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2016-2017学年高中数学学业分层测评16苏教版必修3资料


学业分层测评(十六)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.以下关于线性回归的判断,正确的为________.(填序号) ①若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线; ^ ②已知线性回归方程为y=0.50x-0.81,则 x=25 时,y 的估计值为 11.69; ③线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势. 【解析】 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而据回归直线的定义知,只有 ^ ^ 按最小平方法求得直线y=a+bx 才是线性回归方程, ①不对, ③正确.将 x=25 代入y=0.50x ^ -0.81,解得y=11.69,②正确. 【答案】 ②③ 2.(2015·南通高一月考)甲、乙两同学各自独立地考察两个变量 X、Y 的线性相关关系 时,发现两人对 X 的观察数据的平均值相等,都是 s,对 Y 的观察数据的平均值也相等,都 是 t,各自求出的回归直线分别是 l1,l2,则直线 l1 与 l2 必经过同一点________. - - 【解析】 由回归方程必过样本中心( x , y )知,直线 l1,l2 经过的同一点为(s,t). 【答案】 (s,t) 3.已知某工厂在 2015 年每月产品的总成本 y(万元)与月产量 x(万件)之间有线性相关关 ^ 系, 回归方程为y=1.215x+0.974, 若月产量增加 4 万件时, 则估计成本增加________万元. ^ 【解析】 由y1=1.215x1+0.974, ^

y2=1.215(x1+4)+0.974,
^ ^ 得y2-y1=1.215×4=4.86(万元). 【答案】 4.86 4.对某台机器购置后的运营年限 x(x=1,2,3,?)与当年利润 y 的统计分析知具备线性 相关关系,回归方程为 y=10.47-1.3x,估计该台机器使用________年最合算. 【解析】 只要预计利润不为负数,使用该机器就算合算,即 y≥0,所以 10.47-

1.3x≥0,解得 x≤8.05,所以该台机器使用 8 年最合算. 【答案】 8 5.(2015·扬州高一检测)已知 x,y 的取值如下表所示:

x y

0 2.2

1 4.3

3 4.8

4 6.7
1

^ 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,则 a=________. - - 【解析】 由条件知 x =2, y =4.4,所以 4.4=0.95×2+a,解得 a=2.5. 【答案】 2.5 6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后,在生产 A 产品过程中记录的产量 x(单位:吨) 与相应的生产能耗 y(单位:10 kJ)几组对应的数据:
3

x y

3 2.5

4

5 4

6 4.5

t

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=0.7x+0.35,那么表中 t 的值 为________. - - 【解析】 由 y =0.7 x +0.35,得 2.5+t+4+4.5 3+4+5+6 =0.7× +0.35, 4 4 故 11+t =3.5,即 t=3. 4

【答案】 3 7.根据如下样本数据

x y

3 4.0

4 2.5

5 -0.5

6 0.5

7 -2.0

8 -3.0

^ 得到的回归方程为y=bx+a,则下列判断正确的是________. ①a>0,b>0;②a>0,b<0;③a<0,b>0;④a<0,b<0. 【解析】 作出散点图如下:

^ 观察图象可知,回归直线y=bx+a 的斜率 b<0, ^ 当 x=0 时,y=a>0.故 a>0,b<0. 【答案】 ② 8.某数学老师身高 176 cm, 他爷爷、 父亲和儿子的身高分别是 173 cm、 170 cm 和 182 cm. 因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ________cm. 【导学号:90200059】
2

【解析】 设父亲身高为 x cm,儿子身高为 y cm,则

x y x =173, y =176,b=

173 170

170 176

176 182

0×?-6?+?-3?×0+3×6 =1, 2 0 +9+9

a= y -b x =176-1×173=3,
^ ^ ∴y=x+3,当 x=182 时,y=185. 【答案】 185 二、解答题 9.从某居民区随机抽取 10 个家庭,经统计第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储 蓄 yi(单位:千元)的数据资料,得到 ?xi=80, ?yi=20, ?xiyi=184, ?xi=720.
2 10 10 10 10

i=1

i=1

i=1

i=1

^ (1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.
n 80 - 1 【解】 (1)由题意知 n=10, x = ?xi= =8, ni=1 10



y=

1

yi= =2, ni? 10 =1

n

20

-2 2 2 又 ?xi-n x =720-10×8 =80,
i=1

n

-- ?xiyi-n x y =184-10×8×2=24,
i=1

n

24 由此得 b= =0.3, 80

a= y -b x =2-0.3×8=-0.4,
^ 故所求线性回归方程为y=0.3x-0.4. (2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入线性回归方程可以预测该家庭的月储蓄约为 y=0.3×7-0.4=1.7(千 元). 10.某种产品的广告支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下的对应关系
3





x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(1)假定 y 与 x 之间具有线性相关关系,求线性回归方程; (2)若实际销售额不少于 60 百万元,则广告支出应该不少于多少? - 1 【解】 (1) x = (2+4+5+6+8)=5, 5 -

y = (30+40+60+50+70)=50,
5

1 5

2 2 2 2 2 i=2 +4 +5 +6 +8 =145. ?x2

i=1

?xiyi=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1
i=1

5

380.

-- ?xiyi-5 x y
i=1

5

∴b=
2 i-5 x ?x2 5



1 380-5×5×50 = =6.5, 2 145-5×5

i=1

a= y -b x =50-6.5×5=17.5,
^ ∴线性回归方程为y=6.5x+17.5. ^ (2)由线性回归方程得y≥60, 85 即 6.5x+17.5≥60,∴x≥ ≈6.54, 13 ∴广告费用支出应不少于 6.54 百万元. [能力提升] 1.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54





^ 根据上表可得回归方程y=bx+a 中的 b 为 9.4, 据此模型预测广告费用为 6 万元时销售 额为________万元. - - 【解析】 由题意可知 x =3.5, y =42, 则 42=9.4×3.5+a,a=9.1, ^

y=9.4×6+9.1=65.5.
【答案】 65.5
4

2.期中考试后, 某校高一(9)班对全班 65 名学生的成绩进行分析, 得到数学成绩 y 对总 ^ 成绩 x 的回归直线方程为y=6+0.4x.由此可以估计: 若两个同学的总成绩相差 50 分, 则他 们的数学成绩大约相差________分. 【导学号:90200060】 【解析】 令两人的总成绩分别为 x1,x2. 则对应的数学成绩估计为 ^

y1=6+0.4x1,y2=6+0.4x2,
^ ^ 所以|y1-y2|=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20. 【答案】 20 3.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:

^

x y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

^ ^ ^ 假设根据上表数据所得线性回归方程为y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据 ^ ^ (1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y=b′x+a′,则b________b′,a________a′(填“>”、 “<”或“=”). 【解析】 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为 y=2x-2,b′=2,a′=-2.

?xiyi-6 x · y
^ 而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据,可求得b=
i=1

6

- - =

?xi-6 x
2

6

-2

i=1

7 13 58-6× × 2 6 5 ^ - ^- 13 5 7 1 ^ ^ = ,a= y -b x = - × =- ,所以b<b′,a>a′. 7?2 7 6 7 2 3 ? 91-6×? ? ?2? 【答案】 < >

4.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析 研究, 他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 棵种子中 的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x(℃) 发芽数 y(颗) 12 月 1 日 10 23 12 月 2 日 11 25 12 月 3 日 13 30 12 月 4 日 12 26 12 月 5 日 8 16

该农科所确定的研究方案是: 先从这 5 组数据中选取 2 组, 用剩下的 3 组数据求回归直 线方程,再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数
5

^ 据,求出 y 关于 x 的回归直线方程y=bx+a; (2)若由回归直线方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认 为得到的回归直线方程是可靠的,试问(1)中所得的回归直线方程是否可靠? - - 【解】 (1)由数据求得, x =12, y =27, 由公式求得,

b= ,a= y -b x =-3.
^ 5 所以 y 关于 x 的回归直线方程为y= x-3. 2 ^ 5 (2)当 x=10 时,y= ×10-3=22,|22-23|<2; 2 ^ 5 当 x=8 时,y= ×8-3=17,|17-16|<2. 2 所以该研究所得到的回归直线方程是可靠的.

5 2





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