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高中数学苏教版选修2-1课件:第3章 空间向量与立体几何3.2.1


阶 段 一

阶 段 三

3.2 3.2.1
阶 段 二

空间向量的应用
学 业 分 层 测 评

直线的方向向量与平面的法向量

1.理解直线的方向向量和平面的法向量.(重点) 2.会用待定系数法求平面的法向量.(难点) 3.平面法向量的设法.(易错点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 直线的方向向量

阅读教材 P99 上半部分,完成下列问题.

与e共线 的非零向量叫做直线 l 的 我们把直线 l 上的向量 e(e≠0)以及__________ 方向向量 . __________

已知直线 l 过 A(3,2,1),B(2,2,2),且 a=(2,0,x)是直线 l 的一个方向向量, 则 x=________.
→ → → 【解析】 AB=(-1,0,1),由题意知,a∥AB,则存在实数 λ,使 a=λAB,
? ?2=-λ, 即(2,0,x)=λ(-1,0,1),即? ? ?x=λ,

∴λ=-2,x=-2.

【答案】 -2

教材整理 2

平面的法向量

阅读教材 P99 中间部分,完成下列问题.

向量n垂 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α, 那么称__________ 平面α的法向量 . 直于平面 α,记作________. n⊥α __________ 此时,我们把向量 n 叫做________________

1.平面 α 内一条直线 l 的方向向量为 a=(2,3,-1),平面 α 的法向量为 n =(-1,1,m),则 m=________.
【解析】 易知 a· n=0,即-2+3-m=0,解得 m=1. 【答案】 1

2.已知 A(1,0,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面 ABC 的法向量为________.
【解析】 设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),

【导学号:09390079】

? → ?n· AB=z=0, 则? → ? AC=-x+y+z=0, ?n· 令 x=1,则 y=1,z=0, 即 n=(1,1,0), 则平面 ABC 的一个法向量为(1,1,0).

【答案】 (1,1,0)(答案不惟一)

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
直线的方向向量及其应用

(1)已知直线 l1 的一个方向向量为(-7,3,4),直线 l2 的一个方向向量 为(x,y,8),且 l1∥l2,则 x=________,y=________. (2)在空间直角坐标系中,已知点 A(2,0,1),B(2,6,3),P 是直线 AB 上一点, 且满足 AP∶PB=3∶2,则直线 AB 的一个方向向量为________,点 P 的坐标为 ________.

【精彩点拨】

(1)利用两直线的方向向量共线求解;

→ → 3→ (2)AB即是直线 AB 的一个方向向量,利用AP=5AB求点 P 的坐标.
x y 8 【解析】 (1)由 l1∥l2 可知,向量(-7,3,4)和(x,y,8)共线,所以 = = , -7 3 4 解得 x=-14,y=6. → (2)AB=(0,6,2)是直线 AB 的一个方向向量. → 3→ 由 AP∶PB=3∶2,得AP=5AB. 3 设 P(x,y,z),则(x-2,y,z-1)=5(0,6,2),

18 3 即 x-2=0,y= 5 ,z-1=2· 5, 18 11 解得 x=2,y= 5 ,z= 5 , 所以直线 AB 的一个方向向量是(0,6,2),点 P
? 18 11? 的坐标为?2, 5 , 5 ?. ? ?

【答案】 (1)-14 6 (2)(0,6,2)

? 18 11? ?2, , ? 5 5? ?

1.应注意直线 AB 的方向向量有无数个,哪个易求求哪个. 2. 利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线 的位置,进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.

求平面的法向量

如图 321, ABCD 是直角梯形, ∠ABC=90° , 1 SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD=2,求平面 SBA 与平面 SCD 的法向量.
【精彩点拨】 因为与平面垂直的向量为平面的法向
图 321

量,所以先观察图中有无垂直于平面的直线,若有,利用 直接法求出;若没有,设出法向量 n,再利用待定系数法求解.

【自主解答】

∵AD,AB,AS 是三条两两垂直的线

→ → → 段,∴以 A 为原点,以AD,AB,AS的方向为 x 轴,y 轴, z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),
?1 ? ? → ?1 D?2,0,0?,C(1,1,0),S(0,0,1),AD=?2,0,0?是平面 ? ? ? ?

SBA 的法向量, → → → 设平面 SCD 的法向量 n=(1,λ,u),有 n⊥DC,n⊥DS,则 n· DC=(1,λ,
?1 ? 1 1 ? ? ,1,0 = +λ=0,∴λ=- . u)· 2 ?2 ? 2 ? 1 ? ? 1 1? 1 1 → ?- ,0,1?=- +u=0,∴u= ,∴n=?1,- , ?. n· DS=(1,λ,u)· 2 2 2 2 2 ? ? ? ?

1.利用待定系数法求平面法向量的步骤

2.求平面法向量的三个注意点 (1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向 量. (2)取特值:在求 n 的坐标时,可令 x,y,z 中一个取特殊值, 得另两个值,就是平面的一个法向量. (3)注意 0:提前假定法向量 n=(x,y,z)的某个坐标为某特 定值时,一定要注意这个坐标不为 0.

[ 再练一题] 1.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别为 BB1,C1D1 的中点,建立 适当的坐标系,求平面 AMN 的一个法向量. 【解】 以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标
系(如图所示).

设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1, 则
? 1? → ? 1 → ? ∴AM=?0,1,2?,AN=?-1,2,1?. ? ? ? ?

? ? 1? ? 1 A(1,0,0), M?1,1,2?, N?0,2,1?. ? ? ? ?

设平面 AMN 的一个法向量为 n=(x,y,z), 1 ? → AM=y+2z=0, ?n· ∴? 1 → ?n· AN=-x+2y+z=0, ? 令 y=2,∴x=-3,z=-4,∴n=(-3,2,-4).

证明平面的法向量

在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,CD 的中点.

图 322

→ 求证:D1F是平面 ADE 的法向量. → 【精彩点拨】 要证明D1F是平面 ADE 的法向量, 只需证明 D1F⊥平面 ADE

即可.

【自主解答】

如图,以 D 为坐标原点,DA,DC,

DD1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 1,则
? 1? D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),E?1,1,2?, ? ? ? ? 1 F?0,2,0?, ? ? ? → ? 1? → → ? 1 → → ? ? ? ? 所以AD=(-1,0,0),D1F= 0,2,-1 ,AE= 0,1,2 ,所以AD· D1F=(- ? ? ? ? ? ? 1 ?0, ,-1?=0, 1,0,0)· 2 ? ?

? 1? ? 1 → → ? ?0, ,-1?=0, AE· D1F=?0,1,2?· 2 ? ?? ?

→ → → → 所以AD⊥D1F,AE⊥D1F,又 AD∩AE=A, → 所以D1F⊥平面 ADE, → 从而D1F是平面 ADE 的法向量.

用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明 线线垂直,因此,其思想方法与证明线线垂直相同,区别在于必 须证明两个线线垂直.

[ 再练一题] 2.如图 323 所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB, PC 的中点.

图 323

(1)指出直线 MN 的一个以 A 为起点的方向向量; → (2)若∠PDA=45° ,求证:MN为平面 PCD 的一个法向量.

【解】

(1)取 PD 的中点 E,连结 NE,AE,

因为 N 是 PC 的中点, 1 所以 NE∥DC,NE= DC. 2 1 又 DC∥AB,DC=AB,AM= AB, 2 1 1 所以 AM∥ CD,AM= CD. 2 2 所以 NE∥AM,NE=AM. 所以四边形 AMNE 是平行四边形,所以 MN∥AE. → 所以AE为直线 MN 的一个以 A 为起点的方向向量.

(2)证明:在 Rt△PAD 中,∠PDA=45° , 所以 AP=AD,所以 AE⊥PD, 又因为 MN∥AE,所以 MN⊥PD. 因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥CD, 又因为 CD⊥AD,PA∩AD=A,所以 CD⊥平面 PAD, 因为 AE?平面 PAD,所以 CD⊥AE. 又因为 MN∥AE,所以 CD⊥MN,又因为 CD∩PD=D, 所以 MN⊥平面 PCD. → 所以MN为平面 PCD 的一个法向量.

[ 探究共研型]
方向向量与法向量的特征

探究 1 如何正确地判断直线的方向向量?

【提示】

(1)在空间中,一个向量成为直线的方向向量,必须具备以下两

个方面的限制:①不能为零向量;②与该直线平行或重合. (2)与直线 l 平行的任意非零向量 a 都是直线的方向向量, 且直线 l 的方向向 量有无数个.

(3)给定空间中任意一点 A 和非零向量 a,就可以确定惟一一条过点 A 且平 行于向量 a 的直线. (4)表示同一条直线的方向向量,由于它们的模不一定相等,因此,它们不 一定相等;虽然这些方向向量都与直线平行,但它们的方向不一定相同,还可 能相反.

探究 2 过空间任意一定点 P,能否作出平面 α 的法向量?能作几条?

【提示】 由于过空间任意一点 P,有且仅有一条直线 PO 垂直于平面 α, 因此,过空间任意一点都能作出平面 α 的法向量. 由于直线 PO 的方向向量有无数个, 因此, 过点 P 的平面 α 的法向量也有无 数个. 探究 3 求平面法向量的坐标时,为什么只构建两个方程求解?
【提示】 根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任

意两条相交直线,它就垂直于该平面,也就垂直于该平面内的任意直线,因此, 求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了.

探究 4 依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗?
【提示】
? a=0, ?n· 不惟一. 利用待定系数法求平面法向量时, 由于方程组? ? b=0 ?n·

有无数组解,因此法向量有无数个.求解时,利用赋值法,只要给 x,y,z 中的 一个赋特殊值(常赋值-1,0,1)即可确定一个法向量, 赋值不同, 所得法向量不同, 但(0,0,0)不能作为法向量.

探究 5 利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系?

【提示】 (1)两直线的方向向量共线(垂直)时,两直线平行(垂直). (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时,直线和平面垂直;直线的方向 向量与平面的法向量垂直时,直线在平面内或线面平行. (3)两个平面的法向量共线(垂直)时,两平面平行(垂直).

根据下列条件,分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系. (1)平面 α,β 的法向量分别是
? 1? u=(-1,1,-2),ν=?3,2,-2?; ? ?
? ? ?

? ?. 2 , 2 ,- 1 (2)直线 l 的方向向量 a=(-6,8,4),平面 α 的法向量 u= ?

【精彩点拨】 系.

利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关

【自主解答】

? 1? (1)∵u=(-1,1,-2),ν=?3,2,-2?, ? ?

? 1? ?3,2,- ?=-3+2+1=0,∴u⊥ν,故 ∴u· ν=(-1,1,-2)· 2? ?

α⊥β.

(2)∵u=(2,2,-1),a=(-6,8,4), ∴u· a=(2,2,-1)· (-6,8,4)=-12+16-4=0, ∴u⊥a,故 l?α 或 l∥α.

[ 再练一题] 3.根据下列条件,判断相应的线、面位置关系. (1)直线 l1,l2 的方向向量分别是 a=(1,-3,-1),b=(8,2,2); (2)平面 α,β 的法向量分别是 u=(1,3,0),ν=(-3,-9,0). 【解】 (1)∵a=(1,-3,-1),b=(8,2,2),
∴a· b=8-6-2=0, ∴a⊥b,即 l1⊥l2. (2)∵u=(1,3,0),ν=(-3,-9,0), ∴ν=-3u, ∴ν∥u,即 α∥β.

[ 构建· 体系]

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) → → (1) 若向量 AB 是直线 l 的一个方向向量,则向量 BA 也是 l 的一个方向向 量.( 量.( ) ) ) ) ) (2)若向量 a 是直线 l 的一个方向向量,则向量 ka 也是直线 l 的一个方向向 (3)若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反.( (4)一个平面的法向量有无数多个,它们是共线向量.( (5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量.(

【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√

2. 若点 A(0,1,2), B(-1,0,2)在直线 l 上, 则直线 l 的一个方向向量为________. 【导学号:09390080】 → 【解析】 AB=(-1,-1,0),即为 l 的一个方向向量.
【答案】 (-1,-1,0) 3. 若向量 a=(x,2,1), b=(1, y,3)都是直线 l 的方向向量, 则 x+y=________.

【解析】 据题意可知,a∥b,故存在实数 λ,使 a=λb,即(x,2,1)=λ(1, 1 1 1 19 y,3),即 x=λ,2=λy,1=3λ,解得 λ=3,y=6,x=3,x+y=3+6= 3 . 19 【答案】 3

4.若直线 l⊥α,且 l 的方向向量为(m,2,4),平面 α 则 m 为________.

?1 ? 的法向量为?2,1,2?, ? ?

【解析】

?1 ? ∵(m,2,4)=λ?2,1,2?, ? ?

? ?m=1λ, 2 ? ∴?2=λ, ? ? ?4=2λ, ∴m=1.
【答案】 1

5.如图 324,直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠ABC=90° ,AB=BC=BB1=1, 求平面 ABC1 的一个法向量.

图 324

【解】 法一: 设平面 ABC1 的一个法向量为 n=(x, y,1). ∵B(0,0,0), A(0,1,0), → → C1(1,0,1),∴BA=(0,1,0),BC1=(1,0,1),

? → ?n· BA=y=0, 则? → ? BC1=x+1=0, ?n·

解得 x=-1,y=0,∴n=(-1,0,1).

法二:设平面 ABC1 的一个法向量为 n=(x,y,z). ∵B(0,0,0),A(0,1,0),C1(1,0,1), → → ∴BA=(0,1,0),BC1=(1,0,1), ? → ?n· BA=y=0, 则? → ? BC1=x+z=0, ?n·

令 z=1,则 x=-1,y=0,∴n=(-1,0,1).

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________


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