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三角函数、解三角形第5讲-两角和与差的正弦、余弦和正切)


第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

【2017 年高考会这样考】 1.考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公 式进行三角函数式的化简与求值. 2.利用三角公式考查角的变换、角的范围. 【复习指导】 本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式,准确把握公 式的特征,活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用);同 时要掌握好三角恒等变换的技巧,如变换角

的技巧、变换函数 名称的技巧等.

基础梳理 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α-β):cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β (2)C(α+β):cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β (3)S :sin(α+β)= sin αcos β+cos αsin β
(α+β)

; ; ; ;

(4)S(α-β):sin(α-β)=

sin αcos β-cos αsin β

tan α+tan β (5)T(α+β):tan(α+β)= ; 1-tan αtan β tan α-tan β (6)T(α-β):tan(α-β)= . 1+tan αtan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α= 2sin αcos α ;

2cos2α-1 (2)C2α:cos 2α=cos2α-sin2α =
2tan α (3)T2α:tan 2α= . 1-tan2α

1-2sin2α =



3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β=tan(α± β) (1?tan αtan β)
2



1+cos 2α 1-cos 2α 2 (2)cos α= ,sin α= ; 2 2 (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2, sin α± cos α=
? π? ?. 2sin?α± 4 ? ?

4.函数f(α)=acos

α+bsin

α(a,b为常数),可以化为f(α)=

a2+b2 sin(α+φ)或f(α)= a2+b2 cos(α-φ),其中φ可由a,b的 值唯一确定.

两个技巧 α+β (1)拆角、 拼角技巧: 2α=(α+β)+(α-β); α=(α+β)-β; β= 2 α-β α-β ? β? ? α ? - 2 ; 2 =?α+2?-?2+β?.
? ? ? ?

(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等.

三个变化 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法 通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手 法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公 式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用 变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平 方”等.

双基自测 1 1.(人教A版教材习题改编)下列各式的值为4的是( π A.2cos 12-1
2

)

B.1-2sin275° D.sin 15° cos 15°

2tan 22.5° C. 1-tan222.5° 解析
2

π π 3 2cos -1=cos = ;1-2sin275° =cos 150° =- 12 6 2

3 2tan 22.5° 1 1 =tan 45° =1;sin 15° cos 15° =2sin 30° =4. 2 ;1-tan222.5° 答案 D

sin 2α 2.(2011· 福建)若tan α=3,则 cos2α 的值等于( A.2 B.3 C.4 D.6

).

sin 2α 2sin αcos α 解析 = =2tan a=2×3=6,故选D. cos2 α cos2 α 答案 D

2 3.已知sin α=3,则cos(π-2α)等于( 5 A.- 3 解析 1 B.- 9 1 C. 9
2

). 5 D. 3
2

4 cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin α)=2sin α-1=2× 9

1 -1=-9. 答案 B

?π ? 1 4.(2011· 辽宁)设sin?4+θ?= ,则sin ? ? 3

2θ=( 7 D. 9

).

7 A.- 9 解析 sin 答案 A

1 B.- 9

1 C. 9

?π ? ? ? ?1? 7 2 π 2 ? ? ? ? ? ? 2θ=-cos 2+2θ =2sin 4+θ -1=2× 3 -1=-9. ? ? ? ? ? ?

5.tan 20° +tan 40° + 3tan 20°tan 40° =________. 解析 tan 20° +tan 40° ∵tan 60° =tan(20° +40° )= , 1-tan 20° tan 40°

∴tan 20° +tan 40° =tan 60° (1-tan 20° tan 40° )= 3 - 3tan 20° · tan 40° ,∴原式= 3- 3tan 20° tan 40° + 3tan 20° tan 40° = 3. 答案 3

考向一
4

三角函数式的化简
2

1 2cos x-2cos x+2 【例1】?化简 ?π ? ?π ?. 2tan?4-x?sin2?4+x? ? ? ? ? [审题视点] 切化弦,合理使用倍角公式.

1 -2sin xcos x+ 2 解 原式= ?π ? ? ? 2 π 2sin?4-x?cos ?4-x? ? ? ? ? ?π ? cos?4-x? ? ?
2 2

1 1 2 2 2?1-sin 2x? 2cos 2x 1 = ?π ? ?π ?= ?π ?=2cos 2x. 2sin?4-x?cos?4-x? sin?2-2x? ? ? ? ? ? ?

三角函数式的化简要遵循“三看”原则: (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合 理的拆分,从而正确使用公式;(2)二看“函数名称”,看函数 名称之间的差异,从而确定使用的公式;(3)三看“结构特 征”,分析结构特征,找到变形的方向.

?sin α+cos α-1??sin α-cos α+1? 【训练1】 化简: . sin 2α
? ?? ? α α α α 2α 2α ?2sin cos -2sin ??2sin cos +2sin ? 2 2 2 ?? 2 2 2? ?

解 原式=

α α 4sin 2cos 2cos α α ?? α α? α ??cos +sin ?sin 2 ?? 2 2? 2 α cos2cos α α cos αsin 2 α = =tan2. α cos 2cos α



? α ?cos -sin 2 ?



? ? α 2α 2α ?cos -sin ?sin 2 2? 2 ?

α cos2cos α

考向二 三角函数式的求值
? ?α ? β? π 1 【例2】?已知0<β< 2 <α<π,且cos ?α-2? =- 9 ,sin ?2-β? = ? ? ? ?

2 3,求cos(α+β)的值. α+β ? β? ?α ? [审题视点] 拆分角: = ?α-2? - ?2-β? ,利用平方关系分 2 ? ? ? ? 别求各角的正弦、余弦. π 解 ∵0<β<2<α<π, π α π π β ∴- < -β< , <α- <π, 4 2 2 4 2

?α ? ∴cos?2-β?= ? ? ? β? sin?α-2?= ? ?

1-sin 1-cos
2

2

?α ? ? -β?= ?2 ?

5 , 3

? β? 4 5 ?α- ?= 2? 9 , ?

?? α+β β? ?α ?? ∴cos 2 =cos??α-2?-?2-β?? ?? ? ? ?? ? ? β ? ?α ? β ? ?α ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? =?-9?× ? ?

5 4 5 2 7 5 + × = , 3 9 3 27
2α+β

∴cos(α+β)=2cos

49×5 239 -1=2× -1=- . 2 729 729

三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表 示: (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差. (2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系”或 “互余互补”关系.

【训练2】

? π? 已知α,β∈ ?0,2? ,sin ? ?

4 1 α= 5 ,tan(α-β)=- 3 ,求

cos β的值. 解
? π? π π ∵α,β∈?0,2?,∴- <α-β< , 2 2 ? ?

1 π 又∵tan(α-β)=-3<0,∴-2<α-β<0. 1 10 2 ∴ 2 =1+tan (α-β)= 9 . cos ?α-β? 3 10 10 cos(α-β)= ,sin(α-β)=- . 10 10

4 3 又∵sin α= ,∴cos α= . 5 5 ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 3 3 10 4 ? 10 10? ? ? =5× 10 +5×?- ?= 10 . 10 ? ?

考向三 三角函数的求角问题 1 13 π 【例3】?已知cos α= ,cos(α-β)= ,且0<β<α< , 7 14 2 求β. [审题视点] 由cos β=cos[α-(α-β)]解决. π π 13 解 ∵0<β<α<2,∴0<α-β<2.又∵cos(α-β)=14, 1 π ∵cos α=7,β<α<2,

4 3 ∴sin α= 1-cos α= 7
2

3 3 ∴sin(α-β)= 1-cos ?α-β?= 14 ,
2

∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2 π π ∵0<β< .∴β= . 2 3

通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数 时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知 正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是
? π? ? 0, ? 2? ?



选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的
? π π? 范围为?-2,2?,选正弦较好. ? ?

【训练3】

? π π? 已知α,β∈?-2,2?,且tan ? ?

α,tan β是方程x2+3 3

x+4=0的两个根,求α+β的值. 解 4, ∴tan α<0,tan β<0,-π<α+β<0. tan α+tan β -3 3 又tan(α+β)= = = 3. 1-tan αtan β 1-4 2π ∴α+β=- 3 . 由根与系数的关系得:tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=

考向四

三角函数的综合应用

【例4】?(2010· 北京)已知函数f(x)=2cos 2x+sin2x. (1)求f
?π ? ? ?的值; ?3?

(2)求f(x)的最大值和最小值. [审题视点] 先化简函数y=f(x),再利用三角函数的性质求解.



?π ? 2π 2π ? ? (1)f 3 =2cos +sin 3 3 ? ?

3 1 =-1+4=-4. (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x) =3cos2x-1,x∈R. ∵cos x∈[-1,1], ∴当cos x=± 1时,f(x)取最大值2; 当cos x=0时,f(x)取最小值-1.

高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍 角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这 些公式,先把函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再进一 步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对 称性等性质.

【训练4】 已知函数f(x)=2sin(π-x)cos x. (1)求f(x)的最小正周期;
? π π? (2)求f(x)在区间?-6,2?上的最大值和最小值. ? ?



f(x)=2sin xcos x=sin 2x,

2π (1)f(x)的最小正周期T= 2 =π.

π π (2)∵- ≤x≤ , 6 2 π ∴-3≤2x≤π. - 3 ∴ 2 ≤sin 2x≤1. 3 ∴f(x)的最大值为1,最小值为- 2 .

难点突破10——三角函数求值、求角问题策略
面对有关三角函数的求值、化简和证明,许多考生一筹莫展, 而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重 点,其难点在于:其一,如何牢固记忆众多公式,其二,如何 根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法. 一、给值求值 一般是给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函 数值, 解题的关键在于“变角”, 如 α=(α+β)-β, 2α=(α+β) +(α-β)等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意 角的范围的讨论.

【示例】 ? (2011· 江苏 ) 已知 tan ________.

? π? tan x ?x+ ? = 2 ,则 4? tan 2x 的值为 ?

二、给值求角“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”, 关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函 数值结合该函数的单调区间求得角. 1 1 【示例】? (2011· 南昌月考)已知 tan(α-β)=2,tan β=-7,且 α,β∈(0,π),求 2α-β 的值.

▲三角恒等变换与向量的综合问题(教师备选) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具,是每年高 考的必考内容,常在选择题中以条件求值的形式考查.近几年 该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中,并且成为高 考的一个新考查方向. 【示例】? (2011· 温州一模)已知向量 a=(sin θ,-2)与 b=(1, cos θ)互相垂直,其中
? π? θ∈?0,2?. ? ?

(1)求 sin θ 和 cos θ 的值; π (2)若 5cos(θ-φ)=3 5cos φ,0<φ<2,求 cos φ 的值.

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