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高考数学一轮复习必备:第31课时:第四章 三角函数-三角函数式的化简与证明


第 31 课时:第四章

三角函数——三角函数式的化简与证明

一.课题:三角函数式的化简与证明 二.教学目标:能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明. 三.教学重点:熟练地运用三角公式进行化简与证明. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.三角函数式的化简要求:通过对三角函数式的恒等变形(或结合给定条件而进 行的恒等变形) ,使最后所得到的结果中:①所含函数和角的名类或种类最少;② 各项的次数尽可能地低;③出现的项数最少;④一般应使分母和根号不含三角函 数式;⑤对能求出具体数值的,要求出值. 2.三角恒等式的证明要求:利用已知三角公式通过恒等变形(或结合给定条件运 用三角公式) ,论证所给等式左、右相等,要求过程清晰、步骤完整. (二)主要方法: 1.三角函数式的化简: 三角函数式的化简常用方法是:异名函数化为同名三角函数,异角化为同角,异 次化为同次,切割化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化. 2.三角恒等式的证明: 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式.①无条件的等式证明的基本 方法是化繁为简、左右归一、变更命题等,使等式两端的“异”化为“同” ;②有 条件的等式常用方法有:代入法、消去法、综合法、分析法等. (三)例题分析: 例 1.化简:

3 tan12? ? 3 (1) ; sin12? (4cos2 12? ? 2)
(2) (cot

?
2

? tan

?
2

)(1 ? tan ? ? tan

?
2

);

(1 ? sin ? ? cos ? )(sin

?

(3)

2 ? 2 cos ?

? cos ) 2 2 (0 ? ? ? ? ) .

?

3 sin12? ? 3cos12? ? 解: (1)原式 ? 2sin12? cos12? (2 cos 2 12? ? 1)

1 3 2 3( sin12? ? cos12? ) 2 2 sin 24? cos 24?

2 3 sin(12? ? 60? ) ? ? ?4 3 . 1 sin 48? 2
1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? )(1 ? ? ) (2)原式 ? ( sin ? sin ? cos ? sin ? 2 cos ? 1 ? cos ? 1 ? (1 ? ) ? 2 cot ? (1 ? ? 1) ? 2 csc ? . sin ? cos ? cos ?

(3)原式 ?

(2 cos 2

?

? 2 cos sin )(sin ? cos ) 2 2 2 2 2 2(1 ? cos ? )

?

?

?

?

2cos (cos ? sin )(sin ? cos ) 2cos (sin 2 ? cos 2 ) cos (? cos ? ) 2 2 2 ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 2 | cos | | cos | 2 ? 2cos 2 2 2 2
∵ 0 ? ? ? ? ,∴ 0 ? ∴原式 ? ? cos ? .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?
2

?

?
2

,∴ | cos

?
2

|? cos

?
2



2(3 ? cos 4 x) ; 1 ? cos 4 x sin(2 A ? B) sin B ? 2 cos( A ? B) ? (2) . sin A sin A

例 3.证明: (1) tan 2 x ? cot 2 x ?

证: (1)左边 ?

sin 2 x cos 2 x sin 4 x ? cos 4 x (sin 2 x ? cos 2 x) 2 ? 2sin 2 x cos 2 x ? ? ? 1 2 cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x 4

1 1 1 ? sin 2 2 x 1 ? sin 2 2 x 8 ? 4sin 2 2 x 4 ? 4cos 2 2 x 2 2 ? ? ? ? 1 2 1 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x sin 2 x (1 ? cos 4 x) 4 8 4 ? 2(1 ? cos 4 x) 2(3 ? cos 4 x) ? ? ? 右边,∴得证. 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x 说明:由等式两边的差异知:若选择“从左证到右” ,必定要“切化弦” ;若“从 右证到左” ,必定要用倍角公式. sin[( A ? B) ? B] ? 2 cos( A ? B) sin A (2)左边 ? sin A sin( A ? B) cos A ? cos( A ? B) sin A ? sin A sin[( A ? B) ? A] sin B ? ? ? 右边,∴得证. sin A sin A

(四)巩固练习: 1 ? sin 4? ? cos 4? ? 1. 1 ? sin 4? ? cos 4?
( A) cot ? ( B ) cot 2? (C ) tan ? ( D) tan 2a

( B )

2.已知 f ( x) ? 1 ? x ,当 ? ? (
( A) 2 sin ? ( B ) ?2 cos ?

5? 3? , ) 时,式子 f (sin 2? ) ? f (? sin 2? ) 可化简( D ) 4 2

(C ) ?2sin ?

( D) 2 cos ?

3.

2 tan( ? ? ) sin 2 ( ? ? ) 4 4

?

2 cos 2 ? ? 1

?

?

1



五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 28,智能训练 7,8,9,11,12,14,15

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