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高等几何在初等几何中的作用












雁 北 师 范 学 院 学 报
之 之 、


〕 一一

文 章编 号







高等 几 何 在 初 等 几 何 中 的 作 用
高巧 琴 雄 志 江
吕 梁 高 等 专 科 学校 数 学 系 山 西 禹 石
,

,





要 高等 几 何 是 初 等 几 何 的 延 深 课 程
,

高等 几 何 为初 等 几 何 的 有关 内 容 提 供 了 理 论 依 据

,

高等 几 何 为 初

等 几 何 的 某 些 问 题提 供 了 解 题 方 法 高等 几 何 可 把 初 等 几 何 的 某 些 内 容 拓 广 与 延 深
关 键 词 高等 几 何
中 图 分 类号 初 等几何

课程


文 献标 识 码

初 等几何 是
,
,



种 可测量 的 几何 但并 不 是 可 观


,

这 止 初 等 几 何 中 的 一 个 定 理 可 用 二 阶 曲线 的

,

察 的 几 何 比较 直 观 易 懂 而 高等 几 何 是 一 种 可 观 察 的 几 何 较抽 象 难 理 解 如 初 等 几 何 中 的 平 行 公
理 而 在 高 等 几 何 中变 为 平 行线 相 交 于 一 点 如 果 一
,


,

性 质 可 给 予严 格 的 证 明
证明
,



因 为 每 二点 不 共 线 的 五 点 可 以 确 定 一 条
,

二 阶 曲线 而 每 两 个有 穷点 与 圆 点 不 共 线 所 以 已 知 的 几 点 和 两 个 圆 点 决 定 一 条 二 阶 曲线 又 这 条 二 阶

个 人 站 在铁轨 的 中 央 铁 轨 看 来 似 乎在 地 平 面 上 的
一 点 相 交 了 如果 用 照 相 机 拍 摄 的话 像 片 上 就 会 显
,

,

曲线 经 过 二 圆 点 所 以 是 圆

示 出 同样 的 现 象 因此 初 学 者 感 到 不 符 合 实 际 但

,

,

高等 儿 何 是 初 等 儿 何 的 延 深 课 程 二 者 之 间 有 很 深
的 渊 源 本 文 结 合作 者 的 教学 实 践 从 三 方 面 谈 高等
几 何 在初 等 儿 何 中的 作 用
,

,

高 等几 何 为 初 等 几 何 的 某 些 问 题 提 供 了 简捷 的解 题 方 法

四边 形 两组 对边 延 长 后 分 别 相 交 且 交
,
,

高 等 几 何 为 初 等 几 何 的 有 关 内容
提 供 了理 论 依 据
通 过 高等 几 何 中对 中心 投 影 二 次 曲线 的 射 影


点 的连 线 与 四 边 形 的 一 条 对 角线 平 行 求 证 另 一 条 对 角线 的 延 长 线 平 分 对 边 交 点 连 线 的 线 段

年 全 国 数学联 赛决 赛 中 一 道 试 题
证法 用 初 等 几 何 的方 法

,

性 质 仿射性 质 和 度 量性 质 等 的学 习 可 以 使 学 生 知
道 他 们过 去 只 知 其 然 不 知 所 以 然 的 问 题 如 为 什 么



设 四边 形 川 交于
且召

中八月 与
如图
,

交于

,







求证

平分

椭 圆 是 封 闭 的 曲线 而 抛 物线 与 双 曲线 是 无 限延 伸 的 曲线 不 共 线 的 三 点 为 什 么 可 以 决定 唯 一 的 圆 等 问
题 因 此 通 过 高等 几 何 的 学 习 使 学 生 的 能 力 不 是 止 于 读懂 和 会 证 只 停 留 在 初 级 阶 段 而 是 知 道 其 来
, , , ,
,

龙去 脉 使 之 对 问 题 的 理 解深 人 能够 对 所 学 知识 灵 活应 用 培 养 学 生 的广泛 联 想 能 力 例
平 面 上不 在 同 一 直线 上的 三 个 实 的 有 穷

,

,

,

点 确 定 一 个圆



证法

用图

〕一 收 稿 日期 作 者简 介 高 巧 琴



,



一 叮 修 回 日期 女 山 西 离 石 人 硕 上 讲师 研 究 方 向 生 签 数学 模 型 及 其 应 用
, , ,



,





















过 。卫
因为


作川〕刀
是 平行 四 边 形





,

连接

下证 四边形 艺

又 艺
,






石 午五


内接 于 圆 且 艺
,


,

故艺


,

则 四点
艺 ’ 乙


,





加牡 〕 故

,

圆 所以 艺 ’




因 又
,


,




,

则艺


,

又因

扫 八

,

所以

,



,



△尸月切 兰

△ 厂初 故 尸











,



于是
,



,

所 以 四边形


。〕



是平行 四边
,

形 利 用 平 行 四 边 形 的性 质 知

平分



卫〕



的延 长 线 交

平 分线 段

,

证法 如图


利用 完 全 四 点形 的调 和性 质
所 示 四边 形 交于



证法

用图

刃中

交于


,

〕 交于


八刀〔


必为

则 由完 全 四

,

证法 如图

,

利 用 交 比 来证 明
摊 所示 连接 〔
,

点形
习题

的 调 和 性质 知 协 次丫 法 尸

再由


,

,



,

扫 以
,

,

为顶


’」 〔 知

的 中点

点 的线 束被 直线


所截 有



〔 〕



,

声、

介 、


,



证法

用图 图

由此 例 可 知 高等 几 何 的 方 法 比 初 等 几 何 的 方
法 简单 的 多



证法

用图

,

同样 以

,

为顶 点 的线 束 被 直 线
,

所截 有



,

,

高等几 何 可 把 初 等几 何 的某 些 内 容 拓 广 与延 深
由 于 初 等 几 何 所 研 究 的 图 形 仅 限 于 直 线 和 圆这
两 大类 因 此 囿 于 初 等 几 何 的 范 围 内 有 些 问 题 就
, ,
,

由 同弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 从 而 有 艺 匕


,

,



,


,

艺’ 而

,

,

〔 片 〔 刀













难 以 推 广 但 以 高等 几 何 的 知 识 去 观 之 就 会 洞 察 出 它 们 的 联 系 对 此 试看 如 下 一 个 著名 的定 理
,

,

艺 匕 匕 艺




艺 艺

‘ ’





,

蝴蝶定 理 如 图 所 示 设

,


,
,









是 证法

的 中点 过
,

,

任作 二 弦

。〕五






,

,

汪弓依 次 与 〔 为尸

的交 点 求 证


汪舰
,

用 初 等 几 何 的方 法


,


,

加招

圆 是 以 直 径 所 在 直 线 为 对 称 轴 的 轴 对 称 图形

那 么 可作

,

石 关于
,

,



的 对 称线 段
,



,



,

则有 上口

?

?



,

连接 厂

,
,

下 土 则于



〔 刀 刀汀 妇 今

?



?



由此 可 知 八





,

所以 艺









山 的 中点 从 而 为卢

,











高巧 琴 等 高 等 儿 何在 初 等 儿 何 中 均作 川





,




代人 上 式 得


最后 不 论 是 圆 或 一 般 的 二 阶 曲线 倘 若
是弦



,

,



,

白 勺 中点 这 时 只 需 令

,

,

,



,









,

则有

了 八







九牡


竹尸

丽 口
,




此 式 通 常称 它 为 坎 迪 定 理
由此 可 见 高等 几 何 确 实 对 初 等 几 何 有 指 导 作 用 当然 推 广 的 命 题 仿前 面 的初 等 证 法 亦 可 行 通
, ,
,

,

,

从而


但 射 影 儿 何便 于 发 现 洞 察其 中 的 奥 妙
, ,



在上 述 证 法 中 射影 几 何 的 方 法 简 单 它 只需 计


,



所 述 高等 几 何 对 初 等 几 何 的 作 用 非 常 大
, , ,

,

算一 下 交 比 不 但 简 捷
, ,

,

,

而 且 计算交 比的 方 法 适 用
,

特 别 对 千 师范 生 要 教好 中学 数学 不 能 只 懂 中学 数 学 而要 站 得 更 高 看得 更 远
,





,

于 所 有 二 阶曲线 这 样 就 自然地 将 蝴 蝶 推 广 到 椭 圆

应拓宽视野 拓 广思
, ,

,

双 曲线 和抛 物线 上 不 过 这 时 二 阶 曲线 中 弦 的 中 点

路 这 样 才能 更 好 地 把 握 中 学 数 学 的 内 容 因 此 在
师 范 院 校 里 学 点 高等 几 何 的 知 识 对指 导 中学 数 学 教学 是 很 有 帮 助 的 关 于 高 等 几 何 指 导 初 等 儿 何 的
问题 只 要 我 们 有 心 又 善 于 思 考 那 就 会 经 常 找 到
,
, ,

,

却 不 能 用 垂 足 代替
当然 对 于 退 化 的 二 阶 曲线 线 蝴蝶 定 理 亦 真 如 图
,
,

,

所示



两 条相 交 直

它 的用 场

参考 文 献
「 朱德 洋 高 等 几 何【 汇 梅向 月 刘增 贤
出版 汪
,

北 京 高 等教 育 出 版 社

,

,

,

门 树捷

高等 几 何 〔 中学生 数 学
,

北 京 高等 教 育

「 徐 品 亏 蝴 蝶 史 话 定 理【

退 化 的 二 阶 曲线

,



,



,

,

,



〔弓

,

,

厉 阳







城们 曰 ”
,


,






飞 一




印犯

?

以刀 飞




,



伟 沁








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