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2014届高三数学(理)二轮复习练习:小题精练(四)基本初等函数与方程


小题精练(四) 基本初等函数与方程
(限时:60 分钟) 1.(2013·高考江西卷)函数 y= xln(1-x)的定义域为( A.(0,1) C.(0,1] B.[0,1) D.[0,1]
x-1

)

2.(2014·哈师大附中模拟)函数 f(x)=a 象 不经过点 A 的是( A.y= 1-x C.y=2 -1
x

(a>0,a≠1)的图象恒过点 A,下列函数中图

) B.y=|x-2| D.y=log2(2x)

ln x ?1? -1 ln x 3.(2014·郑州市质量检测)若 x∈(e ,1),a=ln x,b=? ? ,c=e ,则 a,b,c ?2? 的大小关系为( A.c>b>a C.a>b>c ) B.b>c>a D.b>a>c )

4.(2014·安徽省“江南十校”联考)函数 y=log2(|x|+1)的图象大致是(

5.(2013·高考新课标全国卷)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a C.a>c>b B.b>c>a D.a>b>c

)

?log2(x+1),x>3 ? 6.(2014·湖南省五市十校联考)已知函数 f(x)=? x-3 满足 f(a)=3,则 ?2 +1,x≤3 ?

f(a
-5)的值为( A.log23 C. 3 2 ) B. 17 16

D.1

7.(2014·深圳市模拟)函数 y=ln|x-1|的图象与函数 y=-2cos π x(-2≤x≤4)的图象 所有交点的横坐标之和等于( A.8 ) B.6

C.4

D.2

8.(2014·石家庄市模拟)[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5, 已 知 f(x)=x-[x](x∈R),g(x)=log4(x-1),则函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是 ( A.1 C.3 ) B.2 D.4
2

9.(2013·高考福建卷)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax +2x+b=0 有实 数解的有序数对(a,b)的个数为( A.14 C.12 ) B.13 D.10

10.(2014·济宁市模拟)已知定义域为 R 的函数 f(x)既是奇函数,又是周期为 3 的周期函 数,

? 3? ?3? 当 x∈?0, ?时,f(x)=sin π x,f? ?=0,则函数 f(x)在区间[0,6]上的零点个数是 ? 2? ?2?
( A.9 C.5 ) B.7 D.3

11.(2014·大连市双基测试)已知 f(x)是定义在 R 上且以 2 为周期的偶函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x .如果函数 g(x)=f(x)-(x+m)有两个零点,则实数 m 的值为( A.2k(k∈Z) C.0 1 B.2k 或 2k+ (k∈Z) 4 1 D.2k 或 2k- (k∈Z) 4
2

)

1 ? ?x+ ,x>0, 2 12. (2014·武汉市调研测试)已知函数 f(x)=? x 若关于 x 的方程 f(x +2x)=a ? ?x3+9,x≤0. 有六个不相等的实根,则实数 a 的取值范围是( A.(2,8] C.(8,9] B.(2,9] D.(8,9) )

13.(2014·杭州五校质检)设函数 f(x)=log3 的 取值范围是________.

x+2 -a 在区间(1,2)内有零点,则实数 a x

x-2 ?1? 3 14. 设函数 y=x 与 y=? ? 的图象的交点为(x0, y0). 若 x0 所在的区间是(n, n+1)(n∈Z), ?2?

则 n=________.

?1? 15.(2014·河北省质检)设函数 f(x)满足 f(x)=1+f? ?log2x,则 f(2)=________. ?2?
16.(2014·湖南省五市十校联考)已知函数 f(x)=x +bx +cx+d(b,c,d 为常数),当
3 2

k∈(-
∞,0)∪(4,+∞)时,f(x)-k=0 只有一个实根;当 k∈(0,4)时,f(x)-k=0 有 3 个相异实根. 现给出下列四个命题: ①f(x)-4=0 和 f′(x)=0 有一个相同的实根; ②f(x)=0 和 f′(x)=0 有一个相同的实根; ③f(x)-3=0 的任一实根大于 f(x)-1=0 的任一实根; ④f(x)+5=0 的任一实根小于 f(x)-2=0 的任一实根. 其中正确命题的序号是________.

小题精练(四)
?x≥0, ? 1.解析:选 B.因为 y= xln(1-x),所以? 解得 0≤x<1. ? ?1-x>0,

2.解析:选 A.由 f(x)=a

x-1

(a>0,a≠1)的图象恒过点(1,1),又 0= 1-1,知(1,

1)不在 y= 1-x的图象上. ln x ?1? -1 3.解析:选 B.依题意得 a=ln x∈(-1,0),b=? ? ∈(1,2),c=x∈(e ,1), ?2? 因此 b>c>a,选 B. 4.解析:选 B.首先判断定义域为 R.又 f(-x)=f(x).所以函数 y=log2(|x|+1)为偶 函数,当 x>0 时,y=log2(x+1).故选 B. 5.解析:选 D.结合对数的运算性质进行整理,利用对数函数的性质求解.

a=log36=log33+log32=1+log32, b=log510=log55+log52=1+log52, c=log714=log77+log72=1+log72,
∵log32>log52>log72,∴a>b>c, 故选 D. 6.解析:选 C.分两种情况分析,? ②得,a=7,所以 f(a-5)=2
2-3

? ?a≤3 ?2 ?
a-3

? ?a>3 ①或者? ②,①无解,由 ?log2(a+1)=3 +1=3 ?

3 +1= ,选 C. 2

7.解析:选 B.画出两个函数草图,可知 ∴x1+x2+x3+x4+x5+x6=6.

x1+x6
2

=1,

x2+x5
2

=1,

x3+x4
2

=1,

8.解析:选 B.作出函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示,发现有 2 个不同的交点,故选 B.

9.解析:选 B.对 a 进行讨论,为 0 与不为 0,当 a 不为 0 时还需考虑判别式与 0 的大 小. 若 a=0,则 b=-1,0,1,2,此时(a,b)的取值有 4 个; 若 a≠0,则方程 ax +2x+b=0 有实根,需 Δ =4-4ab≥0, ∴ab≤1, 此时(a,b)的取值为(-1,0),(-1,1),(-1,-1),(-1,2),(1,1),(1,0), (1,-1),(2,-1),(2,0),共 9 个. ∴(a,b)的个数为 4+9=13. 10.解析:选 A.f(x)为奇函数,∴f(0)=0,T=3,∴f(3)=f(6)=0,
2

? 3? 又∵f(x)=sin πx,x∈?0, ?, ? 2?
∴f(1)=f(4)=0,f(2)=f(5)=0

f? ?=0,f? ?=0. 2 2
11.解析:选 D.令 g(x)=0 得 f(x)=x+m.(1)先考虑 f(x)在 0≤x≤1 时的函数图象, 因为两个端点为(0,0),(1,1),所以过这两点的直线方程为 y=x+0;(2)考虑直线

?3? ? ?

?9? ? ?

y=x+m 与 0≤x≤1 时的 f(x)=x2 的图象相切,与 1<x≤2 时的函数图象相交也是两
1 个交点,仍然有两个零点.可求得此时切线方程为 y=x- .综上根据周期为 2,得 m 4 1 =2k 或 m=2k- (k∈Z). 4

1 2 12.解析:选 C.设 x +2x=t,分两种情况.第一种情况 t>0,即 f(t)=t+ =a,当

t

a>2 时,关于 t 的方程有两个解,当 a=2 时,关于 t 的方程有一个解,当 a<2 时,
关于 t 的方程无解.第二种情况 t≤0,即 f(t)=t +9=a,a≤9 时,关于 t 的方程有 一个解. 1 2 综上分析,第一种情况中 a>2,关于 t 的方程 t+ =a 有两个解,关于 x 的方程 x +
3

t

2x=t 有四个解;第二种情况中方程 x +2x=t 有两个解,由判别式大于 0,解得 t> -1,故 a=t +9>-1+9=8.故 a 的取值范围是(8,9]. 13.解析:∵x∈(1,2),∴
3

2

x+2 x+2 ∈(2,3),log3 ∈(log32,1),故要使函数 f(x) x x

在(1,2)内存在零点,只要 a∈(log32,1)即可. 答案:(log32,1) 14.解析:由函数图象知,1<x0<2.

答案:1 1 ?1? ?1? ?1? 1 15.解析:由已知得 f? ?=1-f? ?·log22,则 f? ?= ,则 f(x)=1+ ·log2x,故 2 ?2? ?2? ?2? 2

f(2)=1+ ·log22= .
答案: 3 2

1 2

3 2

16.解析:令 x1,x2(x1<x2)为函数 f(x)的极值点,由已知可得函数 f(x)的极大值为

f(x1)=4,极小值为 f(x2)=0,又 f′(x1)=0,f′(x2)=0,故①对;f(x)=0 和 f′
(x)=0 有一个相同的实根 x2, ②对; 结合函数的图象可知 f(x)+5=0 的解均小于 f(x) -2=0 的任一实根,④对;f(x)-3=0 和 f(x)-1=0 均有 3 个实根,无法比较大小, 故正确的有①②④. 答案:①②④


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