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微积分建立的时代背景和历史意义


微积分建立的时代背景和历史意义
? ? ? ? ? ? ? 微积分的概念 微积分的萌芽 微积分的发展 微积分的建立 微积分创立的现实意义 牛顿与莱布尼茨 数学史料
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一、微积分的概念
1、微积分学是微分学和积分学的总称。微积分 是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数 学分支科学。微积分中的基本概念是函数、极限、 实数

、导数、积分等,其中极限是微积分的基石。

2、研究函数,从量的方面研究事物运动变化是 微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。

一、微积分的概念
3、本来从广义上说,数学分析包括微积分、函 数论等许多分支学科,但是现在一般已习惯于把数 学分析和微积分等同起来,数学分析成了微积分的 同义词,一提数学分析就知道是指微积分。微积分 的基本概念和内容包括微分学和积分学。

4、微分学的主要内容包括:极限理论、导数、 微分等。
5、积分学的主要内容包括:定积分、不定 积分等。

一、微积分的概念
6、微积分的产生和发展被誉为“近代技术文 明产生的关键事件之一,它引入了若干极其成功 的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思 想。”恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发 明之一。” 7、微积分的建立,无论是对数学还是对其他科 学以至于技术的发展都产生了巨大的影响,充分显 示了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨 大促进作用。

二、微积分的萌芽
(1)中国数学家的极限、积分思想 朴素、 典型的 极限概 念

◆ “割圆求周”(三国刘徽)

◆一尺之棰,日取其半,万世不竭(战国庄周) ◆ 圆周率、球体积、球表面积的研究

(祖冲之、祖暅)

二、微积分的萌芽
(2)外国数学家的极限、积分思想
◆ 欧几里得(公元前330年~前275年)是古希腊数

学家,以其所著的《几何原本》闻名于世,其中 对不可约量及面积与体积的研究,包含了穷竭法 的萌芽。
◆ 公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决

抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和 旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分 学的思想。

三、微积分的发展
1、到了十六世纪,有许多科学问题需要解决, 由于航海、机械制造、军事上的需要,运动的研究 成了自然科学的中心议题,于是在数学中开始研究 各种变化过程中的量(变量)之间的依赖关系,变 量的引进,形成了数学中的转折点。

2、到了十七世纪,生产的发展提出了许多技 术上的新要求,这些科学问题的解决,对数学提 出了新的要求,也就成了促使微积分产生的因素。

三、微积分的发展
3、十七世纪的许多著名的数学家、天 文学家、物理学家都为解决问题作了大量 的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡儿、 罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士; 德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都 提出许多很有建树的理论。为微积分的创 立做出了贡献。

4、十七世纪中叶其他科学提出的 四种亟待解决的数学问题:
◆第一类是研究物体运动的时候直接出现的,也

就是求即时速度的问题。
天文学、力学等涉及许多非匀速运动,大多数也不 是直线运动,传统的数学方法无能为力,要求新的数 学工具。 ◆第二类问题是求曲线的切线的问题。 不仅是几何学的问题,而且也是许多其他科学问题 的要求,如物体作曲线运动,光的折射和反射。

4、十七世纪中叶其他科学提出的 四种亟待解决的数学问题:

◆第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。 天文学和力学都有关,例如求行星运动的近日点 远日点,抛射体的最大射程和高度等。

◆第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲

面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的 物体作用于另一物体上的引力。

四、微积分的建立
1、十七世纪下半叶,在前人工作的基础上, 英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在 自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工 作,虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功 绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一 个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求 积问题(积分学的中心问题)。

四、微积分的建立
2、牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是 直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无 穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分 支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动 学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑 的。

五、微积分创立的历史意义
1、微积分学的创立,极大地推动了数学的 发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运 用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的 非凡威力。 2、一门科学的创立决不是某一个人的业绩, 他必定是经过多少人的努力后,在积累了大量成 果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的 。微积分也是这样。

五、微积分创立的历史意义
3、不幸的事,由于人们在欣赏微积分的宏 伟功效之余,在提出谁是这门学科的创立者的时 候,竟然引起了一场悍然大波,造成了欧洲大陆 的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在 一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥 在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展 整整落后了一百年。

五、微积分创立的历史意义
4、其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己 独立研究,在大体上相近的时间里先后完成 的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布 尼茨早10年左右,但是正式公开发表微积分 这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。 他们的研究各有长处,也都各有短处。那时 候,由于民族偏见,关于发明优先权的争论 竟从1699年始延续了一百多年。

五、微积分创立的历史意义
5、应该指出,这是和历史上任何一项 重大理论的完成都要经历一段时间一样, 牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。 他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说 不一,十分含糊。牛顿的无穷小量,有时 候是零,有时候不是零而是有限的小量; 莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方 面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的 产生。

五、微积分创立的历史意义
6、微积分是与应用联系着发展起来的, 最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万 有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。 此后,微积分学极大的推动了数学的发展, 同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、 化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、 社会科学及应用科学各个分支中的发展。并 在这些学科中有越来越广泛的应用,特别是 计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。



牛 顿

牛顿,是英国伟大的数学家、物理学家、 天文学家和自然哲学家。1642年12月25日 生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索 普村,1727年3月20日在伦敦病逝。 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院, 1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲 避瘟疫。这两年里,他制定了一生大多数 重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当 选为三一学院院委,次年获硕士学位。 1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年 任皇家造币厂监督,并移居伦敦。1703年 任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜 封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分 和经典力学的创建。





牛 顿

牛顿在1671年写了《流数法和 无穷级数》,这本书直到1736年才 出版,它在这本书里指出,变量是 由点、线、面的连续运动产生的, 否定了以前自己认为的变量是无穷 小元素的静止集合。他把连续变量 叫做流动量,把这些流动量的导数 叫做流数。牛顿在流数术中所提出 的中心问题是:已知连续运动的路 径,求给定时刻的速度(微分法); 已知运动的速度求给定时间内经过 的路程(积分法)。



莱 布 尼 茨

莱布尼茨,德国数学家、哲学家,和牛顿同 为微积分的创始人;1646年7月1日生于莱比锡, 1716年11月14日卒于德国的汉诺威。 他父亲是莱比锡大学伦理学教授,家庭丰富 的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学 学习法律,又曾到耶拿大学学习几何,1666年在 纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写 的论文《论组合的技巧》已含有数理逻辑的早期 思想,后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。 1667年他投身外交界,曾到欧洲各国游历。 1676年到汉诺威,任腓特烈公爵顾问及图书馆的 馆长,并常居汉诺威,直到去世。 莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和 他相比,他的著作包括数学、历史、语言、生物 、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。




莱布尼茨是一个博才多学的学 者,1684年,他发表了现在世界上认为 是最早的微积分文献,这篇文章有一个 很长而且很古怪的名字《一种求极大极 小和切线的新方法,它也适用于分式和 无理量,以及这种新方法的奇妙类型的 计算》。就是这样一片说理也颇含糊的 文章,却有划时代的意义。他以含有现 代的微分符号和基本微分法则。1686年, 莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。 他是历史上最伟大的符号学者之一,他 所创设的微积分符号,远远优于牛顿的 符号,这对微积分的发展有极大的影响。 现在我们使用的微积分通用符号就是当 时莱布尼茨精心选用的.


莱 布 尼 茨

重庆市万州高级中学

曾国荣


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