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2015届高三文科数学肇庆一模试卷


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肇庆市中小学教学质量评估 2015 届高中毕业班第一次统一检测题 数 学(文科)
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试 室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔将准考证号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需要 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液. 不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3
2

球的表面积公式 S ? 4?R ,其中 R 为球的半径.

?? ?x ? a ? ?b ? 中系数计算公式 b 线性回归方程 y

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?x , ? ? y ?b ,a

? x)2

其中 x , y 表示样本均值. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 M={1,3,5},则 CU M ? A.? B.{1,3,5} C.{2,4,6}
2

D.{1,2,3,4,5,6} D.非充分非必要条件

2.设条件 p: a ? 0 ;条件 q: a ? a ? 0 ,那么 p 是 q 的 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件

1 ? 3i ? 3. 1? i A. 1 ? 2i B. ? 1 ? 2i C. 1 ? 2 i D. ? 1 ? 2i 2 4.设集合 M ? {0,1,2} , N ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0},则 M ? N ?
A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 5.设 a, b, c 是非零向量,已知命题 p:若 a ? b ? 0 ,b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q:若 a // b , A. p ? q

b // c ,则 a // c . 则下列命题中真命题是
B. p ? q

C. (?p) ? (?q)

D. p ? (?q)

高三数学(文科)第 1 页 共 10 页

6.设 l 为直线,?,?是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l//?,l//?,则?//? B.若?//?,l//?,则 l//? C.若 l??,l//?,则??? D.若???,l//?,则 l?? 7.设 D,E,F 分别为?ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 EB ? FC ? A. BC B. AD C.

1 BC 2

D.

1 AD 2

8.执行如图所示的程序框图输出的结果是 A.55 C.78 B.65 D.89

开始

x=1,y=1 z=x+y

9.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图 是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,则该几何 体的外接球的表面积为 A. 12 3? B. 12? C. 4 3? D. 3? 俯视图 正视图 侧视图

z?50? 是 x=y

否 输出 z

结束 y=z

10.设 a , b 为非零向量, | b |? 2 | a | ,两组向量 x1 , x 2 , x3 , x4 和 y1 , y 2 , y3 , y 4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成. 若 x1 ? y1 ? x2 ? y 2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y 4 所有可能取值中的最小值为 4 | a |2 , 则 a 与 b 的夹角为 A.

2? 3

B.

? 2

C.

? 3
▲ .

D.

? 6

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.已知 a ? (1,2) , b ? (4, k ) ,若 a ? b ,则 k ?
2

12.若复数 (a ? 3a ? 2) ? (a ? 2)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 ▲ . 13.若 a ? 0 , b ? 0 ,且

1 1 ? ? ab ,则 a 3 ? b 3 的最小值为 ▲ . a b
P

B C

14. (几何证明选讲)如图,点 P 为圆 O 的弦 AB 上的一点, 连接 PO,过点 P 作 PC?OP,且 PC 交圆 O 于 C. 若 AP=4, PC=2,则 PB= ▲ .
A

O

高三数学(文科)第 2 页 共 10 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 某工厂的 A、B、C 三个不同车间生产同一产品的数量(单位:件)如下表所示. 质检人 员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取 6 件样品进行检测. 车间 数量 A 50 B 150 C 100

(1)求这 6 件样品中来自 A、B、C 各车间产品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同车间的 概率.

16. (本小题满分 12 分) 如图, 已知 PA?⊙O 所在的平面, AB 是⊙O 的直径, AB=2, C 是⊙O 上一点, 且 AC=BC=PA, E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点. (1)求证:EF//平面 ABC; (2)求证:EF?平面 PAC; (3)求三棱锥 B—PAC 的体积.
A E O C B F P

17. (本小题满分 14 分) 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号 到 5 号每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

(1)求小李这 5 天的平均投篮命中率; (2)用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率.

高三数学(文科)第 3 页 共 10 页

18. (本小题满分 14 分) 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整新产品生产方案,准备每周(按 40 个工 时计算)生产空调器、彩电、冰箱共 120 台,且冰箱至少生产 20 台. 已知生产这些家电产品 每台所需工时和每台产值如下表: 家电名称 工 时 产值/千元 空调器 彩电 冰箱

1 2
4

1 3
3

1 4
2

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以 千元为单位)

19. (本小题满分 14 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, A1 A ?底面 ABCD,且 A1 A ? 4 . 梯形 ABCD 的 面积为 6,且 AD//BC,AD=2BC,AB=2. 平面 A1 DCE 与 B1 B 交于点 E. (1)证明:EC// A1 D ; (2)求点 C 到平面 ABB 1A 1 的距离.
A1 B1 C1 D1

A

E D B C

20. (本小题满分 14 分) 设 a 为常数,且 a ? 1 . (1)解关于 x 的不等式 (a ? a ? 1) x ? 1;
2

(2)解关于 x 的不等式组 ?

?2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 . ?0 ? x ? 1

高三数学(文科)第 4 页 共 10 页

肇庆市 2015 届高中毕业班第一次统测 数学(文科)参考答案及评分标准

一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 B 6 C 7 B 8 A 9 D 10
C

二、填空题 11.-2 12.1 13. 4 2 14.1

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 所以 A 车间产品被选取的件数为 50 ? B 车间产品被选取的件数为 150 ?

6 1 ? , (2 分) 50 ? 150 ? 100 50
(3 分) (4 分) (5 分)

1 ?1, 50

1 ? 3, 50 1 ? 2. C 车间产品被选取的件数为 100 ? 50

(2)设 6 件来自 A、B、C 三个车间的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2. 则从 6 件样品中抽取的这 2 件产品构成的所有基本事件为: (A,B1) , (A,B2) , (A,B3) , (A, C1) , (A,C2) , (B1,B2) , (B1,B3) , (B1,C1) , (B1,C2) , (B2,B3) , (B2,C1) , (B2,C2) , (B3,C1) , (B3,C2) , (C1,C2) ,共 15 个. (8 分)

每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D: “抽取的这 2 件产品来自相同车间” ,则事件 D 包含的基本事件有: (B1,B2) , (B1,B3) , (B2,B3) , (C1, C2) ,共 4 个. 所以 P( D) ? (10 分)

4 4 ,即这 2 件产品来自相同车间的概率为 . 15 15

(12 分)

高三数学(文科)第 5 页 共 10 页

16. (本小题满分 12 分) 证明: (1)在?PBC 中,E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点,所以 EF//BC. (2 分) 又 BC?平面 ABC,EF?平面 ABC,所以 EF//平面 ABC. (4 分)
P F E A O C B

(2)因为 PA?平面 ABC,BC?平面 ABC,所以 PA?BC. (5 分) 因为 AB 是⊙O 的直径,所以 BC?AC. 又 PA∩AC=A,所以 BC?平面 PAC. 由(1)知 EF//BC,所以 EF?平面 PAC. (6 分) (7 分) (8 分)

(3)解:在 Rt?ABC 中,AB=2,AC=BC,所以 AC ? BC ? 所以 PA ?

2.

(9 分)

2.

因为 PA?平面 ABC,AC?平面 ABC,所以 PA?AC. 所以 S ?PAC ?

1 PA ? AC ? 1 . 2

(10 分)

由(2)知 BC?平面 PAC,所以 VB ? PAC ?

1 2 . S ?PAC ? BC ? 3 3

(12 分)

17. (本小题满分 14 分)

0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 . (5 分) 5 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 3 (小时) (2)小李这 5 天打篮球的平均时间 x ? (6 分) 5
证明: (1)小李这 5 天的平均投篮命中率为 y ?

?? b

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )
i

? (x
i ?1

?

? x)2

(?2) ? (?0.1) ? (?1) ? 0 ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.1 ? 2 ? (?0.1) ? 0.01 (?2) 2 ? (?1) 2 ? 0 2 ? 12 ? 2 2

(8 分)

?x ? 0.5 ? 0.01? 3 ? 0.47 ? ? y ?b a ?x ? a ? ?b ? ? 0.01x ? 0.47 所以 y

(10 分) (11 分)

? ? 0.53 ,故预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 0.53. (14 分) 当 x=6 时, y

高三数学(文科)第 6 页 共 10 页

18. (本小题满分 14 分) 解:设每周生产空调器 x 台、彩电 y 台,则生产冰箱 120? x ? y 台,产值为 z 千元, 则依题意得 z ? 4 x ? 3 y ? 2(120 ? x ? y) ? 2 x ? y ? 240 , (4 分)

1 1 ?1 ? 2 x ? 3 y ? 4 (120 ? x ? y ) ? 40, ?3x ? y ? 120, ? x ? y ? 100, ? ? ? 且 x,y 满足 ?120 ? x ? y ? 20, 即? ? x ? 0, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0. ? y ? 0. ?
可行域如图所示. 解方程组 ? (10 分)
100

(8 分)

y 120 M y =100- x

?3x ? y ? 120, ? x ? 10, 得? 即 M(10,90). x ? y ? 100 , y ? 90 . ? ?
(11 分)

让目标函数表示的直线 2 x ? y ? 240 ? z 在可行域上平移,
O

y =120-3 x 40 100 x

可得 z ? 2 x ? y ? 240在 M(10,90)处取得最大值,且

z max ? 2 ?10 ? 90 ? 240 ? 350(千元).

(13 分)

答:每周应生产空调器 10 台,彩电 90 台,冰箱 20 台,才能使产值最高,最高产值是 350 千 元. (14 分)

19. (本小题满分 14 分) (1)证明:因为 BE // AA 1 , AA 1 ? 平面AA 1D ,

BE ? 平面AA1 D ,所以 BE // 平面AA1 D .
因为 BC // AD , AD ? 平面AA 1D ,

(1 分)

A1 B1 C1

D1

BC ? 平面AA1 D ,所以 BC // 平面AA1 D .
又 BE ? BC ? B , BE ? 平面BCE ,

(2 分)

A

E D B C

BC ? 平面BCE ,所以 平面BCE // 平面ADA 1 . (4 分)
高三数学(文科)第 7 页 共 10 页

又 平面A1 DCE ? 平面BCE ? EC , 平面A1 DCE ? 平面A1 AD ? A1 D , 所以 EC// A1 D . (6 分)

(2)解法一:因为 S 梯形ABCD ? 6 ,BC//AD,AD=2BC, 所以 S ?ABC ?

1 1 S ?ACD ? S 梯形ABCD ? 2 . 2 3

(9 分)

因为 A1 A ?底面 ABCD, AB ? 底面ABCD ,所以 A1 A ? AB . 所以 S ?A1 AB ?

1 A1 A ? AB ? 4 . 2

(10 分) (12 分) (13 分) (14 分)
A1 B1 C1 D1

设点 C 到平面 ABB 1A 1 的距离为 h,因为 VC ? A1 AB ? VA1 ? ABC , 所以 h ? S ?A1 AB ?

1 3

1 A1 A ? S ?ABC , 3

所以 h=2,即点 C 到平面 ABB 1A 1 的距离为 2. 解法二:如图,在平面 ABC 中,作 CF ? AB 于 F. (7 分) 因为 A1 A ?底面 ABCD, CF ? 底面ABCD , 所以 CF ? A1 A . 又 A1 A ? AB ? A ,所以 CF ? 面A1 ABB 1. 即线段 CF 的长为点 C 到平面 ABB 1A 1 的距离. 因为 S 梯形ABCD ? 6 ,BC//AD,AD=2BC, 所以 S ?ABC ? 又 S ?ABC ? (8 分) (9 分)

A

E D B C

F

1 1 S ?ACD ? S 梯形ABCD ? 2 2 3

(12 分) (13 分) (14 分)

1 AB ? CF , 2

所以 CF=2,即点 C 到平面 ABB 1A 1 的距离为 2.

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)令 a ? a ? 1 ? 0 ,解得 a1 ?
2

1? 5 1? 5 ? 0 , a2 ? ? 1. 2 2

(1 分)

高三数学(文科)第 8 页 共 10 页

①当 a ?

1 1 1? 5 }; 时,解原不等式,得 x ? 2 ,即其解集为 {x | x ? 2 a ? a ?1 a ? a ?1 2
(2 分)

②当 a ?

1? 5 时,解原不等式,得无解,即其解集为? ; 2

(3 分)

③当

1 1 1? 5 }. ,即其解集为 {x | x ? 2 ? a ? 1 时,解原不等式,得 x ? 2 a ? a ?1 a ? a ?1 2
(4 分)

(2)依 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 (*) ,令 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 (**) ,
2 2

可得 ? ? 9(1 ? a) ? 48a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) .
2

(5 分)

①当

1 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,此时方程(**)无解,解不等式(*) ,得 x ? R ,故原不等式组 3
(6 分)

的解集为 {x | 0 ? x ? 1} ; ②当 a ?

1 3(1 ? a ) ? 1 ,解不等 时, ? ? 0 , 此时方程(**)有两个相等的实根 x1 ? x 2 ? 3 4
(7 分)

式(*) ,得 x ? 1 ,故原不等式组的解集为 {x | 0 ? x ? 1} ;

③当 a ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 1 时, ? ? 0 ,此时方程(**)有两个不等的实根 x3 ? , 3 4

x4 ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) ,且 x3 ? x 4 ,解不等式(*) ,得 x ? x3 或 x ? x4 . 4
(8 分)

x4 ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 3 ? 3a ? (1 ? 3a) 2 ? (8 ? 24a) 3 ? 3a ? 1 ? 3a ? ? ? 1, 4 4 4
(9 分)

x3 ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 3 ? 3a ? ? 1, 4 4

(10 分)

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 3 ? 3a ? (3 ? 5a) 2 ? 16a 2 3 ? 3a ? (3 ? 5a) 且 x3 ? ? ? ? 2a , 4 4 4
高三数学(文科)第 9 页 共 10 页

(11 分) 所以当 a ? 0 ,可得 x3 ? 0 ;又当 x3 ? 0 ,可得 a ? 0 ,故 x3 ? 0 ? a ? 0 , (12 分) 所以ⅰ)当 0 ? a ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 1 时,原不等式组的解集为 {x | 0 ? x ? }; 3 4
(13 分)

ⅱ)当 a ? 0 时,原不等式组的解集为? . 综上,当 a ? 0 时,原不等式组的解集为? ;当 0 ? a ?

(14 分)

1 时,原不等式组的解集为 3

{x | 0 ? x ?


3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 1 } ;当 a ? 时,原不等式组的解集为 {x | 0 ? x ? 1} ; 3 4

1 ? a ? 1 时,原不等式组的解集为 {x | 0 ? x ? 1} . 3

高三数学(文科)第 10 页 共 10 页


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