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湖北省八校2015届高三第二次联考数学(理)试卷 word版含答案


黄冈中学 黄石二中 华师一附中 湖北省 鄂南高中 八校 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆 州 中 学 2015 届高三第二次联考

数学试题(理科)
命题学校:黄冈中学 命题人:龙燕 试卷满分 150 分 审题人:汤彩仙 考试用时 120 分钟 考试时间:2015 年 4 月 1 日下午 15:00—17:00

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. x 2 1.已知全集为 R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 A CR B ? A. C.

? x x ? 0? ? x 0 ? x ? 1或x ? 2?

?

?

?

B.

? x 1 ? x ? 2? D. ? x 0 ? x ? 1或x ? 2?

?

开始

i ? 1, S ? 0
ai ? sin i ?? 3

2. 若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 4 ? 2i(i 为虚数单位) ,则 | z |? A. 2 B. C. D. 10 3 5 3. 执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为 3 A. 3 B. C. 0 D. ? 3 2 4. 某几何体的三视图(单位: cm )如右图所示,其中侧视图是一个边长为 2 的正三角形,则这个几何体的体积是 3 3 3 3 A. 2??cm B. 3??cm C. 3 3??cm D. 3??cm 5. 在等腰 ?ABC 中, ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 2, BC ? 2BD, AC ? 3 AE , 则 AD ? BE 的值为 A. ?

S ? S ? ai
i ? 8?
否 输出 S 结束
第 3 题图

i ? i ?1


4 3

B. ?

1 3

1 C. 3

4 D. 3

?x ? y ? 2 ? 6. 设不等式组 ? 所表示的区域为 M ,函数 y ? ?x ? y ? ? 2 ?y ? 0 ? ?

1 ? x2 的图象与
1 1 正视图 2 侧视图

x 轴所围成的区域为 N ,向 M 内随机投一个点,则该点落在 N 内的概率为 2 ? ? ? A. B. C. D. 16 ? 4 8
7. 下列说法正确的是 A. “ x ? 0 ”是“ ln( x ? 1) ? 0 ”的充要条件 2 2 B. “ ?x ? 2 , x ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定 是“ ?x ? 2, x ? 3x ? 2 ? 0 ” ..
俯视图 第 4 题图

C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动,学号为 5,16,27,38,49 的同学均被选出,则该 班学生人数可能为 60 2 D. 在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N (1, ? )(? ? 0) ,若 X 在 (0,1) 内取值的概率为 0.4, 则 X 在 (0, 2) 内取值的概率为 0.8 8. 已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 FP ? 3FQ ,则 | QF | =
2

A.

8 3

B.

5 2

C.

3

D.

2

-1-

? 1 ? 3,?? 1 ? x ? 0 ? 9. 已知函数 g ( x) ? ? x ? 1 ,若方程 g ( x) ? mx ? m ? 0 有且仅有两个不等的实根,则实数 ? x 2 ? 3x ? 2, 0 ? x ? 1 ? m 的取值范围是 9 11 A. ( ? , ?2] [0, 2] B. (? , ?2] [0, 2] 4 4 9 11 C. (? , ?2] [0, 2) D. (? , ?2] [0, 2) 4 4
10. 函 数 y ? f ( x) 图 像 上 不 同 两 点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 处 的 切 线 的 斜 率 分 别 是 k A , kB , 规 定

? ( A, B) ?

| k A ? kB | 叫做曲线 y ? f ( x) 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度” ,给出以下命题: | AB |

①函数 y ? x3 ? x 2 ? 1 图像上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1, 2 ,则 ? ( A, B) ? 3; ②存在这样的函数,图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A 、 B 是抛物线 y ? x2 ? 1 上不同的两点,则 ? ( A, B) ? 2 ;
x 1 恒成立,则实数 t 的 ④设曲线 y ? e 上不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ? 1 ,若 t ? ? (A,B) ?

取值范围是 (??,1) .以上正确命题的序号为 A. ①② B. ②③

C. ③④

D. ②③④

二、填空题:本大题共 6 个小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对 .... 应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ... (一) 必考题(11—14 题) 11. 已知二项式 ( x ?
2

1 n ) 的展开式的二项式系数之和为 32 ,则展开式中含 x 项的系数是_ x
2 2 2

_.

12. 若实数 a, b, c 满足 a ? 2b ? 3c ? 2 ,则当 a ? 2b ? 3c 取最小值时, 2a ? 4b ? 9c 的值为________. 13. 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 将直线 y ?

x 2

y

与直线 x ? 1 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一 周 得 到 一 个 圆 锥 , 圆 锥 的 体 积
1 ? 3 x x V圆锥 ? ? ? ( ) 2 dx ? 0 12 2

y y=
O

y=2

1 0

?

?
12

x 2
x=1 x
O 第 13 题图

y= x

2

. 据此类比: 将

曲线 y ? x2 ( x ? 0) 与直线 y ? 2 及 y 轴所围成 的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体, 该旋转 体的体积 V ? ______ .

x

14. 设 数 列 {an } 共 有 n 项 (n ? 3, n ? N ) , 且 a1 ? an ? 1 , 对 于 每 个 i(1 ? i ? n ? 1, n ? N ) 均 有
* *

ai ?1 1 . } ?{ , 1 , 3 ai 3
(1)当 n ? 3 时,满足条件的所有数列 {an } 的个数为__________;

-2-

(2)当 n ? 10 时,满足条件的所有数列 {an } 的个数为_________. (二) 选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题做答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在 方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) E 15. (选修 4—1:几何证明选讲)如图, PA 与圆 O 相切于 A ,不过圆心 O 的 割线 PCB 与直径 AE 相交于 D 点.已知∠ BPA = 30 , AD ? 2 , PC ? 1 , B O· 则圆 O 的半径等于__________. 16. (选修 4—4:坐标系与参数方程)已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1? t ? y ? 3 ? 2t

C P

D

( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

A 第 15 题图

C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ?

?

4

) ,则直线 l 与曲线 C 相交的弦长为__________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos x cos( x ? (Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ )在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 f (C ) ? ? 求边长 c 的值. 18. (本小题满分 12 分)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 是等比数列,满足 a1 ? 3, b1 ? 1 ,

?

3

). 1 , a ? 2, 且 ?ABC 的面积为 2 3 , 4

b2 ? S2 ? 10, a5 ? 2b2 ? a3. (Ⅰ )求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

?2 ? , n 为奇数, (Ⅱ )令 cn ? ? S n 设数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,求 T2 n . ?b , ? n n 为偶数,

19. (本小题满分 12 分)端午节即将到来,为了做好端午节商场促销活动,某商场打算将进行促销活动的 礼品盒重新设计.方案如下:将一块边长为 10 的正方形纸片 ABCD 剪去四个全等的等腰三角形 ?SEE?, ?SFF ?, ?SGG?, ?SHH ?, 再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒 S ? EFGH ,其中 A, B, C , D 重合于点 O,E 与 E ? 重合,F 与 F ? G G′ D S C 重合,G 与 G ? 重合,H 与 H ? 重合 (如图所示) . F′ (Ⅰ)求证:平面 SEG ? 平面 SFH ; H (Ⅱ)当 AE ? 弦值.

5 时,求二面角 E ? SH ? F 的余 2

H′ A E

· S

F E′ B E

H O F

G

第 19 题图

-3-

20.(本小题满分 12 分)根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在 0 50 ,各类人群可 正常活动.某市环保局在 2014 年对该市进行了为期一年的空气质量检测,得到每天的空气质量指数,

从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告, 样本数据分组区间为 ?0,10? , ?10,20? , ?20,30? , ?30,40? ,

?40,50? ,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,

如图. (Ⅰ)求 a 的值;并根据样本数据,试估计这一年度的空气 质量指数的平均值; (Ⅱ)用这 50 个样本数据来估计全年的总体数据,将频率 视为概率.如果空气质量指数不超过 20,就认定空 气质量为“最优等级” .从这一年的监测数据中随机 抽取 2 天的数值, 其中达到 “最优等级” 的天数为 ? , 求 ? 的分布列,并估计一个月(30 天)中空气质量 能达到“最优等级”的天数.

第 20 题图

21. (本小题满分 13 分)如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), A(2,0) 是长轴的一个端点,弦 BC 过椭圆的 a 2 b2
y C

中心 O,且 AC ? BC ? 0, OC ? OB ? 2 BC ? BA . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 P、Q 为椭圆上异于 A, B 且不重合的两点,且 ?PCQ 的平分线总是 垂直于 x 轴,是否存在实数 ? ,使得 PQ ? ? AB ,若存在,请求出 ? 的 最大值,若不存在,请说明理由.

O
B 第 21 题图

A

x

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? mx , g ( x) ?
2

1 2 mx ? x, m ? R, 令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . 2

1 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; 2 (Ⅱ)若关于 x 的不等式 F ( x) ? mx ? 1 恒成立,求整数 ..m 的最小值;
(Ⅰ)当 m ? (Ⅲ)若 m ? ?2 ,正实数 x1 , x2 满足 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,证明: x1 ? x2 ?

5 ?1 . 2

-4-

湖北省 八校 2015 届高三第二次联考 数学试题(理科)参考答案
1-5 CDABA 11. 10 12. 5 6-10 BDACB 14. (1)3 (2)3139 15. 7 16. 13. 2?

鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆 州 中 学

2 30 5

1. 解析: A ? {x | x ? 0}, B ? {x |1 ? x ? 2}, CR B ? {x | x ? 1或x ? 2} ,

? A CR B ? ? x 0 ? x ? 1或x ? 2?
2. 解析: z ?

4 ? 2i (4 ? 2i)(1 ? i) ? ? 1 ? 3i,| z |? 10 1? i (1 ? i)(1 ? i)

3. 解析: S ? sin

?
3

? sin

2? ? 3

? sin

8? 9? ? sin ? 3. 3 3

1 1 ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 ? 3. 3 2 1 1 5. 解析: AD ? ( AB ? AC ), BE ? AE ? AB ? AC ? AB 2 3
4. 解析:由图知几何体的体积为 V ?

? AD ? BE ?

2 2 1 1 1 1 4 ( AB ? AC ) ? ( AC ? AB ) ? ( AC ? AB ) ? ? . 2 3 2 3 3

? ? ,由几何概型知所求概率为 P ? . 4 2 2 ? x ? 2 7. 解析:A 中应为必要不充分条件;B 中命题的否定为“ , x ? 3x ? 2 ? 0 ” ;C 错;D 对.
6. 解析:区域 M 的面积为 2 ,区域 N 的面积为 8. 解析:设 l 与 x 轴的交点为 M,过 Q 向准线 l 作垂线,垂足为 N,则由

NQ 2 ? 及 MF ? p ? 4 可得 MF 3

8 QF ? . 3
9. 解析:令 g ( x) ? mx ? m ? 0 得 g ( x) ? m( x ? 1) ,原方程有两个相异的实根等价于两函数 y ? g ( x) 与

y ? m( x ? 1) 的图象有两个不同的交点.
当 m ? 0 时,易知临界位置为 y ? m( x ? 1) 过点 (0, 2) 和 (1, 0) ,分别求出这两个位置的斜率 k1 ? 2 和

k2 ? 0 ,由图可知此时 m ?[0, 2)
当 m ? 0 时,设过点 (?1, 0) 向函数 g ( x) ? 数的导数为 g ?( x) ? ?

1 ? 3, x ? (?1, 0] 的图象作切线的切点为 ( x0 , y0 ) ,则由函 x ?1

1 得 ( x ? 1) 2
-5-

y0 1 ? 1 ? x ? ? ?? ( x ? 1) 2 ? x ? 1 0 ? 9 ? ? 3 0 0 解得 ? , 得切线的斜率为 k1 ? ? , 而过点 (?1, 0), (0, ?2) 的斜率为 k1 ? ?2 , ? 4 3 1 ?y ? ? ?y ? ?3 0 0 ? ? ? 2 x ? 1 0 ? 9 9 由图知此时 m ? (? , ?2] ,? m ? (? , ?2] [0, 2) 4 4
10.解析:①错: A(1,1), B(2,5),| AB |? 17,| k A ? k B |? 7,?? ( A, B) ?

7 ? 3, 17

②对:如 y ? 1 ;③对: ? ( A, B) ?

| 2 xA ? 2 xB | ( xA ? xB ) ? ( x ? x )
2 2 A 2 2 B

?

2 1 ? ( xA ? xB )2

? 2;

④错: ? ( A, B ) ?

| e x1 ? e x2 | ( x1 ? x2 ) 2 ? (e x1 ? e x2 ) 2

?

| e x1 ? e x2 | 1 ? (e x1 ? e x2 ) 2



1 ? (e x1 ? e x2 ) 2 1 1 1 ? ? ? 1 ? 1, t ? 恒成立,故 t ? 1 . x1 x2 x1 x2 2 ? ( A, B) |e ?e | (e ? e ) ? ( A, B)
11.解析:由 2 ? 32 得 n ? 5 ,Tr ?1 ? C ( x )
n

r 5

2 5? r

?1? r 10?3r ,令 10 ?3 r ?1 得 r ? 3 ,故含 x 项的系数 ? ? ? C5 x ? x?

r

3 为 C5 ? 10 .

12.解析:由柯西不等式得 4 ? (a ? 2b ? 3c)2 ? [a2 ? ( 2b)2 ? ( 3c)2 ](12 ? ( 2)2 ? ( 3)2 )

? a 2 ? 2b 2 ? 3c 2 ?

4 2 a 2b 3c ? . 此时 ? ? ,? a ? b ? c, 又 a ? 2b ? 3c ? 2 , 6 3 1 2 3

1 ? a ? b ? c ? ,? 2a ? 4b ? 9c ? 5 3
13.解析: V ?

?

2

0

2 ? ( y )2 dy ? ? ? ydy ? ? y 2 |0 ? 2? . 0

2

1 2

14.解析: (1)当 n ? 3 时,因为

a2 ? 1 ? a ?1 ? ? ? ,1,3? , 3 ? ? ,1,3? , a1 ? 3 ? a2 ? 3 ?

所以 a2 ? ? ,1,3? ,

?1 ?3

? ?

1 1 ?1 ? ? ? ,1,3? ,所以 a2 ? 或 a2 ? 1 或 a2 ? 3 3 a2 ? 3 ?

所以满足条件的所有数列 ?an ? 的个数为 3 个; (2)令 bi ?

ai ?1 (1 ? i ? 9) ,则对每个符合条件的数列 ?an ? 满足条件 ai

-6-

b1b2 ??? b9 ?

a2 a3 a10 a10 ?1 ? ? ??? ? ? 1 ,且 bi ? ? ,1,3? a1 a2 a9 a1 ?3 ?

反之符合上述条件的 9 项数列 ?bn ? ,可唯一确定一个符合条件的 10 项数列 ?an ? 记符合条件的数列 ?bn ? 的个数为 N , 显然 bi (1 ? i ? 9) 中有 k 个 3, k 个

1 , 9 ? 2k 个 1 3

k k 当 k 给定时, ?bn ? 的取法有 C9 C9?k 种,易得 k 的可能值为 0,1, 2,3, 4, 1 1 2 2 3 3 4 4 故 N ? 1 ? C9 C8 ? C9 C7 ? C9 C6 ? C9 C5 ? 3139.

所以满足条件的所有数列 ?an ? 的个数为 3139 个. 15.解析: Rt ?PAD 中, AD ? 2,? PD ? 4, PA ? 2 3, 由切割线定理得 PA ? PC ? PB,
2

?(2 3)2 ? 1? PB, ? PB ? 12,? BD ? 8 又由相交弦定理得 AD ? ED ? CD ? BD,
? ED ? 12, 所以直径为 14,故半径为 7.
16. 解析:把直线 l 的参数方程化为普通方程得 2 x ? y ? 5 ,把曲线 C 的极坐标方程化为普通方程得

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ,圆心到直线的距离为

2 4 6 2 30 ,则弦长为 2 2 ? ? 2 ? 5 5 5 5

17.解析: f ( x) ? cos x(cos x cos

?

? 1 3 sin x sin ) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 cos(2 x ? ? ) ? 1 2 3 4 3 3 2 4
???????4 分 ???????6 分

(1) T ? ? ; (2) f (C ) ?

1 ? 1 1 ? ? cos(2C ? ) ? ? ? ,? cos(2C ? ) ? ?1,? C ? . ???????8 分 2 3 4 4 3 3
???????10 分

S

ABC

1 3 ? ab sin C ? ab ? 2 3,? ab ? 8, a ? 2,? b ? 4, 2 4

由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 12,?c ? 2 3. 18.解析:(Ⅰ )设数列 {an } 的公差为 d,数列 {bn } 的公比为 q,则
?b2 ? S2 ? 10, ?q ? 6 ? d ? 10, ? d ? 2, 由? 得? 解得 ? ? q ? 2, ?a5 ? 2b2 ? a3 , ?3 ? 4d ? 2q ? 3 ? 2d ,

???????12 分

所以 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 2n ?1 . (Ⅱ )由 a1 ? 3 , an ? 2n ? 1 得 Sn ? n(n ? 2) ,
1 ? 2 ?1 , n 为奇数, ? n(n ? 2) , n 为奇数, c ? ? ? 则 cn ? ? 即 n ?n n ? 2 ? 2n ?1 , ?2n ?1 , ? n 为偶数, n 为偶数, ?
-7-

???????4 分

???????6 分

T2n ? (c1 ? c3 ? ? c2n?1 ) ? (c2 ? c4 ? ? c2n ) 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] ? (2 ? 23 ? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n 2 1 2(1 ? 4n ) ? ? (4n ? 1) ?1? ? 2n ? 1 3 2n ? 1 1? 4 19.解: (Ⅰ) 折后 A, B, C , D 重合于一点 O,
? 底面 EFGH 是正方形,故 EG ? FH . 在原平面图形中,等腰三角形 ?SEE ?

? 22n?1 )

???????9 分 ???????12 分

? 拼接成底面 EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形,

???????2 分
?SGG ? ,? SE ? SG , ?EG ? SO. ??????4 分

又 SO, FH ? SFH , SO ? FH ? O, ?EG ? 平面 SFH . 又 EG ? 平面 SEG ,? 平面 SEG ? 平面 SFH . ???????6 分 (Ⅱ)法 1:过 O 作 OM ? SH 交 SH 于 M 点,连 EM , EO ? 面 SFH ,? EO ? SH , ? SH ? 面 EMO ,??EMO 为二面角 E ? SH ? F 的平面角. ???????8 分 当 AE ?

5 5 5 5 SO ? OH 时,即 OE ? , Rt SHO 中, SO ? 5, SH ? ,? OM ? ? 5, 2 2 2 SH
3 5 , cos ?EMO ? OM ? 5 ? 2 . 2 EM 3 5 3 2
???????12 分

Rt EMO 中, EM ? EO 2 ? OM 2 ?

所以所求二面角的余弦值为 .

2 3

法 2:由(Ⅰ)知 EG ? FH , EG ? SO, 并可同理得到 HF ? SO , 故以 O 为原点,分别以 OF , OG , OS 所在直线 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz
5 在原平面图形中, AE ? , 则底面正方形 EFGH 的对角线 EG ? 5 , 2 5 5 5 5 5 5 ? H (? ,0,0), E(0, ? ,0), G(0, ,0), HE ? ( , ? ,0), OG ? (0, ,0). 2 2 2 2 2 2
z S

5 5 在原平面图形中,可求得 SE ? , 2
E

H O F

G

y

在 Rt?SOE 中,可求得 SO ? SE 2 ? OE 2 ? 5,
5 ? S (0,0,5), SH ? (? ,0, ?5), 2

x

???????8 分

设平面 SEH 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,
5 ? n ? SH ? ? x ? 5 z ? 0, ? y ? x ? ? ? 2 则? 得? 1 5 5 z ? ? x, ? ?n ? HE ? x ? y ? 0, ? 2 ? ? 2 2

令 x ? 2 ,则 n ? (2, 2, ?1)

???????10 分

EG ? 平面 SFH ,? OG 是平面 SFH 的一个法向量,设二面角 E ? SH ? F 的大小为 ? ,

则 cos ? ?

n ? OG

2 2 ? . ? 二面角 E ? SH ? F 的余弦值为 , 3 3 n ? OG

???????12 分

20.解:(Ⅰ )由题意,得 (0.03 ? 0.032 ? a ? 0.01 ? 0.008) ?10 ? 1, 解得 a ? 0.02. ???????3 分
-8-

50 个样本中空气质量指数的平均值为 X ? 0.1? 5 ? 0.2 ?15 ? 0.32 ? 25 ? 0.3 ? 35 ? 0.08 ? 45 ? 25.6 由样本估计总体,可估计 2014 年这一年度空气质量指数的平均值约为 25.6 ????6 分 (Ⅱ)利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 0, 20? 内为“最优等级” ,且指数达到“最优等级”的概 率为 0.3,则 ?
B(2, 0.3) . ? 的可能取值为 0,1,2,

0 P(? ? 0) ? C2 (0.3)0 ? (0.7)2 ?

49 42 9 1 2 , P(? ? 1) ? C2 (0.3) ? (0.7) ? , P(? ? 2) ? C2 (0.3)2 ? 100 100 100

? ? 的分布列为:

?

0
49 100

1
42 100

2
9 100

P

???????8 分
E? ? 0 ? 49 42 9 ? 1? ? 2? ? 0.6 .(或者 E? ? 2 ? 0.3 ? 0.6 ), 100 100 100

???????10 分

故一个月(30 天)中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为 30 ? 0.6 ? 18 天. ? 12 分 21.解: (I)∵ AC ? BC ? 0, ∴ AC ? BC, ?ACB ? 90?

又 OC ? OB ? 2 BC ? BA , 即 BC ? 2 AC ,∴△AOC 是等腰直角三角形 ?????2 分 ∵ A(2, 0), ∴ C (1,1) 而点 C 在椭圆上,∴

1 1 ? ? 1, a ? 2, a 2 b2

∴ b2 ?

4 3
???????4 分

x2 3 y 2 ? ?1 4 4 (II)对于椭圆上两点 P 、Q,∵∠PCQ 的平分线总是垂直于 x 轴
∴所求椭圆方程为

∴PC 与 CQ 所在直线关于 x ? 1 对称,设 kPC ? k (k ? 0 且 k ? ?1) ,则 kCQ ? ?k ,???6 分 则 PC 的直线方程 y ? 1 ? k ( x ? 1) ? y ? k ( x ? 1) ? 1 QC 的直线方 y ? 1 ? ?k ( x ? 1) ? y ? k ( x ? 1) ? 1 将①代入 ① ②

x2 3 y 2 ? ? 1 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k (k ? 1) x ? 3k 2 ? 6k ? 1 ? 0 ③ 4 4 3k 2 ? 6k ? 1 ∵ C (1,1) 在椭圆上,∴ x ? 1 是方程③的一个根,∴ x p ? 1 ? ? x p ?????8 分 1 ? 3k 2 3k 2 ? 6k ? 1 以 ? k 替换 k ,得到 xQ ? . 3k 2 ? 1
k PQ ? y p ? yQ x p ? xQ ? k ( x p ? xQ ) ? 2k x p ? xQ ? k? 6k 2 ? 2 ?4k ? 2k 2 2 1 1 ? 3k ? 1 ? 3k ? ?12k ?12k 3 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
??????10 分
160 2 30 当 ? 1 3 9k 2 ? 2 ? 6 k

1 而 k AB ? , ∴ kPQ ? k AB , ∴ PQ ∥AB,∴存在实数 ? ,使得 PQ ? ? AB 3
| PQ |? ( x p ? xq ) ? ( y p ? yq ) 2 ?
2

?12k 2 ?4k 2 ( ) ?( ) ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

160k 2 ? (1 ? 3k 2 ) 2

-9-

9k 2 ?

1 3 1 2 时即 k ? , k ? ? 时取等号, 2 k 3 3
2 30 2 3 ? 3 ? 3 10
???????? 13 分 ????????2 分

又 | AB |? 10 , ?max

1 1 ? x2 1 22.解:⑴ f ( x) ? lnx ? x2 , x ? 0, f ?( x) ? ? x ? ( x ? 0) 2 x x

由 f ?( x) ? 0, 得 1 ? x 2 ? 0, 又 x ? 0, 所以 0 ? x ? 1.所以 f ( x) 的单增区间为 (0,1) . ???4 分

1 (2)方法一:令 G( x) ? F ( x) ? (mx ? 1) ? lnx ? mx2 ? (1 ? m) x ? 1, 2

1 ?mx2 ? (1 ? m) x ? 1 . ? mx ? (1 ? m) ? x x 当 m ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以 G ?( x) ? 0. 所以 G ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数,
所以 G?( x) ?

1 3 又因为 G(1) ? ln1 ? m ?12 ? (1 ? m) ? 1 ? ? m ? 2 ? 0, 2 2 所以关于 x 的不等式 G ( x) ? mx ? 1 不能恒成立.
?mx 2 ? (1 ? m) x ? 1 ?? 当 m ? 0 时, G ?( x) ? x m( x ? 1 )( x ? 1) m . x

?????????6 分

令 G ?( x) ? 0, 得 x ?

1 1 1 ,所以当 x ? (0, ) 时, G ?( x) ? 0; 当 x ? ( , ??) 时, G?( x) ? 0 . m m m 1 1 ) 是增函数,在 x ? ( , ??) 是减函数. m m
????8 分

因此函数 G ( x) 在 x ? (0,

1 1 1 1 1 1 故函数 G ( x) 的最大值为 G( ) ? ln ? m ? ( )2 ? (1 ? m) ? ? 1 ? ? ln m. m m 2 m m 2m 1 1 1 ? ln m, 因为 h(1) ? ? 0, h(2) ? ? ln2 ? 0, 2m 2 4 又因为 h(m) 在 m ? (0, ??) 上是减函数,所以当 m ? 2 时, h(m) ? 0 .
令 h(m) ? 所以整数 m 的最小值为 2.

?????10 分

1 方法二:⑵由 F ( x) ? mx ? 1 恒成立,得 lnx ? mx2 ? x ? mx ? 1 在 (0, ??) 上恒成立. 2
问题等价于 m ?
lnx ? x ? 1 在 (0, ??) 上恒成立. 1 2 x ?x 2

令 h( x ) ?

lnx ? x ? 1 ,只要 m ? h( x)max . 1 2 x ?x 2

????????6 分

1 ( x ? 1)(? x ? lnx) 1 2 因为 h?( x) ? , 令 h?( x) ? 0, 得 ? x ? lnx ? 0 . 1 2 2 2 ( x ? x) 2

1 1 1 设 ? ( x) ? ? x ? lnx ,因为 ? ?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, 2 2 x

- 10 -

1 不妨设 ? x ? lnx ? 0 的根为 x0 .当 x ? (0, x0 ) 时, h?( x) ? 0; 当 x ? ( x0 , ??) 时, h?( x) ? 0 . 2
所以 h( x) 在 x ? (0, x0 ) 上是增函数;在 x ? ( x0 , ??) 上是减函数.

所以 h( x)max

1 1 ? x0 lnx0 ? x0 ? 1 1 2 ? h( x0 ) ? ? ? . 1 2 1 x0 ? x0 x0 (1 ? x0 ) x0 2 2

???????8 分

1 1 1 因为 ? ( ) ? ln2 ? ? 0,? (1) ? ? ? 0 2 4 2 1 1 所以 ? x0 ? 1. 此时 1 ? ? 2, g ( x) max ? (1, 2). 所以 m ? 2, 即整数 m 的最小值为 2 ?? 10 分 x0 2
(3)当 m ? ?2 时, F ( x) ? lnx ? x 2 ? x, x ? 0
2 ? x2 ? x1 x2 ? 0 由 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? x1 x2 ? 0, 即 lnx1 ? x12 ? x1 ? lnx2 ? x2

从而 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 ) 令 t ? x1 ? x2 , 则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, ? ?(t ) ?

????????13 分

t ?1 t 可知 ? ?(t ) 在区间(0,1)上单调递减,在区间 (1, ??) 上单调递增。所以 ? (t ) ? ? (1) ? 1,

所以 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1, 即 x1 ? x2 ?

5 ?1 成立. 2

?????????14 分

- 11 -


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