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2.3.2.1平面与平面垂直的判定(第一课时)


平面与平面垂直的判定
(第一课时)

复习
在平面几何中“角”是怎样定义的?

答:从平面内一点出发的两条 射线所组成的图形叫做角。

o

引入新课 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分, 其中的每一部分都叫做射线。

一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部 分,其中的每一部分都叫做半平面。

基础知识讲解 如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做 二面角的面.棱AB、面分别为α,β的二面角记作二面角 α-AB-β.也可在α,β内(棱以外的半平面的部分)分 别取点P,Q将这个二面角记作P-AB-Q. 如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α-l-β或P-l-Q.
Q
β

B P
α

l

A

二面角的画法及其表示方法

B O

二面角?-AB- ?
A

∠AOB
C

A

?
A B ? A

B

D

? ?
l

B

?

二面角C-AB- D 二面角?- l- ?
?
? ?

l

思考
1.请把门开大点,是指那个角比较大?

?

2.我们怎么去度量两个平面的相对位 置关系呢?
? ?

?

?

?

?
?

基础知识讲解 如图,在二面角? - l - ? 的棱上任取点O ,以点O为 垂足,在半平面? 和?内分别作垂直于棱l的射线OA和 OB , 则射线OA和OB构成的?AOB叫作二面角的平面角.

B
β

注 意
O
α

二面角的平面角必须满足:
1)角的顶点在棱上
2)角的两边分别在两个面内 3)角的边都要垂直于二面角的棱

l

A

二面角的大小用它的平面角来度量
思考:∠A O B的大小与点O在 l 上的位置有关吗? ∠A O B

? ∠A O B
1 1

1

B1
B
β

?

B

l
l O
α

A O

O1

A1

?

A

二面角的取值范围
当二面角的两个面合成一个平面时,规定为180o, 当二面角的两个面重合时,规定为0o. 因此,二面角大小的范围为[0o,180o] 平面角是直角的二面角叫做直二面角.

二面角的平面角的作法:
如图,点A在二面角α-l-β的半平面α上一点,过点 A如何确定二面角α-l-β的平面角? 由定义知:过A作AO⊥ l 交 l 于O,在面β内作OB ⊥ l 则∠AOB 为所求的角。----“定义法” 过A作AB⊥ β交于B ,再过A 作AO⊥ l 交于O连结OB ,则∠ AOB
?
A

O

l
?
A B

B

?

为 所求的角。 ----“三垂线法”
O

l

?

二面角的平面角的作法:
第三种画法: 点P在二面角的两个面外时,经过P点分别作两个 面的垂线,这两条垂线确定的平面与二面角的两个面 的两条交线就组成了二面角的平面角
?
A

P

lO

?
B

例题分析 例1.如图,已知P是二面角? ? AB ? ?棱上一点, 过P 分别在?、 ? 内引射线PM、PN,且 ∠MPN=600 , ∠BPM =∠BPN =450,求此二面角的度数。 解: AB上取不同于P 的一点O, 在 C M? 在?内过O作OC⊥AB交PM 于C, O P A 在 ? 内作OD⊥AB交PN于D, B 连结CD,可得: D N ∠COD是二面角 ? ? AB ? ? 的平面角 ? 设PO = a ,∵∠BPM =∠BPN = 45? ∴CO=a,DO=a, PC ? 2 a , PD ? 2 a 又∵∠MPN=60?
∴CD=PC? 2a ∴∠COD=90? 因此,二面角的度数为90?

一“作” 二“证” 三“计算”

例2、已知锐二面角?- l- ? ,A为面?内一点,A到 ? 的距离为 2 3 ,到 l 的距离为 4,求二面角 ?- l- ? 的大小。 解:过 A作 AO⊥ ?于O,过 O作 OD⊥ l 于D,连AD

? l ? OD, OD ? AO ? O, OD ? 平面AOD,AO ? 平面AOD ? l ? 平面AOD? AD ? 平面AOD,l ? AD A ∴∠ADO就是二面角 ?- l- ? 的平面角
?

? l ? ? ? l ? AO

∵ AO为 A到?的距离 , AD为 A到 l 的距离

D

O

l

?

∴AO= 2 3 ,AD=4 在R t △AOD中,

AO 2 3 3 ? ? . ∵sin∠ADO= AD 4 2

∴ ∠ADO=60° ∴二面角 ?- l- ? 的大小为60 °

二面角的有关计算:
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 找到或作出中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小

步骤:
一“作”二“证”三“计算”

练习:如图,四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2 的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为 5 的等腰三角形, 试画出二面角V-AB-C的平面角,并求出它的度数.
V

D A

O
B

C

E

小结
1.二面角的定义
2.二面角的作法 (1)定义法 (2)三垂线法 (3)垂面法 3. 3.二面角的求解步骤 一“作”二“证”三“计算”

作业:


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