当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省历年高考理科数学试卷及答案(05年—14年)


2005 年高考数学(广东卷)试题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡 上 用 2B 铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上 在答题卡右上角的“试室号”和“座 位号”栏填写试室号、座位号,并用 2B 铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液 不按以上要求作答的答案无效 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B)
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 M ? {x || x |? 2}, N ? {x | x 2 ? 3x ? 0} ,则 M∩N= A.{3} B.{0} C.{0,2}
2 2

( D.{0,3} (



2.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则 a ? b = A.0 3. lim B.2 C.



5 2

D.5 ( )

x?3 = x ? ?3 x 2 ? 9 1 A. ? 6

B.0

C.

1 6

D.

1 3

4.已知高为 3 的直棱柱 ABC—A′ B′ C′ 的底面是边长为 1 的正三 角形(如图 1 所示) ,则三棱锥 B′—ABC 的体积为( ) A.

A' B'

C'

1 4

B.

1 2

3 C. 6

3 D. 4


A B
如图 1

C

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m=( 5.若焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 m

第1页

(共 67 页)

A. 3

B.

3 2

C.

8 3

D.

2 3
( )

6.函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1是减函数的区间为 A. (2,??) B. (??,2) C. (??,0) ①若 m ? ? , l ? ? ? A, 点A ? m, 则l与m不共面;

D. (0,2)

7.给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面α 、β 的四个命题: ②若 m、l 是异面直线, l // ? , m // ? , 且n ? l , n ? m, 则n ? ? ; ③若 l // ? , m // ? ,? // ? , 则l // m ; ④若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? 点A, l // ? , m // ? , 则? // ? . 其中为假命题的是 A.① B.② C.③ D.④ ) ( )

8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6) ,骰 子朝上的面的点数分别为 X、Y,则 log2 X Y ? 1 的概率为(

1 1 C. D. 2 12 9.在同一平面直角坐标系中,函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称. 现将 y ? g ( x) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 1 个单位,所得的图象是由 两条线段组成的折线(如图 2 所示) ,则函数 f ( x) 的表达式为( )

1 A. 6

5 B. 36

?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? A. f ( x ) ? ? x ? 2,0 ? x ? 2 ? ?2 ?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? B. f ( x ) ? ? x ? 2,0 ? x ? 2 ? ?2 ?2 x ? 2,1 ? x ? 2 ? C. f ( x ) ? ? x ? 1,2 ? x ? 4 ? ?2
D. f ( x ) ? ? x
-2 -1

3 2 1

y

O

1

x

如图 2

?2 x ? 6,1 ? x ? 2 ? ? 3,2 ? x ? 4 ? ?2
x1 1 , xn ? ( xn ?1 ? xn ?2 ), n ? 3,4,?.若 lim xn ? 2, 则x1 ? ( n ?? 2 2
C.4 D.5 )

10.已知数列 {x n }满足x2 ? A.

3 2

B.3

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

第2页

(共 67 页)

11.函数 f ( x) ?

1 1? ex

的定义域是

.

12.已知向量 a ? (2,3),b ? ( x,6),且a // b, 则 x= 13. 已知 ( x cos? ? 1) 5 的展开式中 x 的系数与 ( x ?
2

.

5 4 ) 的展开式中 x3 的系数相等, 则 cos ? = 4

. 14.设平面内有 n 条直线(n≥3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同 一点.若用 f ( n) 表示这 n 条直线交点的个数,则 f ( 4) = ;当 n>4 时,

f ( n) =

.(用 n 表示)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 化 简 f ( x) ? cos(

6k ? 1 6k ? 1 ? ? ? 2 x) ? cos( ? ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x)( x ? R, k ? Z ), 3 3 3

并求函数 f ( x) 的值域和最小正周期. 16. (本小题满分 14 分) 如图 3 所示,在四面体 P—ABC 中,已知 PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB= 2 34 .F 是线段 PB 上一点, CF ?

15 34 ,点 E 在线段 AB 上,且 EF⊥PB. 17

(Ⅰ)证明:PB⊥平面 CEF; (Ⅱ)求二面角 B—CE—F 的大小.

P F E A
如图 3

B C

17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足 y AO⊥ BO(如图 4 所示). (Ⅰ)求△AOB 的重心 G(即三角形三条中线的交点)的轨迹 A 方程; (Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值; 若不存在,请说明理由.
O

B

x

如图 4

第3页

(共 67 页)

18. (本小题满分 12 分) 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为 s:t.现从箱中 每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续 从箱中任意取出一个球, 但取球的次数最多不超过 n 次, 以ξ 表示取球结束时已取到白球的 次数. (Ⅰ)求ξ 的分布列; (Ⅱ)求ξ 的数学期望. 19. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x)在(??,??)上满足f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区 间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. (Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论. 20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为 2,宽为 1,AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合(如图 5 所示).将矩形折叠,使 A 点落在线段 DC 上. (Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在直线的方程; (Ⅱ)求折痕的长的最大值.

y
D C

O (A)

B

x

如图 5

第4页

(共 67 页)

2005 年高考数学(广东卷)试题及答案 参考答案
一、选择题 1B 2D 3A 二、填空题 11.{x|x<0} 12.4 三、解答题 15.解: f ( x) ? cos(2k? ? 4D 5B 6D 7C 8C 9A 10B

13. ?

2 2

14. 5,

1 (n ? 2)( n ? 1) 2

?
3

? 2 x) ? cos(2k? ?

?

? 2 cos( ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) ? 4 cos 2 x 3 3 函数 f(x)的值域为 ? 4 ; 2? ?? ; 函数 f(x)的周期 T ?

?

?

? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) 3 3

?

?
2

16. (I)证明:∵ PA ? AC ? 36 ? 64 ? 100 ? PC
2

2

∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形,同理可证 △PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形,△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形 故 PA⊥平面 ABC 又∵ S ?PBC ?

王新敞
奎屯

新疆

1 1 | AC || BC |? ? 10 ? 6 ? 30 2 2

P F E F1 C B



1 1 15 34 | PB || CF |? ? 2 34 ? ? 30 ? S ?PBC 2 2 17

故 CF⊥PB,又已知 EF⊥PB A ∴PB⊥平面 CEF (II)由(I)知 PB⊥CE, PA⊥平面 ABC ∴AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影,故 AB⊥CE 在平面 PAB 内,过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1,则 FF1⊥平面 ABC, EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影,∴EF⊥EC 故∠FEB 是二面角 B—CE—F 的平面角
王新敞
奎屯 新疆

AB 10 5 ? ? AP 6 3 5 二面角 B—CE—F 的大小为 arctan 3 tan ?FEB ? cot ?PBA ?

x ? x2 ? x? 1 ? ? 3 17.解: (I)设△AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? y ? y ? 1 ? y2 ? 3 ?

…(1)

第5页

(共 67 页)

∵OA⊥OB ∴ kOA ? kOB ? ?1 ,即 x1 x2 ? y1 y 2 ? ?1 ,……(2)
2 2 又点 A,B 在抛物线上,有 y1 ? x1 ,代入(2)化简得 x1 x2 ? ?1 , y 2 ? x2

∴y?

y1 ? y 2 1 2 1 1 2 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? [(x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? ? (3x) 2 ? ? 3x 2 ? 3 3 3 3 3 3
2

所以重心为 G 的轨迹方程为 y ? 3 x ? (II) S ?AOB ?

2 3

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 | OA || OB |? ( x12 ? y12 )( x 2 ? y2 )? x1 x 2 ? x12 y 2 ? x2 y1 ? y12 y 2 2 2 2 1 6 1 1 1 6 6 x1 ? x2 ?2 ? 2 x16 ? x2 ?2 ? 2 (?1)6 ? 2 ? ? 2 ? 1 由(I)得 S ?AOB ? 2 2 2 2
6 6 当且仅当 x1 即 x1 ? ? x2 ? ?1 时,等号成立 ? x2
王新敞
奎屯 新疆

所以△AOB 的面积存在最小值,存在时求最小值 1; 18.解:(I)ξ 的可能取值为:0,1,2,…,n ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 … n-1 n

p

s s?t

st (s ? t ) 2

st 2 (s ? t ) 3



st n ?1 ( s ? t ) n ?1

tn (s ? t ) n

(II) ? 的数学希望为

E? ? 0 ?

s st st 2 st n?1 tn …(1) ? 1? ? 2 ? ? ... ? ( n ? 1 ) ? ? n ? s?t (s ? t ) 2 (s ? t ) 3 (s ? t ) n?1 (s ? t ) n

t st 2 2st 3 (n ? 2)st n?1 (n ? 1)st n nt n?1 …(2) E? ? ? ? ... ? ? ? s?t (s ? t ) 2 (s ? t ) 3 (s ? t ) n?1 (s ? t ) n?1 (s ? t ) n?1
(1) -(2)得

E? ?

t tn (n ? 1)t n nt n ? ? ? s s(s ? t ) n?1 (s ? t ) n?1 (s ? t ) n ? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

19.解: 由 ?

? f ( x) ? f ( x ? 10) ,
又 f (3) ? 0, 而f (7) ? 0 ,

? f (?3) ? f (7) ? 0

第6页

(共 67 页)

? f (?3) ? f (3) , f (?3) ? ? f (3)
故函数 y ? f ( x) 是非奇非偶函数;

(II)由 ?

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10)
又 f (3) ? f (1) ? 0 ? f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解, 从而可知函数 y ? f ( x) 在[0,2005]上有 402 个解,在[-2005.0]上有 400 个解, 所以函数 y ? f ( x) 在[-2005,2005]上有 802 个解

王新敞
奎屯

新疆

20.解(I) (1)当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 y ? (2)当 k ? 0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1) 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称,有 k OG ? k ? ?1, 故 G 点坐标为 G(?k ,1)
王新敞
奎屯 新疆

1 2

1 k ? ?1 ? a ? ?k a

从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标(线段 OG 的中点)为 M ( ? 折痕所在的直线方程 y ?

k 1 , ) 2 2

1 k k2 k ? k ( x ? ) ,即 y ? kx ? ? 2 2 2 2

由(1) (2)得折痕所在的直线方程为:

1 k2 k ? k=0 时, y ? ; k ? 0 时 y ? kx ? 2 2 2
(II)(1)当 k ? 0 时,折痕的长为 2; (2) 当 k ? 0 时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 N (0,

k 2 ?1 k 2 ?1 ), P(? ,0) 2 2k

y ? PN 2 ? (

k 2 ?1 2 k 2 ? 1 2 (k ? 1) 3 ) ? (? ) ? 2 2k 4k 2

3(k 2 ? 1) 2 ? 2k ? 4k 2 ? (k 2 ? 1) 3 ? 8k y ? 16k 4
/

令 y ? 0 解得 k ? ?
/

2 2

∴ PN max ?

27 ?2 16
(共 67 页)

第7页

所以折痕的长度的最大值 2

王新敞
奎屯

新疆

2006 年 高 考 数 学 广 东 卷 ( 理 科 )
第一部分 选择题(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1、函数 f ( x) ?
王新敞
奎屯 新疆

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是
B. (? ,1)

A. (? , ??)

1 3

1 3

C. (? , )

1 1 3 3

D. (??, ? )

1 3

2 3 2、若复数 z 满足方程 z ? 2 ? 0 ,则 z ?

A. ?2 2

B. ?2 2

C. ?2 2i

D. ?2 2i

3、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? ? x3 , x ? R B. y ? sin x , x ? R C. y ? x , x ? R D. y ? ( )x , x ? R

1 2

4、如图 1 所示, D 是 ?ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ?

A D B
图1
C

1 1 BA B. ?BC ? BA 2 2 1 1 C. BC ? BA D. BC ? BA 2 2
A. ?BC ? 5、给出以下四个命题:

①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交 线平行, ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行, ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B. 3 C. 2 D. 1

6、已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为 A.5 B.4 C. 3 D. 2

第8页

(共 67 页)

7 、 函 数 y ? f ( x) 的 反 函 数 y ? f ?1 ( x) 的 图 像 与 y 轴 交 于 点

y 4 2
y ? f ?1 ( x)

P(0, 2)(如图 2 所示) , 则方程 f ( x) ? 0 在 [1, 4] 上的根是 x ?
A.4 B.3 C. 2 D.1

?1
8、已知双曲线 3x2 ? y 2 ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的 距离与点 P 到右准线的距离之比等于 A. 2 B.

O

3

x

图2

2 2 3

C. 2

D. 4

y
y ? 2x ? 4
x? y?s

?x ? 0 ?y ? 0 ? 9、 在约束条件 ? 下, 当 3 ? x ? 5 时, 目标函数 z ? 3x ? 2 y y ? x ? s ? ? ? y ? 2x ? 4
的最大值的变化范围是 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

O

x
图3

10、对于任意的两个实数对 ( a, b) 和 (c, d ) ,规定: (a, b) ? (c, d ) , 当且仅当 a ? c, b ? d ;运算“ ? ”为:

(a, b) ? (c, d ) ? (ac ? bd , bc ? ad ) ;运算“ ? ”为: (a, b) ? (c , d ) ? (a ? c , b ? d ),设 p, q ? R ,
若 (1,2) ? ( p, q) ? (5,0) ,则 (1,2) ? ( p, q) ? A. (4, 0) B. (2,0) C. (0, 2) D. (0, ?4)

第二部分 非选择题(共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分. 11、 lim(
x ??2

4 1 ? ) ? ________. 2 4? x 2? x 2 x

12、棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______. 13、在 ( x ? )11 的展开式中, x 的系数为________.
5

14、在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三 棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个 球;第 2,3, 4, 堆最底层(第一层)分别按图 4

所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球

?
图4

第9页

(共 67 页)

自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f ( n) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则

f (3) ? _____ ; f (n) ? _____ (答案用 n 表示).

三解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题 14 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (I)求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 的的最大值和最小值; (III)若 f (? ) ?

?
2

), x ? R .

3 ,求 sin 2? 的值. 4

16、(本题 12 分)某运动员射击一次所得环数 X 的分布如下:

X P

0
0

6

7

8

9

10

0.2

0.3

0.3

0.2

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 ? . (I)求该运动员两次都命中 7 环的概率 (II)求 ? 的分布列 (III) 求 ? 的数学期望 E? .

17、 (本题 14 分)如图 5 所示,AF 、DE 分别世

O、

O1 的 直 径 , AD 与 两 圆 所 在 的 平 面 均 垂 直 ,
AD ? 8
.

D

O1

E

BC



O









AB ? AC ? 6 , OE // AD .
(I)求二面角 B ? AD ? F 的大小; (II)求直线 BD 与 EF 所成的角.

C

A B

O

F

图5

18、(本题 14 分)设函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点

A、 B 的坐标分别为 (x1 ,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 )) 、 , 该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P 关
第 10 页 (共 67 页)

于直线 y ? 2( x ? 4) 的对称点.求 (I)求点 A、 B 的坐标; (II)求动点 Q 的轨迹方程.

2 19、 (本题 14 分)已知公比为 q (0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 ?an ? 各项的和为 9, 无穷等比数列 an

? ?

各项的和为

81 . 5

(I)求数列 ?an ? 的首项 a1 和公比 q ; (II)对给定的 k (k ? 1, 2,3, 10 项之和; (III)设 bi 为数列 T 存在且不等于零. (注:无穷等比数列各项的和即当 n ?? 时该无穷等比数列前 n 项和的极限) 20 、 ( 本题 12 分 ) A 是定义在 [2, 4] 上且满足如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合:①对任意的
(k )

, n) ,设 T ( k ) 是首项为 ak ,公差为 2ak ? 1 的等差数列,求 T ( 2) 的前

Sn ? b1 ? b2 ? 的第 i 项,

? bn , 求 Sn , 并求正整数 m(m ? 1) , 使得 lim
n ??

Sn nm

x ?[1,2] ,都有 ? (2 x) ? (1, 2) ;②存在常数 L(0 ? L ? 1) ,使得对任意的 x1 , x2 ?[1, 2] ,都有
| ? (2x1 )? ? (2 x2 )? | L |x1 ? x2 . |
(I)设 ? (2 x) ? 3 1 ? x , x ?[2,4] ,证明: ? ( x) ? A (II)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1, 2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x 0 是唯一的; (III) 设 ? ( x) ? A ,任取 x1 ? (1, 2) ,令 xn ?1 ? ? (2 xn ) , n ? 1, 2, 任意的正整数 p ,成立不等式 | xk ? p ? xk |? ,证明:给定正整数 k ,对

Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L

第 11 页

(共 67 页)

参考答案
第一部分 选择题(50 分)

1、函数

f ( x) ?

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是
B. ( ?

A. (? ,?? )

1 3

1 ,1) 3

C. ( ?

1 1 , ) 3 3

D. ( ?? ,? )

1 3

1、解:由 ?

?1 ? x ? 0 1 ? ? ? x ? 1,故选 B. 3 ?3x ? 1 ? 0
2

2、若复数 z 满足方程 z A. ? 2 2、由 z

? 2 ? 0 ,则 z 3 ?
C.

2
2

B.

?2 2

?2 2 i

D.

?2 2i

? 2 ? 0 ? z ? ? 2i ? z 3 ? ?2 2i ,故选 D.

3、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A.

y ? ?x3 , x ? R

B.

y ? sin x, x ? R

C.

y ? x, x ? R

D.

1 y ? ( )x, x ? R 2
3、 B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域 内不是奇函数,是减函数;故选 A. 4、如图 1 所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ? A. ? BC ? C. BC ?

1 BA 2

B. ? BC ? D. BC ?

1 BA 2

1 BA 2

1 BA 2

4、 CD ? CB ? BD ? ? BC ? 5、给出以下四个命题

1 BA ,故选 A. 2

①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交 ,那么这条直线和交 线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是
第 12 页 (共 67 页)

A.4

B.3

C.2

D.1

5、①②④正确,故选 B. 6、已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则其公差是 A.5 6、 ? B.4 C. 3 D.2

?5a1 ? 20d ? 15 ? d ? 3 ,故选 C. ?5a1 ? 25d ? 30
y ? f ?1 ( x) 的图象与 y 轴交于点 P(0,2) (如图 2 所示),则

7、 函数 y ? f ( x) 的反函数 方程 f ( x) ? 0 的根是 x A. 4 B. 3

?
D.1

C. 2

7、 f ( x) ? 0 的根是 x 8、已知双曲线 3x 比等于
2

? 2,故选 C

? y 2 ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之

A.

2

B.

2 3 3

C. 2

D.4

8、依题意可知

a ? 3, c ? a 2 ? b 2 ? 3 ? 9 ? 2 3 , e ?

c 2 3 ? ? 2 ,故选 C. a 3

?x ? 0 ?y ? 0 ? 9、在约束条件 ? 下,当 3 ? s ? 5 时, x ? y ? s ? ? ? y ? 2x ? 4
目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

9、由 ? (1) (2) 故选 D.

?x ? y ? s ?x ? 4 ? s 交点为 A(0,2), B(4 ? s,2s ? 4), C (0, s), C ?(0,4) , ?? y ? 2 x ? 4 y ? 2 s ? 4 ? ?
当 3 ? s ? 4 时可行域是四边形 OABC,此时, 7 ? z ? 8 当 4 ? s ? 5 时可行域是△OA C ? 此时, z max

?8

10、对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b)=(c,d)当且仅当 a=c,b=d;运算“ ? ”
第 13 页 (共 67 页)

为: (a, b) ? (c, d ) ? (ac ? bd, bc ? ad) ,运算“ ? ”为: (a, b) ? (c, d ) ? (a ? c, b ? d ) , 设 p, q ? R ,若

(1,2) ? ( p, q) ? (5,0) 则 (1,2) ? ( p, q) ?
A. ( 4,0) B. ( 2,0) C. (0,2) D. (0,?4)

10、由 (1,2) ? ( p, q) ? (5,0) 得 ?

? p ? 2q ? 5 ? p ? 1 , ?? ?2 p ? q ? 0 ?q ? ?2

所以 (1,2) ? ( p, q) ? (1,2) ? (1,?2) ? (2,0) ,故选 B. 第二部分 非选择题(100 分) 二、填空题 11、 lim (
x ??2

4 1 ? )? 2 2? x 4? x 4 1 1 1 ? ) ? lim ? 2 x ??2 2 ? x 2? x 4 4? x

11、 lim (
x ??2

12、若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 12、 d

?3 3?R?
11

3 3 ? S ? 4?R 2 ? 27? 2

2? ? 5 13、在 ? x ? ? 的展开式中, x 的系数为 x? ?
13、 Tr ?1 ? C11
5
11? r

2 11? r 2 r ?11 x r (? )11?r ? (?2)11?r C11 x ? 2r ? 11 ? 5 ? r ? 8 x
11?r 11?r 3 C11 ? (?2)3 C11 ? ?1320

所以 x 的系数为 (?2)

14、在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三 棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球;第 2、3、4、? 堆最底层(第一层)分别按图 4 所示方式固定摆放.从第一层开始,每层 的小球自然垒放在下一层之上, 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球, 以 f ( n) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f (3) ? 表示) . ; f ( n) ? (答案用 n

第 14 页

(共 67 页)

14、 f (3) ? 10, f (n) ? 三、解答题 15、 (本小题满分 14 分)

n(n ? 1)( n ? 2) 6

已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期;

?
2

), x ? R

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (Ⅲ)若 f (? ) ?

3 ,求 sin 2? 的值. 4

15 解: f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?

2

) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? 2? ? 2? ; 1

?
4

)

(Ⅰ) f ( x ) 的最小正周期为 T ? (Ⅱ) f ( x ) 的最大值为 ( Ⅲ ) 因 为

2 和最小值 ? 2 ;
3 3 7 , 即 sin ? ? cos ? ? ? ? ? ① ? 2 sin ? cos ? ? ? , 即 4 4 16

f (? ) ?

sin 2? ? ?

7 16

16、 (本小题满分 12 分) 某运动员射击一次所得环数 X 的分布列如下: X Y 0-6 0 7 0.2 8 0.3 9 0.3 10 0.2

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 ? . (Ⅰ)求该运动员两次都命中 7 环的概率; (Ⅱ)求 ? 分布列; (Ⅲ) 求 ? 的数学希望. 16 解:(Ⅰ)求该运动员两次都命中 7 环的概率为 P(7) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 ; (Ⅱ)

? 的可能取值为 7、8、9、10

第 15 页

(共 67 页)

P(? ? 7) ? 0.04

P(? ? 8) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.21

P(? ? 9) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 2 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.39 P(? ? 10) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.22 ? 0.36

? 分布列为 ?
P (Ⅲ) 7 0.04 8 0.21 9 0.39 10 0.36

? 的数学希望为 E? ? 7 ? 0.04 ? 8 ? 0.21? 9 ? 0.39 ? 10? 0.36 ? 9.07 .

17、 (本小题满分 14 分) 如图 5 所示,AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径.AD 与两圆所在的平面均垂 直,AD=8,BC 是⊙O 的直径,AB=AC=6,OE//AD. (Ⅰ)求二面角 B—AD—F 的大小; (Ⅱ)求直线 BD 与 EF 所成的角.

17、解:(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD 是二面角 B—AD—F 的平面角, 依题意可知,ABCD 是正方形,所以∠BAD=45 . 即二面角 B—AD—F 的大小为 45 ;
0 0

(Ⅱ)以 O 为原点,BC、AF、OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示) ,则 O(0, 0,0) ,A(0, ? 3

2 ,0) ,B( 3 2 ,0,0),D(0, ? 3 2 ,8) ,E(0,0,8) ,F(0, 3 2 ,
第 16 页 (共 67 页)

0) 所以, BD ? (?3

2,?3 2,8), FE ? (0,?3 2,8)
BD ? FE | BD || FE | ? 0 ? 18 ? 64 100 ? 82 ? 82 10

cos ? BD , EF ??

设异面直线 BD 与 EF 所成角为 ? , 则 cos?

?| cos ? BD, EF ?|?

82 10

直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos

82 10

18、 (本小题满分 14 分) 设函数

f ( x) ? ?x 3 ? 3x ? 2 分别在 x1 、 x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A、B 的
f ( x1 )) 、 ( x2 , f ( x2 )) ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P 关于直

坐标分别为 ( x1 ,

线 y ? 2( x ? 4) 的对称点.求(Ⅰ)点 A、B 的坐标 ; (Ⅱ)动点 Q 的轨迹方程 18 解: (Ⅰ)令

f ?( x) ? (?x 3 ? 3x ? 2)? ? ?3x 2 ? 3 ? 0 解得 x ? 1或x ? ?1

当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 所 以 , 函 数 在 x ? ?1 处 取 得 极 小 值 , 在 x ? 1 取 得 极 大 值 , 故

x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4
所以, 点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) . (Ⅱ) 设 p(m, n) ,Q( x, y ) ,PA ? PB ?

??1 ? m,?n? ? ?1 ? m,4 ? n? ? m2 ?1 ? n2 ? 4n ? 4

1 y?n 1 y?m ?x?n ? k PQ ? ? , ?? , 所以 又 PQ 的中点在 y ? 2( x ? 4) 上, 所以 ? 2? ? 4? 2 x?m 2 2 ? 2 ?
消去 m, n 得

?x ? 8?2 ? ? y ? 2?2 ? 9
2

19、 (本小题满分 14 分) 已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 {an } 各项的和为 9,无穷等比数列 {a n } 各项的和为
第 17 页 (共 67 页)

81 . 5
(Ⅰ)求数列 {an } 的首项 a1 和公比 q ; ( Ⅱ ) 对给定的 k (k ? 1,2,3,? ? ?, n) , 设 T
(k )

是首项为 ak ,公差为 2a k

? 1 的等差数列 . 求数列

T ( k ) 的前 10 项之和;
(Ⅲ)设 bi 为数列 T
(i )

的第 i 项, S n

? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ,求 S n ,并求正整数 m(m ? 1) ,使得

Sn 存在且不等于零. n ?? m lim
(注:无穷等比数列各项的和即当 n ? ? 时该无穷数列前 n 项和的极限)

? a1 ?a1 ? 3 ?1 ? q ? 9 ? ? ?? 19 解: (Ⅰ)依题意可知, ? 2 2 q? ? a 1 ? 81 ? 3 ? 2 ? 5 ?1 ? q

?2? ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 , an ? 3 ? ? ? ?3?
d ? 2a2 ? 1 ? 3 ,
S10 ? 10 ? 2 ?

n?1

,所以数列 T

( 2)

的 的 首 项 为 t1

? a2 ? 2 , 公 差

1 ? 10 ? 9 ? 3 ? 155 ,即数列 T ( 2) 的前 10 项之和为 155. 2
i ?1

? 2? (Ⅲ) bi = ai ? ?i ? 1??2ai ? 1? = ?2i ? 1?ai ? ?i ? 1? = 3?2i ? 1?? ? ? 3?
n

? ?i ? 1? ,
n

Sn 45 18n ? 27 ? 2 ? n?n ? 1? ? 2 ? n?n ? 1? , lim m = lim m ? Sn ? 45 ? ?18n ? 27?? ? ? ? ? ? m n ? ? n ? ? n 2 n n 2n m ? 3? ?3?
当 m=2 时, lim

Sn Sn 1 =- ,当 m>2 时, lim m =0,所以 m=2 m n ?? n n ?? n 2

20、 (本小题满分 12 分) A 是由定义在 [ 2,4] 上且满足如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合:①对任意 x ? [1,2] ,都有

? (2 x) ? (1,2)



② 存 在 常 数 L(0 ? L ? 1) , 使 得 对 任 意 的

x1 , x2 ? [1,2] , 都 有

第 18 页

(共 67 页)

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 |
(Ⅰ)设 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2,4] ,证明: ? ( x) ? A (Ⅱ)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 (Ⅲ)设 ? ( x) ? A ,任取 xl

? (1,2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的;

? (1,2) ,令 xn?1 ? ? (2 xn ), n ? 1,2,? ? ?, 证明:给定正整数 k,对任意的
? xk |? Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L

正整数 p,成立不等式 | xk ?l

解:对任意 x ? [1,2] , ? (2x) ? 3 以 ? (2 x) ? (1,2) 对 任

1 ? 2x , x ?[1,2] , 3 3 ? ? (2 x) ? 3 5 , 1 ? 3 3 ? 3 5 ? 2 ,所





x1 , x2 ? [1,2]
2
2



| ? (2 x1 ) ? ? (2 x 2 ) |?| x1 ? x 2 |
3?
0<
3

3

?1 ? 2 x1 ?

2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x 2 ? ? 3 ?1 ? x 2 ?




3

?1 ? 2 x1 ?2
2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?
2





?1 ? 2 x1 ?2
, 令

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? 2
3

?

2 3

?1 ? 2 x1 ?

2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?

2

=

L



0 ? L ?1



| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 |
所以 ? ( x) ? A

? 反证法:设存在两个 x0 , x0
/

? 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? ? ( 2 x0 ? )则 ? (1,2), x0 ? x0
/

由 | ? (2 x0 ) ? ? (2 x0 ) |? L | x0 ? x0 | ,得 | x0 矛盾,故结论成立。

? x0 |? L | x0 ? x0 | ,所以 L ? 1 ,

/

/

x3 ? x2 ? ?(2x2 ) ? ?(2x1 ) ? L x2 ? x1 ,所以 xn?1 ? xn ? Ln?1 x2 ? x1
| xk ? p ? xk |? ?x ? xk ? p ?1

k? p

? ? ?x

k ? p ?1

? xk ? p ? 2

? ? ??x

k ?1 ? xk ? ?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L

? x k ? p ? x k ? p ?1 ? x k ? p ?1 ? x k ? p ? 2 ? ? x k ?1 ? x k ? Lk ? p?2 x2 ? x1 ? Lk ? p?3 x2 ? x1 +?
第 19 页 (共 67 页)

L

k ?1

x2 ? x1 ?

LK ?1 x 2 ? x1 1? L

2007 年广东卷数学(理科)
参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

如果事件 A,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 如果事件 A,B 相互独立,那么 P( A B) ? P( A) P( B) .

?? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式, b

? x y ? nx ? y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

? ? y ? bx . ,a

2

i

? nx

2

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 1.已知函数 f ( x) ? ?

1 的定义域 M , g ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域为 N ,则 M 1? x
B. {x | x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 1} D. ? )

N=





A. {x | x ? ?1}

2.若复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ? ( A.2 B.

1 2

C. ?

1 2

D. ? 2 )

2 3.若函数 f ( x) ? sin x ?

1 ( x ? R ) ,则 f ( x) 是( 2

π 的奇函数 2 C.最小正周期为 2 π 的偶函数
A.最小正周期为

B.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数

4.客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达内地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达 丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中,正确的是( ) s(km)
160 140 120 100 80 60

s(km)
160 140 120 100 80 60

s(km)
160 140 120 100 80 60

s(km)
160 140 120 100 80 60

t(h)
0 1 2 A. 3 0 1 2. 3 B 第 20 页

t(h)
0 1

t(h) C2 .
3 0 1 2. 3 D

t(h)

(共 67 页)

5.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? (



A.9 B.8 C.7 D.6 6. 图 1 是某县参加 2007 年高考的学生身高条形统计图, 从左到右的各条形表示的学生人数 依次记为 A . ,A2, ,A10 (如 A2 表示身高(单位:cm)在 ?150155 , ? 内的学生人数) 1 图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在 160~ 180cm(含 160cm,不含 180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 ( ) 开始 i ? 6 A. B. i ? 7 C. i ? 8 D. i ? 9 输入 A ,A2, ,A10 1

人数/人 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50
145 150 155 160 165170 175180185 190 195

s?0 i?4
i ? i ?1


s ? s ? Ai

输出s

身高/cm

结束 图2

图1

7.图 3 是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给 A,B,C,D 四个维修点某种配件各 50 件.在使用前发现需将 A, B, C, D 四个维修点的这批配件分别调整为 40 ,45 ,54 ,61 件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么要完成上述调整,最少 的调动件次 ( n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 ) n )为( A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

A

D

B
图3

C

8. 设 S 是至少含有两个元素的集合, 在 S 上定义了一个二元运算 “*” (即对任意的 a,b ? S , 对于有序元素对 ( a, b ) , 在 S 中有唯一确定的元素 a * b 与之对应) . 若对任意的 a,b ? S , 有 a * (b * a) ? b ,则对任意的 a,b ? S ,下列等式中不恒成立的是( A. (a * b) * a ? a C. b * (b * b) ? b B. [a * (b * a)] * (a * b) ? a D. (a *b) *[b * (a * b)] ? b )

第 21 页

(共 67 页)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13~15 题是选做题,考生只 能选做二题,三题全答的,只计算前两题得分. 9.甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装 有 4 个红球,2 个白球,乙袋装有 1 个红球,5 个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出 一个球,则取出的两球是红球的概率为 . (答案用分数表示) 10.若向量 a, b 满足 a ? b ? 1 , a 与 b 的夹角为 120 ,则 a a + a b = .

11 .在平面直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2, 1) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0)的焦点,则该抛物线的准线方程是



12.如果一个凸多面体是 n 棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的 直线共有 条, 这些直线中共有 f ( n) 对异面直线, 则 f (4) ? . (答案用数字或 n 的解析式表示) ; 图4

f ( n) ?

13. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 3 ?y ? 3?t

(参数 t ? R ) ,圆 C 的参数方程为 ? 标为

? x ? 2 cos? (参数 ? ??0, ,则圆 C 的圆心坐 2?? ) ? y ? 2sin ? ? 2


,圆心到直线 l 的距离为

14 . ( 不 等 式 选 讲 选 做 题 ) 设 函 数 f ( x)? 2x? 1? x ? , 3 则

E
A

D

C

f (? 2 ) ?

;若 f ( x) ≤ 5 ,则 x 的取值范围是



O
图5 .

B

l

15. (几何证明选讲选做题)如图 5 所示,圆 O 的直径 AB ? 6 , C 为圆 周上一点, BC ? 3 .过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l 的垂线 AD , AD 分 别与直线 l 、圆交于点 D,E ,则∠DAC ? ,线段 AE 的长为 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.

16. (12 分)已知 △ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3, 4) , B(0, 0) , C (c, 0) . (1)若 c ? 5 ,求 sin ∠ A 的值; (2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围. 17. (12 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与 相应的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据.

x y
(1)请画出上表数据的散点图;

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

? ?a ?; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx

第 22 页

(共 67 页)

(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回 归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 ) 18. (14 分) 在平面直角坐标系 xOy , 已知圆心在第二象限、 半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原点 O .椭圆 (1)求圆 C 的方程; (2) 试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q , 使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的 长,若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 . a2 9

19. (14 分)如图 6 所示,等腰 △ ABC 的底边 AB ? 6 6 ,高 CD ? 3 ,点 E 是线段 BD 上 异于点 B,D 的动点, 点 F 在 BC 边上, 且 EF ⊥ AB , 现沿 EF 将 △BEF 折起到 △PEF
P

的位置,使 PE ⊥ AE ,记 BE ? x , V ( x) 表示四棱锥 P ? ACFE 的体积. (1)求 V ( x) 的表达式; (2)当 x 为何值时, V ( x) 取得最大值?
A

D

E

B

(3)当 V ( x) 取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值.
C F

图6

20. (14 分) 已知 a 是实数, 函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a , 如果函数 y ? f ( x) 在区间 ??11 , ?
2

上有零点,求 a 取值范围. 21. (14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x ?1 ,?,? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根( ? ? ? ) , f ?( x ) 是 f ( x) 的
2

导数,设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ?

f (an ) (n ? 1, 2, ) . f ?(an )

(1)求 ?,? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n ,都有 an ? ? ; (3)记 bn ? ln

an ? ? ( n ? 1, 2, ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an ? ?

第 23 页

(共 67 页)

2007 年(广东卷)数学(理科 B)参考答案
一.选择题 CDDC BBCA 1. ?

?1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 故选(C) ?1 ? x ? 0

2. (1 ? bi)(2 ? i) ? (2 ? b) ? (2b ? 1)i 为纯虚数 ? b ? 2 ,故选(D)
2 3. f ( x) ? sin x ?

1 1 1 ? ? (1 ? 2sin 2 x) ? ? cos 2 x 2 2 2

故选(D)

?60t (0 ? t ? 1) ? 4. s ? ?60(1 ? t ? 1.5) ,故选(C) ?80(t ? 1.5) ? 60(1.5 ? t ? 2.5) ?
5. an ? sn ? sn?1 ? 2(n ? 5) ? a8 ? 6 ,k=8, (或 5<2k-10<8)故选(B) 6.计算 A4 ? A5 ? A6 ? A7 ,由算法框图知, i ? 8 故选(B)

7. A ? D 11 件, B ? C 4 件, B ? A 1 件,共 16 件,故选(C) 8.

a ? (b ? a) ? b ? 当 a ? b 时 b ? (b ? b) ? b ,又 [a ? (b ? a)] ? (a ? b) ? b ? (a ? b) ? a ;

A) (a ? b) ? [b ? (a ? b) ]? ( a ? b )? a , ? 故选( b 二.填空题 9. P( AB) ? P( A) P( B) ?
2

4 1 1 ? ? 6 6 9

1 2 5 1 5 11.线段 OA 的垂直平分线方程为 y ? ? ?2( x ? 1) ? F ( , 0) ? 准线方程 x ? ? 4 2 4 n ( n ? 1) n ( n ? 1)( n ? 2) 2 2 12. Cn ?1 ? ;12; n ? Cn ?1 ? 2 2
10. a ? a ? a ? b = a ? a b cos120 ? 13.参数方程化普通方程得直线方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,圆的方程为 x ? ( y ? 2) ? 4
2 2

因此圆心为 (0, 2) ,圆心到直线的距离为 d ?

2?6 2

?2 2

14. f (?2) ? ?4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 ; f ( x) ? 5 ? 2 x ? 1 ? 2 ? x ? ?1 ? x ? 1

三.解答题 16. (1)当 c ? 5 时, AB ? 5, BC ? 5, AC ? 2 5 ? cos ?A ?

5 2 5 ? sin ?A ? 5 5

第 24 页

(共 67 页)

(2) AC ?

(c ? 3) 2 ? 16, BC ? c , A 为钝角 AB 2 ? AC 2 ? AB 2 ? 25 ? (c ? 3)2 ? 16 ? c2

?c ?

25 3

17. (1) (略)
4 4 9 7 , y ? , ? xi yi ? 66.5 , ? xi 2 ? 86 , b ? 2 2 i ?1 i ?1

(2) x ?

? x y ? 4x y
i ?1 4 i i

4

?x
i ?1

2 i

? 4x

2

?

66.5 ? 63 ? 0.7 86 ? 81

a ? y ? bx ? 0.35 ,故现线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35
(3)当 x ? 100 时, y ? 70.35 , 90 ? 70.35 ? 19.65 ,故预测生产 100 吨甲产品的生产能 耗比技改前降低 19.65 吨标准煤。 18. (1)显然圆心 C 的坐标为 (?2, 2) ,故圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 (2)由题意知,椭圆的长轴长为 2a ? 10 ,椭圆的右焦点 F (4, 0) ,若圆 C 上存在点 Q ,使 得 FQ ? OF ? 4 ,则 Q 点圆 C 与圆 F : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 的交点,由

4 ? x? ? ?( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 ? y ? 3x ?x ? 0 ? 4 12 ? 5 ?? 2 或? ,所以 Q( , ) ,此时 ?? ? 2 2 2 5 5 ?( x ? 4) ? y ? 16 ? y ? 0 ? y ? 12 ? x ? y ? 8x ? 0 ? ? 5 ?
2 2

4 12 FQ ? 4 满足题意,故圆 C 上存在点 Q( , ) 符合题目要求。 5 5
19. (1) EF ? AB,? PE ? EF , 又 PE ? AE, AE

EF ? E , ? PE ? 平面 ACFE 且

PE ? x , ? ACD

?BEF ? EF ?

3 3 6

x?

6 x ,四棱锥 P ? ACFE 的底面积为 6

s ?9 6?

6 2 6 x ? (108 ? x 2 ) , 12 12

1 1 6 6 ?V ( x) ? s ? PE ? ? (108 ? x 2 ) x ? (108x ? x3 ) (0 ? x ? 3 6) 3 3 12 36
(2)V ' ( x) ?

6 (36 ? x 2 ) , x ? (0, 6) 时 V ' ( x) ? 0 , x ? (6,3 6) 时 V ' ( x) ? 0 ,V ( x) 12

在 (0, 6) 上增,在 (6,3 6) 上减,故 V ( x) 在 x ? 6 时,取最大值为 12 6

第 25 页

(共 67 页)

(3)过 F 作 FG AC 交 AB 于 G ,则 ?PFG 是直线 AC 与 PF 所成角且 ? FGB 是等 腰三角形,由(2)知 EF ? 6,? FG ? FB ? 42, EG ? EB ? 6, PG ? 6 2, PF ? 42 在 ?PFG cos ?PFG ? 所成角的余弦值为

PF 2 ? FG 2 ? PG 42 ? 42 ? 72 1 ? ? ,所以异面直线 AC 与 PF 2PF ? FG 84 7

2

1 7 3 ? [?1,1] 2

20. (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 3 ? 0 ? x ? (2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a

① f ( x) ? 0 在 [?1,1] 上有惟一解,则 f (?1) f (1) ? (a ? 1)(a ? 5) ? 0 ? 1 ? a ? 5

1 ? ??1 ? ? 2a ? 1 ? 3 7 ② f ( x) ? 0 在 [?1,1] 上有两解,则 ?? ? 4 ? 8a(?a ? 3) ? 0 ? a ? ? ? 或a ? 5, 2 2 ? f (?1) f (1) ? 0 ? ?
综上,所求 a 的取值范围为 (??, ?

3 7 ? ] [1, ??) 2 2

21. (1) ? ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ,? ? 2 2

(2) f ?( x) ? 2 x ? 1 , f (an ) ? an 2 ? an ?1, f ?(an ) ? 2an ? 1 ,

an?1 ? an ?

f (an ) a 2 ? an ? 1 an 2 ? 1 ,易证 an ? 0 ? an ? n ? f ?(an ) 2an ? 1 2an ? 1
?1 ? 5 3 ? 5 ? ? 0 ? a1 ? ? 2 2

①当 n ? 1 时, a1 ? ? ? 1 ?

②假设 n ? k 时命题成立,即 ak ? ? ,则当 n ? k ? 1 时

ak ?1 ? ? ?

ak 2 ? 1 a 2 ? 1 ? 2ak? ? ? ak 2 ? 2ak? ? ? 2 (ak ? ? )2 ?? ? k ? ? ?0 2ak ? 1 2ak ? 1 2ak ? 1 2ak ? 1

( ? 2 ? ? ?1 ? 0?1 ? ? ? ? 2 ) ? ak ?1 ? ? 所以 n ? k ? 1 时命题也成立
由①②可知 an ? ?

第 26 页

(共 67 页)

(ak ? ? )2 ? a ?? ? a ?? 2ak ? 1 (ak ? ? ) 2 (3)由(2)知 k ?1 , ?ln n ? ? ? 是公比为 2,首项为 2 2 ak ?1 ? ? (ak ? ? ) (ak ? ? ) ? an ? ? ? 2ak ? 1

ln

3? 5 1? 5 1? 5 的等比数列,其前 n 项的和为 4(2n ? 1) ln ? 4ln 2 2 3? 5
试卷类型 B

绝密 ★ 启用前

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 (广东卷) 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试 室号、座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应 位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” . 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须填写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息 点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:如果事件 A,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 已知 n 是正整数,则 a ? b ? (a ? b)(a
n n n?1

? an?2b ?

? abn?2 ? bn?1 ) .

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知 0 ? a ? 2 ,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1,则 z 的取值范围是( )

, 5) A. (1

, 3) B. (1

C. (1 ,5)

D. (1 ,3) )

2.记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? A.16 B.24

1 , S4 ? 20 ,则 S6 ? ( 2
D.48

C.36

第 27 页

(共 67 页)

3. 某校共有学生 2000 名, 各年级男、 女生人数如表 1. 已 知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率 女生 是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生, 男生 则应在三年级抽取的学生人数为( C ) A.24 B.18 C.16 D.12

一年级 373 377

二年级

三年级

x
370 表1

y

z

? 2 x ? y ≤ 40, ? ? x ? 2 y ≤ 50, 4.若变量 x, y 满足 ? 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是( x ≥ 0 , ? ? y ≥ 0, ?



A.90 B.80 C.70 D.40 5.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中点)得到几何体 如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) H B A I C G 侧视 D F 图1 题的是( ) B. p ? q
ax

A B C B E A.

B

B

B

E

E F 图2

D

E

E B. C.

E D.

6.已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则下列命题中为真命 A. (?p) ? q C. (?p) ? (?q) D. (?p) ? (?q) )

7.设 a ? R ,若函数 y ? e ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则( A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? ?

1 3

D. a ? ?

1 3

8.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与

CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? (

) 开始 输入 m ,n

1 1 A. a ? b 4 2 1 2 D. a ? b 3 3

2 1 B. a ? b 3 3

1 1 C. a ? b 2 4

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分, 满分 30 分. (一)必做题(9~12 题) 9.阅读图 3 的程序框图,若输入 m ? 4 , n ? 6 ,则输出 ,i ? . a? (注:框图中的赋值符号“ ? ”也可以写成“ ? ”或“ :? ” )

i ?1
a ? m?i

i ? i ?1
n 整除 a? 是 输出 a, i 否

第 28 页

(共 67 页)

结束 图3

10.已知 (1 ? kx 2 )6 ( k 是正整数)的展开式中, x 的系数小于
8

120,则 k ?

. . .

11. 经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C , 且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 12.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小正周期是 二、选做题(13—15 题,考生只能从中选做两题)

13 . (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ? cos? ? 3,

? ? 4cos ? ? ? ≥ 0, 0 ≤? ? ? ,则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为 2
?
14. (不等式选讲选做题)已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x ? x ? a ?
2

? ?

π?



1 ? a ? 0 有实根,则 4

. 15. (几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的 直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)

a 的取值范围是

0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,

?π 1? M ? , ?. ? 3 2?
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

17. (本小题满分 13 分) 随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等 品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ? . (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提高为 70% .如果 此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少? 18. (本小题满分 14 分)
第 29 页 (共 67 页)

设 b?0 , 椭 圆 方 程 为

x2 y2 ? ?1 , 抛 物 线 方 程 为 2b 2 b 2
A

y F G F1 O 图4 B x

4 所示,过点 F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线,与 x2 ? 8 ( y? b.如图 ) 抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的 右焦点 F 1.

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 △ ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这 些点的坐标). 19. (本小题满分 14 分)

? 1 ,x ? 1 ? x?R , F ( x) ? f ( x) ? kx , 设k ?R , 函数 f ( x) ? ?1 ? x , 试讨论函数 F ( x ) ?? x ? 1,x ≥1 ?
的单调性. 20. (本小题满分 14 分) 如图 5 所示, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形, 其中 BD 是圆的直径,?ABD ? 60 ,?BDC ? 45 , PD 垂直底面 ABCD , PD ? 2 2 R , E,F P

PE DF ? ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G . EB FC (1)求 BD 与平面 ABP 所成角 ? 的正弦值; (2)证明: △EFG 是直角三角形; PE 1 ? 时,求 △EFG 的面积. (3)当 A EB 2
分别是 PB,CD 上的点,且 B 21. (本小题满分 12 分)

E

G

D F C

图5

2 设 p, q 为实数, ?,? 是方程 x ? px ? q ? 0 的两个实根,数列 {xn } 满足 x1 ? p ,

4, ?) . x2 ? p2 ? q , xn ? pxn?1 ? qxn?2 ( n ? 3,
(1)证明: ? ? ? ? p , ?? ? q ; (2)求数列 {xn } 的通项公式; (3)若 p ? 1 , q ?

1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4
第 30 页 (共 67 页)

绝密★启用前

试卷类型 B

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)参考答案
一、选择题:C D C C 1.C【解析】 z ? A D B B

a 2 ? 1 ,而 0 ? a ? 2 ,即1 ? a 2 ? 1 ? 5 ,?1 ? z ? 5

2.D【解析】 S 4 ? 2 ? 6d ? 20 ,? d ? 3 ,故 S 6 ? 3 ? 15d ? 48 3.C 【解析】依题意我们知道二年级的女生有 380 人,那么三年级的学生的人数应该是 2000 ? 373 ? 377 ? 380 ? 370 ? 500 ,即总体中各个年级的人数比例为 3 : 3 : 2 ,故在分层 抽样中应在三年级抽取的学生人数为 64 ? 4.C 5.A

2 ? 16 8

6. D 【解析】 不难判断命题 p 为真命题, 命题 q 为假命题, 从而上述叙述中只有 (?p) ? (?q) 为真命题 7. B 【解析】 f '( x) ? 3 ? aeax , 若函数在 x ? R 上有大于零的极值点, 即 f '( x) ? 3 ? aeax ? 0 有正根。当有 f '( x) ? 3 ? aeax ? 0 成立时,显然有 a ? 0 ,此时 x ? 们马上就能得到参数 a 的范围为 a ? ?3 。 8.B 二、填空题: 9. 【解析】要结束程序的运算,就必须通过 n 整除 a 的条件运算,而同时 m 也整除 a ,那 么 a 的最小值应为 m 和 n 的最小公倍数 12,即此时有 i ? 3 。
r r r 2r 10. 【解析】 (1 ? kx 2 )6 按二项式定理展开的通项为 Tr ?1 ? C6 (kx2 )r ? C6 k x ,我们知道 x 4 4 的系数为 C6 k ? 15k 4 ,即 15k ? 120 ,也即 k ? 8 ,而 k 是正整数,故 k 只能取 1。
4 4 8

1 3 ln(? ) ,由 x ? 0 我 a a

11. 【解析】易知点 C 为 (?1, 0) ,而直线与 x ? y ? 0 垂直,我们设待求的直线的方程为

y ? x ? b ,将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b ? 1 ,故待求的直线的方程为 x ? y ?1 ? 0 。
12. 【解析】 f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? 的最小正周期 T ?

2? ?? 。 2

1 ? cos 2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x ? ? cos(2 x ? ) ? ,故函数 2 2 2 4 2

二、选做题(13—15 题,考生只能从中选做两题)

第 31 页

(共 67 页)

? ? ? cos ? ? 3 ? 解得 ? ? ? 2 3 ,即两曲线的交点为 (2 3, ? ) 。 13. 【解析】由 ? ( ? ? 0,0 ? ? ? ) ? ? 6 2 ? ? ? 4cos ? ?? ? 6 ?
14. ?0, ? 4 15. 【解析】依题意,我们知道 ?PBA

? 1? ? ?
?PAC ,由相似三角形的性质我们有

PA PB ? ,即 2 R AB

R?

PA ? AB 2 ? 22 ? 12 ? ? 3。 2PB 2 ?1

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.

s i n ( x ? )? , 16. 解: (1) 依题意有 A ? 1 , 则 f (x) ? 将点 M (
而 0 ? ? ? ? ,?

? 1

5 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2

?

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2

3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65 126 50 P(? ? 6) ? ? 0.63 , P(? ? 2) ? ? 0.25 ? 的所有可能取值有 6, 17. 解: (1) 2, 1, -2; 200 200 20 4 P(? ? 1) ? ? 0.1 , P(? ? ?2) ? ? 0.02 200 200
故 ? 的分布列为:

?
P

6 0.63

2 0.25

1 0.1

-2 0.02

(2) E? ? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? (?2) ? 0.02 ? 4.34 (3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为

E( x) ? 6 ? 0.7 ? 2 ? (1 ? 0.7 ? 0.01 ? x) ? (?2) ? 0.01 ? 4.76 ? x(0 ? x ? 0.29)
依题意, E ( x) ? 4.73 ,即 4.76 ? x ? 4.73 ,解得 x ? 0.03 所以三等品率最多为 3% 18.解: (1)由 x ? 8( y ? b) 得 y ?
2

1 2 x ?b, 8

y F G A F1 O 图4 B x

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4, b ? 2) ,
第 32 页 (共 67 页)

y'?

1 x , y ' |x ? 4 ? 1 , 4

过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 , 令 y ? 0 得 x ? 2 ? b ,? F 1 点的坐标为 (2 ? b, 0) , 由椭圆方程得 F 1 点的坐标为 (b, 0) ,? 2 ? b ? b 即 b ? 1 ,

x2 ? y 2 ? 1和 x2 ? 8( y ? 1) ; 即椭圆和抛物线的方程分别为 2
(2) 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P , ? 以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有一个,同理? 以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个。 若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 ( x,

1 2 x ? 1) , A 、 B 两点的坐标分别为 (? 2,0) 和 8

( 2,0) ,
1 1 4 5 2 PA PB ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? x ? x ?1 ? 0 。 8 64 4
关于 x 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解,即以 ?APB 为直角的 Rt ?ABP 有两个,
2

因此抛物线上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形。 19.解: ? 1 ? 1 ? kx, x ? 1, ? k, ? 2 ? F ( x) ? f ( x) ? kx ? ?1 ? x , ? (1 ? x) ?? x ? 1 ? kx, x ? 1, F '( x) ? ? ? ?? 1 ? k , ? ? 2 x ?1 1 对于 F ( x) ? ? kx( x ? 1) , 1? x 当 k ? 0 时,函数 F ( x ) 在 (??,1) 上是增函数; 当 k ? 0 时,函数 F ( x ) 在 ( ??,1 ? 对于 F ( x) ? ?

x ? 1, x ? 1,

1 1 ) 上是减函数,在 (1 ? ,1) 上是增函数; k k

1 ? k ( x ? 1) , 2 x ?1

当 k ? 0 时,函数 F ( x ) 在 ?1, ?? ? 上是减函数;

1 1 ? ? 当 k ? 0 时,函数 F ( x ) 在 ?1,1 ? 2 ? ? 上是减函数,在 ?1 ? 2 , ?? ? 上是增函数。 ? 4k ? ? ? 4k ? 20.解: (1)在 Rt ?BAD 中,

P E G D F C 图5

?ABD ? 60 ,? AB ? R, AD ? 3R
而 PD 垂直底面 ABCD, PA ?

PD ? AD ? (2 2 R) ? ( 3R) ? 11R
2 2 2 2

A
第 33 页 (共 67 页)

B

PB ? PD 2 ? BD 2 ? (2 2 R) 2 ? (2 R) 2 ? 2 3R ,
在 ?PAB 中, PA ? AB ? PB ,即 ?PAB 为以 ?PAB 为直角的直角三角形。
2 2 2

设点 D 到面 PAB 的距离为 H , 由 VP? ABD ? VD?PAB 有 PA AB H ? AB AD PD , 即 H?

AD PD 3R 2 2R 2 66 ? ? R, PA 11 11R

H 66 ; ? BD 11 PE DF PE PG (2) EG / / BC ,? ,而 , ? ? EB FC EB GC PG DF 即 ? ,? GF / / PD ,? GF ? BC ,? GF ? EG ,? ?EFG 是直角三角形; GC DC EG PE 1 GF CF 2 PE 1 (3) ? ? , ? ? , ? 时 BC PB 3 PD CD 3 EB 2 sin ? ?

1 1 2 2 2 4 2 BC ? ? 2R ? cos 45? ? R, GF ? PD ? ? 2 2R ? R, 3 3 3 3 3 3 ? ?EFG 的面积 S?EFG ? 1 EG GF ? 1 ? 2 R ? 4 2 R ? 4 R 2 2 2 3 3 9
即 EG ? 21.解: (1)由求根公式,不妨设 ? ? ? ,得 ? ?

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ,? ? 2 2

?? ? ? ?

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ? ? p , ?? ? ? ?q 2 2 2 2

(2)设 xn ? sxn?1 ? t ( xn?1 ? sxn?2 ) ,则 xn ? (s ? t ) xn?1 ? stxn?2 ,由 xn ? pxn?1 ? qxn?2 得, ?

?s ? t ? p ,消去 t ,得 s 2 ? ps ? q ? 0 ,? s 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的根, st ? q ?

由题意可知, s1 ? ? , s2 ? ? ①当 ? ? ? 时,此时方程组 ?

?s ? ? ?s2 ? ? ?s ? t ? p 的解记为 ? 1 或? ? st ? q ? t1 ? ? ? t2 ? ?

? xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ), xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ),
即 ?xn ? t1xn?1? 、 ?xn ? t2 xn?1? 分别是公比为 s1 ? ? 、 s2 ? ? 的等比数列, 由等比数列性质可得 xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )?
n ?2

, xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )?

n ?2

,

第 34 页

(共 67 页)

两式相减,得 (? ? ? ) xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2

x2 ? p2 ? q, x1 ? p ,? x2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? , x1 ? ? ? ? ?( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n , ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n
? ?? ?(? ? ? ) xn?1 ? ? n ? ? n ,即? xn?1 ? ? ? ? ,? xn ? ? ?? ? ??
n n

n ?1

n ?1

②当 ? ? ? 时,即方程 x2 ? px ? q ? 0 有重根,? p2 ? 4q ? 0 , 即 (s ? t )2 ? 4st ? 0 ,得 (s ? t )2 ? 0,? s ? t ,不妨设 s ? t ? ? ,由①可知

xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , ? ? ? ,? xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? n
即? xn ? ? xn?1 ? ? n ,等式两边同时除以 ? ,得
n

?

xn
n

?

?

xn ?1
n ?1

? 1 ,即

?

xn
n

?

? n ?1

xn ?1

?1

x ? 数列 { nn } 是以 1 为公差的等差数列,? xnn ? x1 ? (n ? 1) ?1 ? 2? ? n ? 1 ? n ? 1 ? ? ? ?

? xn ? n? n ? ? n
? ? n?1 ? ? n?1 , (? ? ? ) 综上所述, x ? ? ? ? ?? n ? n? n ? ? n , (? ? ? ) ?
(3)把 p ? 1 , q ?

1 1 1 2 2 代入 x ? px ? q ? 0 ,得 x ? x ? ? 0 ,解得 ? ? ? ? 4 4 2

1 1 ? xn ? n ( ) n ? ( ) n 2 2
1 1 1 ? ? 1 1 1 1 ? ? 1 Sn ? ? ( ) ? ( )2 ? ( )3 ? ... ? ( ) n ? ? ? ( ) ? 2 ( ) 2 ? 3 ( )3 ? ... ? n ( ) n ? 2 2 2 ? ? 2 2 2 2 ? ? 2

1 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ( )n ? ? ( ) ? 2 ( ) 2 ? 3 ( )3 ? ... ? n ( ) n ? 2 2 2 2 ? ? 2

1 1 1 1 ? 1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 3 ? ( n ? 3)( ) n 2 2 2 2

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)解析
学 科网 学 科网

学科网

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

第 35 页

(共 67 页)

1.巳知全集 U ? R ,集合 M ? {x ?2 ? x ?1 ? 2} 和 N ? {x x ? 2k ?1, k ? 1,2, ???} 的关系的 韦恩( Venn )图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有
学科网 学科网

a( z ) 2.设 z 是复数,
表示满足 z ? 1 的最小正整数 n ,则对虚数单位 i , a(i) ?
n
学科网 学科网

x 3.若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )的反函数,其图像经过点 ( a , a) ,则

f ( x) ?

学科网 学科网

学科网

4. 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, ??? ,且 a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3),则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a 3 ? ? ? ? log 2a n 2? 1 ?

学科网 学科网

第 36 页

(共 67 页)

5.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网

学科网

学科网

科网

6.一质点受到平面上的三个力 F 牛顿) 的作用而处于平衡状态. 已知 F1 , F2 F2 ,F3(单位: 1,
学科网 学科网

成 60 ? 角,且 F 1 , F2 的大小分别为2和4,则 F 3 的大小为

7.2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别 从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余 三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种 2
学科网 学科网 学科网

第 37 页

(共 67 页)

8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线)行驶.甲车、乙车的速 度曲线分别为?甲 和? 乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t 0 和 t1 ,下列判断中一定正确 的是
学科网 学科网

A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面

学科网 学科网

B. t1 时刻后,甲车在乙车后面

学科网 学科网

C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同

学科网 学科网

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 (一)必做题(9~12题)
学科 网 学 科网

学科 网

9.随机抽取某产品 n 件,测得其长度分别为 a1 , a2 , ???an ,则图 3 所示 的程序框图输出的 s ? , s 表示的样本的数字特征是 (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←” “=” )
学科网



学科网

第 38 页

(共 67 页)

10.若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 1 , a ? b 平行于 x 轴, b ? (2, ?1) ,则 a ?



学科网



11.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 。

3 ,且 G 上一点到 G 的两个 2

学科网

12. 已知离散型随机变量 X 的分布列如右表.若 EX ? 0 , DX ? 1 ,则 a ? ,b ? 。
学科网

学科网

学 科网

学 科网

(二) 选做题 (13 ~ 15 题, 考生只能从中选做两题)
学 科网

13. (坐标系与参数方程选做题) 若直线 l1 : ? 为参数)垂直,则 k ? 。

? x ? 1 ? 2t ?x ? s ( t 为参数) 与直线 l2 : ? (s ? y ? 2 ? kt ? y ? 1 ? 2s

学科网

第 39 页

(共 67 页)

学科网

14.(不等式选讲选做题)不等式

x ?1 ? 1 的实数解为 x?2



学科网

15. ( 几何证明选讲选做题)如图 4 ,点 A, B, C 是圆 O 上的点, 且

AB ? 4, ?ACB ? 45? ,则圆 O 的面积等于



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.已知向量 a ? (sin ? , ?2)与b ? (1,cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

)。

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值。 10 2

第 40 页

(共 67 页)

17.根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:

对 某 城 市 一 年 ( 365 天 ) 的 空 气 质 量 进 行 监 测 , 获 得 API 数 据 按 照 区 间

[0,50],(50,100],(100,150],(150, 200],(200, 250],(250,300]
进行分组,得到频率分布直方图如图 5 (1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的 概率。(结果用分数表示.已知

57 ? 78125, 27 ? 128,

3 2 7 ? ? 1825 365 1825

第 41 页

(共 67 页)

故一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数 n ? 365 ? 【考点描述】概率与统计。

219 ? 219 (天) 365

18. 如图6,已知正方体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为2,点E是正方形

BCC1B1 的中心,点F、G分别是棱 C1D1, AA1 的中点。设点 E1 , G1 分别是
点E、G在平面 DCC1D1 内的正投影。 (1)求以E为顶点,以四边形 FGAE 在平面 DCC1D1 内的正投影为底面 边界的棱锥的体积; (2)证明:直线 FG1 ? 平面FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1与EA 所成角的正弦值。

2 19. 已 知 曲 线 C : y ? x 与 直 线 l : x ? y ? 2 ? 0 交 于 两 点 A( xA , yA ) 和 B( xB , yB ) , 且

xA ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为

第 42 页

(共 67 页)

D 。设点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合。
(1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值。 25

得极小值 m ? 1(m ? 0) 。设 f ( x ) ?

g ( x) 。 x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点。

第 43 页

(共 67 页)

21. 已 知 曲 线 Cn : x2 ? 2nx ? y 2 ? 0(n ? 1, 2,

) 曲 线 Cn 引 斜 率 为 ) 。 从 点 P(? 1, 0 向

kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) 。
(1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?

? x2 n?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n 。 1 ? xn yn

第 44 页

(共 67 页)

绝密 ★ 启用前

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东A卷) 数学(理科)
一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.若集合A={ A. { C. {

x

-2< x <1},B={

x

0< x <2}则集合A ∩ B= B. { D. {

x x

-1< x <1} -2< x <2}

x x

-2< x <1} 0< x <1}

2.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2= A.4 B. 2+ i C. 2+2 i D.3 3.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则 A.f(x)与g(x)均为偶函数 B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 A.f(x)与g(x)均为奇函数 B. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

第 45 页

(共 67 页)

5 { a } a ? a ? 2 a a a 1 , 且 4 与2 7 的等差中项为 4 , 4. 4.已知 n 为等比数列, S 是它的前n项和。 若 2 3
n



S5 =
B.33 C.31 D.29

A.35

5. “

m?

1 4 ”是“一元二次方程 x 2 ? x ? m ? 0 ”有实数解“的
B.充分必要条件 D.非充分必要条件

A.充分非必要条件 C.必要非充分条件

3 6.如图1,△ ABC为三角形, AA? // BB? // CC ? , CC ? ⊥平面ABC 且3 AA? = 2 BB? = CC ?
=AB,则多面体△ABC - A?B?C ? 的正视图(也称主视图)是

A

B

C

D

w_w w.k *s_5 u .c o_m

7已知随机变量X服从正态分布N(3.1),且p(2 ≤X ≤4)=0.6826,则p(X>4)= A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585 8.为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯彩 灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯商量的颜色各不相同 。记这这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪 亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至 少是 A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。 (一)必做题(9-13题)
w_w w.k*s_5 u.c o_ m

9. 函数 f ( x) =lg( x -2)的定义域是

.

第 46 页

(共 67 页)

r r a b 10.若向量 =(1,1,x), =(1,2,1),

r r r r c =(1,1,1),满足条件 (c ? a ) ? (2b) =-2,则 x =

.

11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b= 3 , A+C=2B,则 sinC= .

12.已知圆心在x轴上,半径为 2 的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程 是
w_w w.k*s_5 u.c o_m

13.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行 了抽样调查,其中n位居民的月均用水量分别为x1…xn(单位:吨),根据图2所示的程序框图, 若n=2,且x1,x2 分别为1,2,则输出地结果s为 .
w_w w.k*s_5 u .c o_m

14、(几何证明选讲选做题)如图3,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相
2a 交于AB的中点P,PD= 3 ,∠OAP=30°,则CP=______.

w_w w.k *s_5 u .c o_m

15、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ)(0 ≤ θ<2π)中,曲线 ρ= 2sin ? 与 p cos ? ? ?1 的交点的极坐标为______。 三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤。
第 47 页 (共 67 页)

16、(本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? (??, ??), 0 ? ? ? ? 在 4 (1) 求f(x)的最小正周期; (2) 求f(x)的解析式;
2 ? 12 (3) 若f( 3 α + 12 )= 5 ,求sinα x?

?
12 时取得最大值

w_w w.k* s_5 u. c o_m

17.(本小题满分12分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况, 随即抽取该流水线上40件产品作为样本 算出他们的重量(单位:克)重量的分组区间为(490, 由此得到样本的频率分布直方图,如图4所示。

495?

, (495,

500?

,……(510,

515?



(1) 根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量。 (2) 在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505克的产品数量,求Y的分布 列。 (3) 从流水线上任取5件产品,求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。 18.(本小题满分14分)
w_w w.k*s_5 u.c o_m

如图5, ABC 是半径为a的半圆,AC为直径,点E为 AC 的中点,点B和点C为线段AD的三等 分点。平面AEC外一点F满足FB=FD= 5 a,FE= 6 a

?

?

第 48 页

(共 67 页)

图5 (1) 证明:EB⊥FD;

2 2 (2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得BQ= 3 FE,FR= 3 FB,求平面BED与平面RQD所
成二面角的正弦值。

19.(本小题满分12分) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6 个单位蛋白质和6个单位的维生素C; 一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物, 6个单位的蛋 白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64个单位的碳水化合 物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并 且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?
w_w w.k* s_5 u. c o_m

20. (本小题满分为14分)

x2 ? y2 ? 1 一直双曲线 2

的左、右顶点分别为A1,A2,点

p ( x1 , y1 )



Q( x1 , ? y1 )

是双曲线

上不同的两个动点 (1) 求直线A与A2Q交点的轨迹E的方程式; (2) 若点H(O, h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且

l1 ? l2

,求h的值。

第 49 页

(共 67 页)

21. (本小题满分14分) 设A(

x1 , y1 ),B( x2 , y2 )是平面直角坐标系xOy上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离
w_w w.k*s_5 u.c o_m

p(A,B)为 P(A,B)=

x2 ? x1

+

y 2 ? y1

.

对于平面 xOy 上给定的不同的两点A(

x1 , y1 ),B( x2 , y2 )

(1) 若点C(x, y)是平面 xOy 上的点,试证明P ( A, C ) +P (C , B) ? P ( A, B) ; (2) 在平面 xOy 上是否存在点C(x, y),同时满足 1. ①P ( A, C ) +P (C , B) = P ( A, B) ②P ( A, C ) = P (C , B)

若存在,请求所给出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明。

第 50 页

(共 67 页)

第 51 页

(共 67 页)

第 52 页

(共 67 页)

第 53 页

(共 67 页)

第 54 页

(共 67 页)

第 55 页

(共 67 页)

第 56 页

(共 67 页)

第 57 页

(共 67 页)

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)A
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:柱体体积公式 V=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.

线性回归方程 y ? b x ? a 中系数计算公式 b ?

^

^

^

^

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

,a ? y ?b , 其中 x, y 表示

^

^

2

样本均值.

n 是正整数,则 an - bn ? (a - b)(an-1 ? an-2b ???? abn-2 ? bn-1 )
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 设复数z满足(1 ? i) z ? 2,其中i为虚数单位,则 z? A. 1 ? i 2 B. 1 ? i C. 2 ? 2i D. 2 ? 2i .

已知集合 A ? ( x, y) x, y为实数,且 x 2 ? y 2 ? 1 ,B ? ? ( x, y) x, y为实数,且 y ? x?,
则A ? B的元素个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

?

?

3. 若向量a , b, c满足a // b且a ? c,则c ? (a ? 2b) ? A. 4 B. 3 C. 2 D. 0

4. 设函数f ( x)和g ( x)分别是R上的偶函数和奇函数, 则下列结论恒成立的是 A. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 C. B. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 D.

f ( x) ? g ( x)是偶函数

f ( x) ? g( x)是奇函数

?0 ? x ? 2 ? 已知平面直角坐标系 xOy上的区域D由不等式组? y ? 2 给定。若M ( x, y )为 5. ? x ? 2y ?

D上的动点,点 A的坐标为 ( 2,1),则z ? OM ? OA 的最大值为

第 58 页

(共 67 页)

A. 4 2

B. 3 2

C. 4

D. 3

6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要 再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 A.

1 2

B.

3 5

C.

2 3

D.

3 4

7.如图 1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形, 侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 A. 6 3 B. 9 3 C. 12 3 D. 18 3

8.设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果 ?a, b ? S ,有 ab ? S ,则称 S 关于数的乘法是封闭 的 . 若 T ,V 是 Z 的 两 个 不 相 交 的 非 空 子 集 , T

V ? Z , 且 ?a, b, c ? T , 有 abc ? T ;

?x, y, z ?V ,有 xyz ?V ,则下列结论恒成立的是
A. T ,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 闭的 C. T ,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 的 二、填空题:本大题共 7 小题.考生 作答 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 x ?1 ? x ? 3 ? 0 的解集是 10. x( x ? ) 的展开式中 x 4 的系数是
7

B. T ,V 中至多有一个关于乘法是封

D. T ,V 中每一个关于乘法都是封闭

. . (用数字作答) .

2 x

11.等差数列 ?an ? 的前 9 项和等于前 4 项和,若 a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 ,则 k ? 12.函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1在 x ? 处取得极小值.

13.某数学老师身高 176cm,他爷爷,父亲,儿子的身高分别是 173cm,170cm 和 182cm, 因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 cm.
第 59 页 (共 67 页)

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ?

? x ? 5 cos? ? y ? sin ?

(0≤? <??)

5 ? ?x ? t 2 和? 4 ? y ? t ?
(t∈R) ,它们的交点坐标为 . 15. (几何证明选讲选做题)如图 4,过圆 o 外一点 P 分别做 圆的切线和割线交圆于 A,B 两点,且 PB=7,C 是圆上一点使 得 BC=5, ?BAC ? ?APB, 则 AB= .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (

5? ) 的值; 4

1 3

?
6

), x ? R .

(2)设 ? , ? ? [0,

?

2

] , f (3? ?

?
2

)?

10 6 , f (3? ? 2? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 13 5

(纯 word 版 2011 年高考数学广东卷首发于数学驿站:www.maths168.com) 17. (本小题满分 13 分) 为了解甲,乙两厂的产品质量,采取分层抽样的方法从甲,乙两厂的产品中分别抽取 14 件 和 5 件,测量产品中微量元素 x , y 的含量(单位:毫克) .下表是乙厂的 5 件产品的测量数 据: 编号 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

x
y

(1) 已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2) 当产品中微量元素 x , y 满足 x ? 175 且 y ? 75 时,该产品为优等品.用上述样 本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3) 从乙厂抽出的上述 5 件产品中, 随即抽取 2 件, 求抽出的 2 件产品中优等品数 ?

第 60 页

(共 67 页)

的分布列及其均值(即数学期望) .

18. (本小题满分 13 分) ABCD 是边长为 1 的菱形, 如图 5, 在锥体 P-ABCD 中, 且 ?DAB ? 60 ,PA ? PD ? 2 , PB=2,E,F 分别是 BC,PC 的中点. (1) 证明:AD⊥平面 DEF; (2) 求二面角 P-AD-B 的余弦值.

19. (本小题满分 14 分) 设圆 C 与两圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 , ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 中的一个内切,另一个外切. (1) 求 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2) 已知点 M(

3 5 4 5 , ) ,F( 5 ,0) ,且 P 为 L 上的动点,求 MP ? FP 5 5

的最大值及此时点 P 的坐标.

20. (本小题满分 14 分) 设 b>0,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , an ?

nban?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2

b n ?1 ?1. 2n ?1

21. (本小题满分 14 分)

第 61 页

(共 67 页)

在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L : y ?

1 2 x ,实数 p, q 满足 p2 ? 4q ? 0 , x1 , x2 是 4

方程 x2 ? px ? q ? 0 的两根,记 ? ( p, q) ? max{| x1 |,| x2 |} . (1) 过点 A( p0 ,

1 2 p0 )( p0 ? 0) 作 L 的切线交 y 轴于点 B. 证明: 对线段 AB 上的任一点 4 |p | Q( p, q) ,有 ? ( p, q ) ? 0 ; 2

(2) 设 M (a, b) 是定点,其中 a , b 满足 a2 ? 4b ? 0, a ? 0 .过 M (a, b) 作 L 的两条切线

l1 , l2 ,切点分别为 E ( p1 ,

1 2 1 p1 ), E `( p2 , p2 2 ) , l1 , l2 与 y 轴分别交于 F , F `.线段 4 4 | p1 | ; 2

EF 上异于两端点的点集记为 X, 证明: M (a, b) ? X ?| p1 |?| p2 |? ? (a, b) ? (3) 设 D ? {( x, y ) | y ? x ? 1, y ?

1 5 ( x ? 1)2 ? } ,当点 ( p, q) 取遍 D 时,求 ? ( p, q ) 的 4 4

最小值(记为 ?min )和最大值(记为 ?max ) .

第 62 页

(共 67 页)

第 63 页

(共 67 页)

第 64 页

(共 67 页)

第 65 页

(共 67 页)

第 66 页

(共 67 页)

第 67 页

(共 67 页)


赞助商链接
相关文章:
广东省最新十年高考理科数学试题(05年—14年)
​十​年​高​考​理​科​数​学​试​题​及​参...2005 年高考数学(广东卷)试题参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=...
历年高考数学真题-2005年高考理科数学(湖北卷)试题及答案
历年高考数学真题-2005年高考理科数学(湖北卷)试题及答案_高三数学_数学_高中教育...[-6,2] 14. 63 2 2 15.-2 16.500 2 3 2 17.解法一:依定义 f (...
历年高考数学真题-2005年高考理科数学(北京卷)试题及答案
历年高考数学真题-2005年高考理科数学(北京卷)试题及答案_高考_高中教育_教育专区...(14) n(n+3);2n 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (...
湖南省_2005年_高考数学真题(理科数学)(附答案)_历年历...
湖南省_2005年_高考数学真题(理科数学)(答案)_历年历届试题(详解)_高考_高中教育_教育专区。2005 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类) ...
2005年高考文科数学试题及答案(湖北)
2005年高考文科数学试题及答案(湖北)_高考_高中教育_教育专区。高考试卷今日...历年高考数学真题-2005年... 11页 1下载券 湖北2010年高考文科数学... 9页...
广东省_2005年_高考理科生物真题(附答案)_历年历届试题
广东省_2005年_高考理科生物真题(附答案)_历年历届试题_高考_高中教育_教育专区...可溶性还原糖的鉴定,可用酒精灯直接加热产生砖红色沉淀 14.右图是研究植物向性...
2005年高考理科数学(天津卷)试题及答案
, an ,? , 新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: wxckt@126.com 第7页 (共 14) 2005 年高考数学试卷及答案 王新敞 证明 ? 2 ? a n ?1 ? a n ...
2005年高考理科数学(上海卷)试题及答案
2005年高考理科数学(上海卷)试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2005 年高考...(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不...
2005年高考理科数学试卷及答案(重庆)
2005年高考理科数学试卷及答案(重庆)_数学_高中教育_教育专区。2005 年普通高等...1 13.1 14.-3 15. 45 128 16.②③⑤ 2 cos2 x x x 解 : f ( ...
2005年高考理科数学(浙江卷)试题及答案
2005年高考理科数学(浙江卷)试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2005 年高考理科数学 浙江卷 试题及答案第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 10...
更多相关文章: