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数学归纳法经典例题详解


例 1.用数学归纳法证明:

1 1 1 1 n . ? ? ??? ? ?2n ? 1??2n ? 1? 2n ? 1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
请读者分析下面的证法: 证明:①n=1 时,左边 ?

1 1 1 1 ? ,右边 ? ? ,左边=右边,等式成立. 1? 3 3 2 ?1 3

②假设

n=k 时,等式成立,即:

1 1 1 1 k ? ? ??? ? . ?2k ? 1??2k ? 1? 2k ? 1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
那么当 n=k+1 时,有:

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?2k ? 1??2k ? 1? ?2k ? 1??2k ? 3? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2k ? 1 2k ? 1 ? ? 2k ? 1 2k ? 3 ??
1? 1 ? 1 2k ? 2 ?1 ? ?? ? 2 ? 2k ? 3 ? 2 2k ? 3

?

?

k ?1 k ?1 ? 2k ? 3 2?k ? 1? ? 1

这就是说,当 n=k+1 时,等式亦成立. 由①、②可知,对一切自然数 n 等式成立. 评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假在没有利用归纳假设 n=k 这一步,当 n=k+1 时,而是用拆项法推出来的,这样归纳假设起到作用,不符合数学归纳法的要求. 正确方法是:当 n=k+1 时.

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?2k ? 1??2k ? 1? ?2k ? 1??2k ? 3? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? k 1 ? 2k ? 1 ?2k ? 1??2k ? 3?

?

?2k ? 1??k ? 1? 2k 2 ? 3k ? 1 ? ?2k ? 1??2k ? 3? ?2k ? 1??2k ? 3?

?

k ?1 k ?1 ? 2k ? 3 2?k ? 1? ? 1

这就说明,当 n=k+1 时,等式亦成立, 例 2.是否存在一个等差数列{an},使得对任何自然数 n,等式: a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2) 都成立,并证明你的结论. 分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令 n=1,2,3 时找出来{an},然后再证明一般性. 解:将 n=1,2,3 分别代入等式得方程组.

?a1 ? 6 ? , ?a1 ? 2a 2 ? 24 ?a ? 2a ? 3a ? 60 2 3 ? 1
解得 a1=6,a2=9,a3=12,则 d=3. 故存在一个等差数列 an=3n+3,当 n=1,2,3 时,已知等式成立. 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列 an=3n+3,对大于 3 的自然数,等式 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立. 因为起始值已证,可证第二步骤. 假设 n=k 时,等式成立,即 a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2) 那么当 n=k+1 时, a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1 = k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3] =(k+1)(k2+2k+3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2] 这就是说,当 n=k+1 时,也存在一个等差数列 an=3n+3 使 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列 an=3n+3,对任何自然数 n,等式 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2) 都成立. 例 3.证明不等式 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

?2 n

(n∈N).

证明:①当 n=1 时,左边=1,右边=2.

左边<右边,不等式成立. ②假设 n=k 时,不等式成立,即 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 k

?2 k



那么当 n=k+1 时,

1?

1 2

?

1 3

???

1 k

?

1 k ?1

?2 k ?

1 k ?1

?

2 k k ?1 ?1 k ?1
2?k ? 1? k ?1 ? 2 k ?1

?

k ? ?k ? 1? ? 1 k ?1

?

这就是说,当 n=k+1 时,不等式成立. 由①、②可知,原不等式对任意自然数 n 都成立. 说明:这里要注意,当 n=k+1 时,要证的目标是

1?

1 2

?

1 3 1

???

1 k

?

1 k ?1

? 2 k ? 1 ,当代入归纳假设后,就是要证明:

2 k?

k ?1

? 2 k ?1 .

认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标. 例 4.已知数列{an}满足 a1=0,a2=1,当 n∈N 时,an+2=an+1+an. 求证:数列{an}的第 4m+1 项(m∈N)能被 3 整除. 分析:本题由 an+1=an+1+an 求出通项公式是比较困难的,因此可考虑用数学归纳法. ①当 m=1 时,a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3,能被 3 整除. ②当 m=k 时,a4k+1 能被 3 整除,那么当 n=k+1 时, a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3 =a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =3a4k+2+2a4k+1 由假设 a4k+1 能被 3 整除,又 3a4k+2 能被 3 整除,故 3a4k+2+2a4k+1 能被 3 整除. 因此,当 m=k+1 时,a4(k+1)+1 也能被 3 整除. 由①、②可知,对一切自然数 m∈N,数列{an}中的第 4m+1 项都能被 3 整除.

例 5.n 个半圆的圆心在同一条直线 l 上,这 n 个半圆每两个都相交,且都在直线 l 的同侧,问这些半 圆被所有的交点最多分成多少段圆弧? 分析:设这些半圆最多互相分成 f (n)段圆弧,采用由特殊到一般的方法,进行猜想和论证.

当 n=2 时,由图(1).两个半圆交于一点,则分成 4 段圆弧,故 f (2)=4=22. 当 n=3 时,由图(2).三个半径交于三点,则分成 9 段圆弧,故 f (3)=9=32. 由 n=4 时,由图(3).三个半圆交于 6 点,则分成 16 段圆弧,故 f (4)=16=42. 由此猜想满足条件的 n 个半圆互相分成圆弧段有 f (n)=n2. 用数学归纳法证明如下: ①当 n=2 时,上面已证. ②设 n=k 时,f (k)=k2,那么当 n=k+1 时,第 k+1 个半圆与原 k 个半圆均相交,为获得最多圆弧,任意 三个半圆不能交于一点,所以第 k+1 个半圆把原 k 个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧,这样就 多出 k 条圆弧;另外原 k 个半圆把第 k+1 个半圆分成 k+1 段,这样又多出了 k+1 段圆弧. ∴ f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2 ∴ 满足条件的 k+1 个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2 段圆弧. 由①、②可知,满足条件的 n 个半圆被所有的交点最多分成 n2 段圆弧. 说明:这里要注意;增加一个半圆时,圆弧段增加了多少条?可以从 f (2)=4,f (3)=f (2)+2+3,f (4)=f (3)+3+4 中发现规律:f (k+1)=f (k)+k+(k+1).


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