= 2 sin
化简得 sin

2

2 2 π

sin
4

2 3 1 2

-

π 4

? ,
2

1

3 2 π 3 π

-

? =0,
2 2

-

∵ 2 <A<π, ∴12 <

2 3 π 2 3 π 4

π

4

=
5π 12

.

? <
4 π 4

,

? = ,
3π 4

解得 A= .

∵cos A=- 2 =

2

2 + 2 - 2 2

=

2 + 2-40 2

,

∴b2+c 2+ 2bc=40,
则 b2+c2+ 2 = 40 ≥ 2 + 2 bc, 40 ∴bc≤ = 20(2 ? 2),
2+ 2

则 · = | || |cos

3π 4

=?

2 2

≥ 20(1 ? 2).

∴ · 的最小值为 20(1 ? 2).


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