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无锡一中2012届高三年级9月初检测试题(数学)


无锡市第一中学 2011—2012 学年度高三第一学期期初试卷

数 学 试 题
一、填空题(每小题 5 分) 1.函数 f(x)= x + x x-2) 的定义域是 ( .

2.若 z (1 ? i) ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 z 的共轭复数 z =_____________ . 3.设集合 A ? ?x | x ? 1? , B ? ?x | x ? a? ,则“ A ? B ? R ”是“a=1”的__________________ 条件. (从如下四个中选一个正确的填写:充要条件、充分不必要条件、 必要不充分条件、既不充分也不必要条件) 4.从某小学随机抽取 100 名同学,这些同学身高都不低于 100 厘米,将他们 身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如右图) .现用分层 抽样的方法从身高在[120,130﹚,[130,140﹚,[140,150]三组学生中,选 取 18 人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应 为 . 5.从一副没有大小王的 52 张扑克牌中随机抽取 1 张,事件 A 为“抽得红 桃 8” 事件 B 为 , “抽得为黑桃” 则事件 A+B” , “ 的概率值是_____________ (结果用最简分数表示) . 6.某算法的程序框如右图所示,则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是 ____________________. 7. 函数 f x) Asin x+φ) A, , ( = (ω ( ω φ是常数, >0, >0) A ω 在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = .

8.若圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则 ab 的取值范
2 2

围是___

. .

9.已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 f (a) ? f (b) 且 a ? b ,则 a ? b 的取值范围是

1

10.如图所示,直线 x ? 2 与双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线交于 4

???? ? ???? ?? ? ? ? ? E1 , E2 两点,记 OE1 ? e1, OE2 ? e2 ,任取双曲线 C 上的点 P,
若 OP ? ae1 ? be2 , 则 实 数 a 和 b 满 足 的 一 个 等 式 是 _____________. 11.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,有下列四个命题: (1)若 l⊥α, m ? ? ,则 l ? m ; (2)若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? ; (3)若 l //? , m ? ? ,则 l //m ; (4)若 l //? , m//? ,则 l //m 则其中命题正确的是_____________. 12.如图,两座相距 60m 的建筑物 AB、CD 的高度分别为 20m、50m,BD 为水平 面 , 则 从 建 筑 物 AB 的 顶 端 A 看 建 筑 物 CD 的 张 角 ∠ CAD 的 大 小 是 .

? x ? 0, ? 13.若 a ? 0, b ? 0 ,且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax ? by ? 1 ,则以 a , b 为坐 ?x ? y ? 1 ?
标的点 P (a, b) 所形成的平面区域的面积等于___________. 14.某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第 k 棵树种植在 点

Pk ( xk,yk )









x1 ? 1 ,

y1 ? 1





k ≥2





? ? ? k ?1 ? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ?T ? ? ?T ? ??, ? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? y ? y ? T ? k ? 1 ? ? T ? k ? 2 ?. k ?1 ? ? ? ? ? k ? 5 ? ? 5 ? ?
T (a) 表示非负实数 a 的整数部分,例如 T (2.6) ? 2 , T (0.2) ? 0 .按此方案第 2012 棵
树种植点的坐标应为______________. 二、解答题 15. (本题 14 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的对边长分别为 a、b、c ; (1)设向量 x ? (sin B, sin C) ,向量 y ? (cosB, cosC) ,向量 z ? (cosB,? cosC) , 若

z //( x ? y) ,求 tan B ? tan C 的值;
2 2 2 (2)若 sin A cos C ? 3cos Asin C ? 0 ,证明: a ? c ? 2b .

2

16. (本题 14 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,ABCD 为矩形,△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°,平 面 PAD⊥平面 ABCD,E、F 分别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAD; (2)证明:平面 PDC⊥平面 PAD.

17. (本题 14 分) 某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该 商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店, 并约定用该店经营的利润逐步偿还债务 (所有债务均不计利息) .已知该种消费品的进价为每件 40 元;该店每月销售量 q(百 件)与销售价 p(元/件)之间的关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每 月工资为 1200 元,该店应交付的其它费用为每月 13200 元. (1)若当销售价 p 为 52 元/件时,该店正好收支平衡,求该店的职工人数; (2)若该店只安排 20 名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务,此时每件消费品 的价格定为多少元?

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18. (本题 16 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上, F1 , F2 分别是椭圆 C 的左、右 焦点, M 是椭圆短轴的一个端点,过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点, ?MF1 F2 的 面积为 4, ?ABF2 的周长为 8 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 Q 的坐标为 (1,0) ,是否存在椭圆上的点 P 及以 Q 为圆心的一个圆,使得该 圆与直线 PF , PF2 都相切.若存在,求出点 P 的坐标及圆的方程;若不存在, 1 请说明理由.

19. (本题 16 分) 数列{an}满足:

?9? na1 ? ? n ? 1? a2 ? ??? ? 2an?1 ? an ? ? ? ? 10 ?
(1)求 an 的通项公式;

n ?1

?9? ?? ? ? 10 ?

n?2

? ??? ?

9 ) ? 1(n=1,2,3,?,. 10

(2)若 bn ? ? n+1 an ,试问是否存在正整数 k ,使得对于任意的正整数 n ,都有 ( )

bn ? bk 成立?证明你的结论.

4

20. (本题 16 分) 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 ? ?e,0? ? ? 0, e? 上 的 奇 函 数 , 当 x ? ? 0, e? 时 , . f ( x) ? ax ? ln x (其中 e 是自然对数的底数, a ? R ) (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)设 a ? ?1 , g ( x) ? ?

ln x 1 ,求证:当 x ? ? 0, e? 时, f ( x) ? g ( x) ? 恒成立; x 2

(3)是否存在负数 a ,使得当 x ? ? 0, e? 时, f ( x ) 的最大值是 ? 3 ?如果存在,求出实 数 a 的值;如果不存在,请说明理由.

5

理科选修
1. 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 6 cos? , 曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ?
?
4 ( ? ? R) , 曲线 C1 ,

C2 相交于

A , B 两点.

(1)把曲线 C1 , C 2 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)求弦 AB 的长度.

2.设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换. (1)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量;

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程. (2)求逆矩阵 M 以及椭圆 4 9
?1

6

3.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面

ABCD 为直角梯形, AB ∥ CD , ?BAD ? 90? ,

PA ⊥平面 ABCD , AB ? 1 , AD ? 2 , PA ? CD ? 4 .
(1)求证: BD ⊥ PC ; (2)求二面角 B ? PC ? A 的余弦值.

4.如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而下落 A 或 B 或 C .已知小球从每个叉口 落入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动, 若投入的 小球落到 A , B , C ,则分别设为 l,2,3 等奖. (1)已知获得 l,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%,90%.记随机变量 ? 为获得

k (k ? 1,2,3) 等奖的折扣率,求随机变量 ? 的分布列及期望 E (? ) ;
(2)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动,记随机变 量 ? 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次,求 P(? ? 2) .

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