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山东省淄博实验中学2015届高三上学期第一次诊断数学试卷(理科)


山东省淄博实验中学 2015 届高三上学期第一次诊断数学试卷 (理 科)
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)设集合 A={x∈R|x﹣2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x﹣2)>0},则“x∈A∪B” 是“x∈C”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 2. (5 分

)已知函数 f(x)=(x ﹣3x+2)lnx+2008x﹣2009,则方程 f(x)=0 在下面哪个范 围内必有实根() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4) 3. (5 分)函数 y=2 ﹣x 的图象大致是()
x 2 2

A.

B.
2

C.
0.31

D.

4. (5 分)三个数 a=0.31 ,b=log20.31,c=2 之间的大小关系为() A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 5. (5 分)已知 tanα=2,则 sin α﹣sinαcosα 的值是() A. B. C . ﹣2 D.2
2

6. (5 分)已知函数 f(x)= A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,1]

,若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是() C.[﹣2,1] D.[﹣2,0]

7. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x)=f(x+4) ,且 x∈(﹣1, 0)时,f(x)=2 + ,则 f(log220)=() A.1 B. C . ﹣1 D.﹣
x

8. (5 分)由直线

,x=2,曲线

及 x 轴所围图形的面积为()

A.

B.

C.

D.2ln2

9. (5 分)若函数 f(x)在 R 上可导,且满足 f(x)<xf′(x) ,则() A.2f(1)<f(2) B.2f(1)>f(2) C.2f(1)=f(2) D.f(1)=f(2)

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,若存在实数 a、b、c、d,满足 f(a)

=f(b)=f(c)=f(d) ,其中 d>c>b>a>0,则 abcd 的取值范围是() A.(16,21) B.(16,24) C.(17,21) D.(18,24)

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 2 11. (5 分)设命题 p:?a>0,a≠1,函数 f(x)=a ﹣x﹣a 有零点,则¬p: . 12. (5 分)设 p:|2x+1|<m(m>0) , m 的取值范围为. 13. (5 分)已知函数 y=log2(ax﹣1)在(1,2)单调递增,则 a 的取值范围为. 14. (5 分)已知 x≥0,y≥0,且 x+y=1,则 的最小值为. ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数

15. (5 分)若实数 x,y 满足

,则 的取值范围是.

三.解答题(16-19 题每题 12 分,20 题 13 分,22 题 14 分,共 75 分) 16. (12 分)已知 a>0,a≠1,设 p:函数 y=loga(x+1)在(0,+∞)上单调递减;q:曲线 2 y=x +(2a﹣3)x+1 与 x 轴交于不同的两点.如果 p 且 q 为假命题,p 或 q 为真命题,求 a 的 取值范围.

17. (12 分)已知 cosα= ,cos(α﹣β)= (Ⅰ)求 tan2α 的值; (Ⅱ)求 β.

,且 0<β<α<



18. (12 分)设 a∈R,解关于 x 的不等式 ax +(1﹣2a)x﹣2>0.

2

19. (12 分)为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关, 采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似的表 示为: ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多 少元才能使该单位不亏损?

20. (13 分)已知函数

为奇函数.

(Ⅰ)若 f(1)=5,求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 a=﹣2 时,不等式 f(x)≤t 在[1,4]上恒成立,求实数 t 的最小值; x (Ⅲ)当 a≥1 时,求证:函数 g(x)=f(2 )﹣c(c∈R)在(﹣∞,﹣1]上至多有一个零点. 21. (14 分)已知函数 g(x)=alnx,f(x)=x +x +bx. (1)若 f(x)在区间[1,2]上不是单调函数,求实数 b 的范围; (2)若对任意 x∈[1,e],都有 g(x)≥﹣x +(a+2)x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)当 b=0 时,设 F(x)= ,对任意给定的正实数 a,曲线 y=F(x)上
2 3 2

是否存在两点 P,Q,使得△ POQ 是以 O(O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此 三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.

山东省淄博实验中学 2015 届高三上学期第一次诊断数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)设集合 A={x∈R|x﹣2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x﹣2)>0},则“x∈A∪B” 是“x∈C”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;集合的包含关系判断及应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 化简集合 A,C,求出 A∪B,判断出 A∪B 与 C 的关系是相等的即充要条件. 解答: 解:A={x∈R|x﹣2>0}={x|x>2} A∪B={x|x>2 或 x<0} C={x∈R|x(x﹣2)>0}={x|x>2 或 x<0}

∴A∪B=C ∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件 故选 C 点评: 本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件,先化简各个命题.考查充要条件 的定义. 2. (5 分)已知函数 f(x)=(x ﹣3x+2)lnx+2008x﹣2009,则方程 f(x)=0 在下面哪个范 围内必有实根() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4) 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数与方程的综合运用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题即求函数零点所在的区间,将各个答案代入检验,通过排除于筛选,得出正确 的答案. 解答: 解:∵函数 f(x)为连续函数,且 f(1)=﹣1<0,f(2)=4016﹣2009=2007>0, 故函数 f(x)的零点在(1,2)上, 故答案选 B. 点评: 本题即求函数零点所在的区间,函数与方程的综合运用. 3. (5 分)函数 y=2 ﹣x 的图象大致是()
x 2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. x 2 分析: 分别画出 y=2 ,y=x 的图象,由图象可以函数与 x 轴有三个交点,且当 x<﹣1 时, y<0,故排除 BCD,问题得以解决. 解答: 解:y=2 ﹣x , 令 y=0, x 2 则 2 ﹣x =0, x 2 分别画出 y=2 ,y=x 的图象,如图所示, 由图象可知,有 3 个交点, ∴函数 y=2 ﹣x 的图象与 x 轴有 3 个交点, 故排除 BC, 当 x<﹣1 时,y<0, 故排除 D 故选:A.
x 2 x 2

点评: 本题主要考查了图象的识别和画法,关键是掌握指数函数和幂函数的图象,属于基 础题. 4. (5 分)三个数 a=0.31 ,b=log20.31,c=2 之间的大小关系为() A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 考点: 不等式比较大小. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数和对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵0<0.31 <0.31 =1,log20.31<log21=0,2 >2 =1, ∴b<a<c. 故选 C. 点评: 熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键. 5. (5 分)已知 tanα=2,则 sin α﹣sinαcosα 的值是() A. B. C . ﹣2 D.2
2 2 0 0.31 0 2 0.31

考点: 三角函数的化简求值. 分析: 先在 sin α﹣sinαcosα 加上分母 1,即 除以 cos α 即可得到关于 tanα 的关系式,进而得到答案. 解答: 解:因为 sin α﹣sinαcosα=
2 2 2

,然后分子分母同时

=

=

= .

故选 A. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的值的求法,注意齐次式的应用,考查计算能力.

6. (5 分)已知函数 f(x)=

,若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是()

A.(﹣∞,0]

B.(﹣∞,1]

C.[﹣2,1]

D.[﹣2,0]

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 依题意,作出 y=|f(x)|与 y=ax 的图象,由图分析当 x<0 时,g(x)=|f(x)|=﹣(﹣ 2 2 x +2x)=x ﹣2x,g′(x)|x=0=(2x﹣2)|x=0=﹣2,当﹣2≤a≤0 时,|f(x)|≥ax, 于是可得答案. 解答: 解:∵f(x)= ∴y=|f(x)|与 y=ax 的图象如下: ,

由图可知,当 x<0 时,g(x)=|f(x)|=﹣(﹣x +2x)=x ﹣2x, g′(x)|x=0=(2x﹣2)|x=0=﹣2, ∴当﹣2≤a≤0 时,|f(x)|≥ax, 故选:D. 点评: 本题考查对数函数的单调性与特殊点,考查分段函数的作图与函数恒成立问题,考 查导数的几何意义,属于难题. 7. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x)=f(x+4) ,且 x∈(﹣1, 0)时,f(x)=2 + ,则 f(log220)=() A.1 B. C . ﹣1 D.﹣
x

2

2

考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 log220∈(4,5) ,可得 4﹣log220∈(﹣1,0) ,结合定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x)=f(x+4) ,可得:f(log220)=f(log220﹣4)=﹣f(4﹣log220) , 再由 x∈(﹣1,0)时,f(x)=2 + ,可得答案. 解答: 解:∵log220∈(4,5) , ∴log220﹣4∈(0,1) , ∴4﹣log220∈(﹣1,0) ,
x

又∵定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x)=f(x+4) , ∴f(log220)=f(log220﹣4)=﹣f(4﹣log220) , ∵x∈(﹣1,0)时,f(x)=2 + , ∴f(4﹣log220)= + = + =16÷20+ =1,
x

故 f(log220)=﹣1, 故选:C 点评: 本题考查的知识点是函数的周期性,函数的奇偶性,函数求值,是函数图象和性质 的综合应用,难度中档.

8. (5 分)由直线 A.

,x=2,曲线 B.

及 x 轴所围图形的面积为() C. D.2ln2

考点: 定积分在求面积中的应用. 分析: 由题意画出图形,再利用定积分即可求得. 解答: 解:如图,面积 故选 D. .

点评: 本题主要考查定积分求面积. 9. (5 分)若函数 f(x)在 R 上可导,且满足 f(x)<xf′(x) ,则() A.2f(1)<f(2) B.2f(1)>f(2) C.2f(1)=f(2) D.f(1)=f(2) 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据条件 f(x)<xf′(x)可构造函数 g(x)= 从而得到所求. 解答: 解:设 g(x)= , ,然后得到函数的单调性,

则 g′(x)=



∵f(x)<xf′(x) , ∴g′(x)>0, 即 g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴ ,

即 2f(1)<f(2) 故选:A. 点评: 本题主要考查了导数除法的运算法则,以及利用构造法是解题的关键,同时考查了 运算求解的能力,属于基础题.

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,若存在实数 a、b、c、d,满足 f(a)

=f(b)=f(c)=f(d) ,其中 d>c>b>a>0,则 abcd 的取值范围是() A.(16,21) B.(16,24) C.(17,21) D.(18,24) 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 根据图象可判断: ,1<b<2,2<c<4,6<d<8, =16,

当直线 y=t, 0<t<4, 可以有 4 个交点, 通过图象运动可以判断 1×1×4×6=24,

直线越往上走 abcd 的积越小,越往下 abcd 的积越大,即可求出答案. 解答: 解:若存在实数 a、b、c、d,满足 f(a)=f(b)=f(c)=f(d) ,其中 d>c>b>a >0 根据图象可判断: ,1<b<2,2<c<4,6<d<8,

当直线 y=t,0<t<4,可以有 4 个交点,把直线向上平移,向下平移,可判断:直线越往上走 abcd 的积越小,越往下 abcd 的积越大, 当 t=0 时 1×1×4×6=24,当 t=4 时, 故选:B =16,abcd 的取值范围是(16,24) ,

点评: 本题综合考查了函数图象的运用,求解两个图象的交点问题,运用动的观点解决, 理解好题意是解题关键. 二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 2 11. (5 分)设命题 p:?a>0,a≠1,函数 f(x)=a ﹣x﹣a 有零点,则¬p:?a>0,a≠1,函 2 数 f(x)=a ﹣x﹣a 没有零点. 考点: 专题: 分析: 解答: 命题的否定. 简易逻辑. 直接利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 解:因为全称命题的否定是特称命题,
2

所以命题 p:?a>0,a≠1,函数 f(x)=a ﹣x﹣a 有零点,则¬p:?a>0,a≠1,函数 f(x) 2 =a ﹣x﹣a 没有零点. 2 故答案为:?a>0,a≠1,函数 f(x)=a ﹣x﹣a 没有零点. 点评: 本题考查命题的否定,注意全称命题与特称命题的否定关系.

12. (5 分)设 p:|2x+1|<m(m>0) , m 的取值范围为(0,2].

,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 探究型. 分析: 先化简 p,q,利用 p 是 q 的充分不必要条件,建立不等式关系进行求解.

解答: 解:∵m>0,∴不等式|2x+1|<m 等价为﹣m<2x+1<m,解得 即 p: 由 . ,即(x﹣1) (2x﹣1)>0,解得 x>1 或 x< .即 q:x>1 或 x< .



∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴ ,

解得 m≤2, ∵m>0,∴0<m≤2, 即实数 m 的取值范围为(0,2]. 故答案为: (0,2].

点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用数形结合是解决此类问题的基本方 法注意端点值等号的取舍问题. 13. (5 分)已知函数 y=log2(ax﹣1)在(1,2)单调递增,则 a 的取值范围为[1,+∞) . 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 a×1﹣1≥0,由此解得 a 的取值范围. 解答: 解:∵函数 y=log2(ax﹣1)在(1,2)上单调递增,∴a×1﹣1≥0,解得 a≥1, 故 a 的取值范围为[1,+∞) , 故答案为[1,+∞) . 点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,对数函数的定义域,属于基础题.

14. (5 分)已知 x≥0,y≥0,且 x+y=1,则

的最小值为 3.

考点: 基本不等式. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由已知 x≥0,y≥0,且 x+y=1,可得 0≤x≤1,y=1﹣x.代入可得 =f(x) ,再利用导数研究其单调性即可得出. 解答: 解:∵x≥0,y≥0,且 x+y=1, ∴0≤x≤1,y=1﹣x. ∴ = =f(x) , =

∴f′(x)=

=

≥ 0,

∴函数 f(x)在[0,1]上单调递增. ∴当 x=0 时,f(x)取得极小值即最小值 3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,属于基础题.

15. (5 分)若实数 x,y 满足

,则 的取值范围是( ,3) .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,设 z= ,利用 z 的几何意义,利用数形结合即可得到 结论. 解答: 解:不等式组对应的平面区域如图: 设 z= ,则 z 的几何意义是区域内的点与原点的斜率, 则由图象可知,OA 的斜率最大,OB 的斜率最小,



,解得

,即 A( , ) ,此时 OA 的斜率 k=





,解得

,即 B( ,12) ,此时 OB 的斜率 k=



则 <z<3, 即 的取值范围是( ,3) , 故答案为: ( ,3)

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决此类问题的基本方法,利用 z 的几何意义是解决本题的关键. 三.解答题(16-19 题每题 12 分,20 题 13 分,22 题 14 分,共 75 分) 16. (12 分)已知 a>0,a≠1,设 p:函数 y=loga(x+1)在(0,+∞)上单调递减;q:曲线 2 y=x +(2a﹣3)x+1 与 x 轴交于不同的两点.如果 p 且 q 为假命题,p 或 q 为真命题,求 a 的 取值范围. 考点: 复合命题的真假;二次函数的性质;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 分类讨论. 分析: 根据对数函数的单调性我们易判断出命题 p 为真命题时参数 a 的取值范围, 及命题 p 为假命题时参数 a 的取值范围; 根据二次函数零点个数的确定方法, 我们易判断出命题 q 为真 命题时参数 a 的取值范围,及命题 q 为假命题时参数 a 的取值范围;由 p 且 q 为假命题,p 或 q 为真命题,我们易得到 p 与 q 一真一假,分类讨论,分别构造关于 x 的不等式组,解不等式 组即可得到答案. 解答: 解:若 p 为真,则 0<a<1.若 q 为真, 则△ >0 即(2a﹣3) ﹣4>0 解得 a< 或 a> . ∵p 且 q 为假,p 或 q 为真, ∴p 与 q 中有且只有一个为真命题. (a>0 且 a≠1) 若 p 真 q 假,则 ∴ ≤a<1
2

若 p 假 q 真,则 ∴a 综上所述,a 的取值范围为:[ ,1)∪( ,+∞) . 点评: 本题考查的知识点是复合命题的真假,二次函数的性质,对数函数的性质,其中根 据二次函数及对数函数的性质判断两个命题为真或为假时参数 a 的取值范围, 是解答本题的关 键.

17. (12 分)已知 cosα= ,cos(α﹣β)= (Ⅰ)求 tan2α 的值; (Ⅱ)求 β.

,且 0<β<α<



考点: 两角和与差的余弦函数;三角函数值的符号;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题.

分析: (1)欲求 tan2α 的值,由二倍角公式知,只须求 tanα,欲求 tanα,由同角公式知, 只须求出 sinα 即可,故先由题中 cosα 的求出 sinα 即可; (2)欲求角,可通过求其三角函数值结合角的范围得到,这里将角 β 配成 β=α﹣(α﹣β) , 利用三角函数的差角公式求解. 解答: 解: (Ⅰ)由 ,得



,于是

(Ⅱ)由 0<β<α< 又∵

,得 ,



∴ 由 β=α﹣(α﹣β)得:cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β) = 所以 .

点评: 本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角 以及计算能力. 18. (12 分)设 a∈R,解关于 x 的不等式 ax +(1﹣2a)x﹣2>0. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: 利用 ax +(1﹣2a)x﹣2=(x﹣2) (ax+1) ,于是有(x﹣2) (ax+1)>0,对 a 分类 讨论,同时要注意比较根的大小,依次求解即可得到答案. 2 解答: 解:∵关于 x 的不等式 ax +(1﹣2a)x﹣2>0, ∴因式分解可形为(x﹣2) (ax+1)>0, ①当 a=0 时,不等式即为 x﹣2>0, 故不等式的解为{x|x>2}; ②当 a>0 时,不等式即为(x﹣2) (x+ )>0, ∵﹣ <2, 故不等式的解为{x|x<﹣ 或 x>2};
2

③当﹣ <a<0 时,不等式即为(x﹣2) (x+ )<0, ∵2<﹣ , 故不等式的解为{x|2<x<﹣ }; ④当 a=﹣ 时,不等式即为(x﹣2) <0, 故不等式的解为?; ⑤当 a<﹣ 时,不等式即为(x﹣2) (x+ )<0, ∵﹣ <2, 故不等式的解为{x|﹣ <x<2}. 综上所述,当 a=0 时,不等式的解为{x|x>2}, 当 a>0 时,不等式的解为{x|x<﹣ 或 x>2}, 当﹣ <a<0 时,不等式的解为{x|2<x<﹣ }, 当 a=﹣ 时,不等式的解为?, 当 a<﹣ 时,不等式的解为{x|﹣ <x<2}. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法.求解一元二次不等式时,要注意与一元二次方 程的联系,以及与二次函数之间的关系.求解不步骤是:判断最高次系数的正负,将负值转化 为正值,确定一元二次方程的根的情况,利用二次函数的图象,写出不等式的解集.属于基础 题.如果方程的根的大小关系部确定,则需要进行分类讨论求解.属于中档题. 19. (12 分)为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关, 采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似的表 示为: ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元.
2

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多 少元才能使该单位不亏损? 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 应用题. 分析: (1)由题意月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似的表示 为: 最值; ,两边同时除以 x,然后利用不等式的性质进行放缩,从而求出

(2)设该单位每月获利为 S,则 S=100x﹣y,把 y 值代入进行化简,然后运用配方法进行求 解. 解答: 解: (1)由题意可知, 二氧化碳的每吨平均处理成本为: , 当且仅当 ,即 x=400 时, (4 分)

才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元. (8 分) (2)设该单位每月获利为 S, 则 S=100x﹣y (10 分) = =

因为 400≤x≤600,所以当 x=400 时,S 有最大值﹣40000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40000 元,才能不亏损. (16 分) 点评: 此题是一道实际应用题,考查了函数的最值和不等式的基本性质,及运用配方法求 函数的最值.

20. (13 分)已知函数

为奇函数.

(Ⅰ)若 f(1)=5,求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 a=﹣2 时,不等式 f(x)≤t 在[1,4]上恒成立,求实数 t 的最小值; x (Ⅲ)当 a≥1 时,求证:函数 g(x)=f(2 )﹣c(c∈R)在(﹣∞,﹣1]上至多有一个零点. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数奇偶性的性质. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由奇函数定义可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,可求 b,由 f(1)=5 可得 a; (Ⅱ)不等式 f(x)≤t 在[1,4]上恒成立,等价于 f(x)max≤t,易判断 a=﹣2 时 f(x)在[1, 4]上的单调性,由单调性可得最大值; (Ⅲ)表示出 g(x) ,只需判定函数 g(x)在(﹣∞,﹣1]单调即可,利用单调性的定义可作 出判断; 解答: 解: (Ⅰ)∵函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,即 ∴b=0, 又 f(1)=4+a+b=5, ∴a=1 ∴函数 f(x)的解析式为 (Ⅱ)a=﹣2, . . , 为奇函数,

∵函数

在[1,4]均单调递增,

∴函数 f(x)在[1,4]单调递增, ∴当 x∈[1,4]时, ∵不等式 f(x)≤t 在[1,4]上恒成立, ∴ , . , .

∴实数 t 的最小值为 (Ⅲ)证明: 设 x1<x2≤﹣1,

= ∵x1<x2≤﹣1, ∴ ∵a≥1,即﹣a≤﹣1, ∴ ,又







∴g(x1)﹣g(x2)>0,即 g(x1)>g(x2) , ∴函数 g(x)在(﹣∞,﹣1]单调递减, 又 c∈R,可知函数 g(x)在(﹣∞,﹣1]上至多有一个零点. 点评: 本题考查函数的单调性、奇偶性及其应用,考查函数最值的求解,考查学生综合运 用函数性质分析解决问题的能力,属中档题. 21. (14 分)已知函数 g(x)=alnx,f(x)=x +x +bx. (1)若 f(x)在区间[1,2]上不是单调函数,求实数 b 的范围; 2 (2)若对任意 x∈[1,e],都有 g(x)≥﹣x +(a+2)x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)当 b=0 时,设 F(x)= ,对任意给定的正实数 a,曲线 y=F(x)上
3 2

是否存在两点 P,Q,使得△ POQ 是以 O(O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此 三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数单调性的判断与证明;分段函数的应用; 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用函数的导数在区间[1,2]上有极值,即可得到不是单调函数,求实数 b 的 范围; (2)利用对任意 x∈[1,e],都有 g(x)≥﹣x +(a+2)x 恒成立,转化为 a 的不等式,通过函 数的最值,求实数 a 的取值范围; (3)b=0,设 F(x)= ,对任意给定的正实数 a,曲线 y=F(x)上是否存
2

在两点 P, Q, 使得△ POQ 是以 O (O 为坐标原点) 为直角顶点的直角三角形, 得到



通过构造函数以及函数的导数的单调性,判断方程的解从而说明三角形斜边中点在 y 轴上. 3 2 解答: 解: (1)由 f(x)=x +x +bx 2 得 f'(x)=3x +2x+b 因 f(x)在区间[1,2]上不是单调函数 2 所以 f'(x)=3x +2x+b 在[1,2]上最大值大于 0,最小值小于 0,

∴﹣16<b<﹣5…(4 分) 2 2 (2)由 g(x)≥﹣x +(a+2)x,得(x﹣lnx)a≤x ﹣2x. ∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x,且等号不能同时取,∴lnx<x,即 x﹣lnx>0 ∴a≤ 恒成立,即 a≤ …(6 分)



,求导得,

, 当 x∈[1,e]时,x﹣1≥0,0≤lnx≤1x+2﹣2lnx>0,从而 f′(x)≥0, ∴f(x)在[1,e]上为增函数,∴ ∴a≤﹣1.…(8 分) (3)由条件,F(x)= , =f(1)=﹣1,

假设曲线 y=F(x)上存在两点 P,Q 满足题意, 则 P,Q 只能在 y 轴两侧,…(9 分)

不妨设 P(t,F(t) ) ,t>0 则 Q(﹣t,t +t ) ,且 t≠1. ∵△POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, ∴
2

3

2


3 2

∴﹣t +F(t) (t +t )=0 (*) , 是否存在 P,Q 等价于方程(*)在 t>0 且 t≠1 时是否有解. ①若 0<t<1 时,方程(*)为﹣t +(﹣t +t ) (t +t )=0, 4 2 化简得 t ﹣t +1=0,此方程无解;…(12 分) 2 3 2 ②若 t>1 时,方程(*)为﹣t +alnt(t +t )=0, 即 ,
2 3 2 3 2

设 h(t)=(t+1)lnt, (t>1) ,则 h′(x)=lnt+ +1, 显然,当 t>1 时,h′(x)>0,即 h(x)在(1,+∞)上为增函数, ∴h(t)的值域为(h(1) ,+∞) ,即(0,+∞) , ∴当 a>0 时,方程(*)总有解. ∴对任意给定的正实数 a,曲线 y=F(x) 上总存在两点 P,Q,使得△ POQ 是以 O(O 为坐 标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上.…(14 分) 点评: 本题考查函数的导数的综合应用,函数的最值的应用函数的单调性以及构造法的应 用,难度比较大的综合题目.


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